易错点26空间向量一、单选题1.已知向量 ሺ ʹ ǡʹെ ， ሺെʹ3， ，则向量 在向量 方向上的投影数量为 ǡ ǡ A. B.C.D. ǡ ǡ 2.如图，在平行六面体 ܤ ܥ ܤ ܥ 中，若 ܤ ， ܥ ， ，则ܤ A. B. C. D. 3.三棱柱 ܤ ܤ 中， ܤ ǡ， ， ， ܤ ൌെ ， ܤ െ 则异面直线 与ܤ 所成角的余弦值为 A.0B.C.D. ǡ 4.在空间直角坐标系 ݔ 中， ሺെʹെʹെ ʹǡሺ ʹെʹെ ʹ ሺെʹ ʹെ ，B为EF的中点，C 为空间一点且满足 ܤ ǡ，若cos ǡ ʹܤ ，，则 ൌA.9B.7C.5D.3 5.如图，在直三棱柱 ܤ ܤ 中， ܤ ， ܤ ，已知G与E分别为 ܤ 和 的中点，D和F分别为线段AC和AB上的动点ሺ不包括端点 ，若 ܥ ǡ ，则线段DF的长度的平方取值范围为 A. ʹ B.ʹC.ʹD.ʹ \n 6.如图，在正四棱锥 ABCD中，已知P A ，P B ，P C ，P E P D ，则B E A.B.C.D.7.在下列命题中： 若向量 ʹ 共线，则 ʹ 所在的直线平行； 若向量 ʹ 所在的直线是异面直线，则 ʹ 一定不共面； 若三个向量 ʹ ʹ 两两共面，则 ʹ ʹ 三个向量一定也共面； 已知三个向量 ʹ ʹ ，则空间任意一个向量 总可以唯一表示为 ݔ ．其中正确命题的个数为A.0B.1C.2D.38.点 ሺ ʹy， 满足ሺ ሺݔ ሺ ，则点P在A.以点ሺ ʹ1， 为圆心， 为半径的圆上B.以点ሺ ʹ1， 为中心， 为棱长的正方体内C.以点ሺ ʹ1， 为球心，2为半径的球面上D.无法确定二、填空题9.在长方体 ܤ ܥ ܤ ܥ 中， ， ܥ ， ܤ ൌ，如图，建立空间直角坐标系ܥ ݔ ，则该长方体的中心M的坐标为________．\n10.在空间直角坐标系中，正方体 ܤ ܥ ܤ ܥ 的顶点A的坐标为ሺǡʹ ʹ ，其中心M的坐标为ሺെʹ1， ，则该正方体的棱长等于．ǡ 11.已知 ∈ ， ∉ ，P A ሺ ʹʹ ，平面 的一个法向量 ሺെʹ ʹ ，则直 线PA与平面 所成角的余弦值为_________．12.平行六面体 ܤ ܥ ܤ ܥ 中，向量 ܤ ， ܥ ， 两两的夹角均为ൌെ ，且 ܤ ， ܥ ， ǡ，则 等于______ 三、解答题13.如图，在空间直角坐标系中， ܤܤ ，且 平面xOy， ܤ ， ܤ െ ， ，M，N分别是 ܤ， 的中点． ሺ 求点M、N的坐标及MN的长；ሺ 求 ܤ香 的面积．\n14.已知向量，．ሺ 当 与ǡ 平行时，求实数 的值；ሺ 当 与ǡ 垂直时，求实数 的值．15.如图，在多面体ABCDEF中，梯形ADEF与平行四边形ABCD所在平面互相垂直， ܥǡ，ܥǡ ܥ， ܥ ܤǡ， ܥ ܥǡ ， ܤ ． ሺ 求证：ܤ 平面CDE；ܤ ሺ 判断线段BE上是否存在点Q，使得平面 ܥ 平面BEF？若存在，求出的值，ܤǡ若不存在，说明理由．\n16.在三棱柱 ܤ ܤ 中，M为棱 的中点，E，P分别在线段AB，EG上， ܤ ܤ ܤ ܤ ， ܤ ܤ െ ．ሺⅠ 若P为线段ǡ 的中点，求证： 平面ABC；ሺⅡ 若平面ܤ ܤ 平面ܤ ܤ ，且ܤ ܤ为正方形，设E为线段AB的中点，P为线段ǡ 的中点，求二面角 ܤ 的平面角的余弦值一、单选题1.已知向量 ሺ ʹ ǡʹെ ， ሺെʹ3， ，则向量 在向量 方向上的投影数量为 ǡ ǡ A. B.C.D. ǡ ǡ 【答案】D【解析】解： 向量 ʹ ǡʹെʹ െʹǡʹ ， െ ǡ ， െ ǡ ǡ െ ， 向量 在向量 方向上的投影为 ． 故选D．2.如图，在平行六面体 ܤ ܥ ܤ ܥ 中，若 ܤ ， ܥ ， ，则ܤ A. B. C. D. 【答案】A【解析】解： 在平行六面体 ܤ ܥ ܤ ܥ 中，\n ܤ ， ܥ ， ， ܤ ܤ ܤ ܤ ܤ ܥ ሺܤ ܥ ሺ ． 故选A．3.三棱柱 ܤ ܤ 中， ܤ ǡ， ， ， ܤ ൌെ ， ܤ െ 则异面直线 与ܤ 所成角的余弦值为 A.0B.C.D. ǡ 【答案】A【解析】解： ，ܤ ܤ ܤ ܤ ሺ ሺ ܤ ሺ ሺ ܤ ܤ ܤ െ cos ൌെ cos ൌെ ǡ cos ൌെ ǡ െ， ܤ ，即异面直线 与ܤ 所成角为 െ ， cos െ െ，故选A．4.在空间直角坐标系 ݔ 中， ሺെʹെʹെ ʹǡሺ ʹെʹെ ʹ ሺെʹ ʹെ ，B为EF的中点，C 为空间一点且满足 ܤ ǡ，若cos ǡ ʹܤ ，，则 ൌA.9B.7C.5D.3【答案】D【解析】解：设 ሺ ʹy， ，因为 െʹെʹെʹǡ ʹെʹെʹ െʹ ʹെ，B为EF的中点，则ܤሺ ʹ ʹെ ， ǡ ሺ ʹ ʹെ ，ܤ ሺ ʹݔ ʹ ，因为 ܤ ǡ，若cosǡ ʹܤ ，ൌ所以 ݔሺ ሺ ݔ ǡʹ\n ሺ ሺݔ െ ， ǡൌ ǡ ǡ 解得 ʹݔ ʹ ， ǡ ǡ 所以 െ െ ǡ， 故选D． 5.如图，在直三棱柱 ܤ ܤ 中， ܤ ， ܤ ，已知G与E分别为 ܤ 和 的中点，D和F分别为线段AC和AB上的动点ሺ不包括端点 ，若 ܥ ǡ ，则线段DF的长度的平方取值范围为 A. ʹ B.ʹC.ʹD.ʹ 【答案】D 【解析】解：建立如图所示的空间直角坐标系，则 ሺെʹ0，െ ，ǡሺെʹ1， ， ሺ，0， ， ሺ ʹ0，െ ，ܥሺെʹy，െ ܥ ʹݔʹ ʹǡ ʹ ʹ ܥ ǡ ， ݔ െ， ݔ ܥ ݔ ݔ ݔ ݔ ݔ ݔ െ ݔ 当ݔ 时，线段DF长度的最小值是 又ݔ െ时，线段DF长度的最大值是1而不包括端点，故ݔ 不能取；\n 故线段DF的长度的取值范围是： ʹ ． 即线段DF的长度的平方取值范围为ʹ ʹ 故选：D． 6.如图，在正四棱锥 ABCD中，已知P A ，P B ，P C ，P E P D ，则B E A.B.C.D.【答案】A【解析】解：如图，连接AC，BD，设交点为O，连接PO， 则 又 ܥ ，所以 ܥ ， 故 ǡ ܥ ， \n ǡ 从而ܤ ǡ ܤ ǡ ， 故选A．7.在下列命题中： 若向量 ʹ 共线，则 ʹ 所在的直线平行； 若向量 ʹ 所在的直线是异面直线，则 ʹ 一定不共面； 若三个向量 ʹ ʹ 两两共面，则 ʹ ʹ 三个向量一定也共面； 已知三个向量 ʹ ʹ ，则空间任意一个向量 总可以唯一表示为 ݔ ．其中正确命题的个数为A.0B.1C.2D.3【答案】A【解析】解：对于 ：根据两向量共线定义知道，两向量共线有可能两向量所在的直线重合，所以此命题错误；对于 ：两个向量可以平移到一个平面内，所以此命题错误；对于 ：若三个向量 ʹ ʹ 两两共面，这三个向量有可能不共面，所以此命题错误；对于 ：根据空间向量的基本定理知道，这三个向量要不共面才可以，所以此命题错误，故选A．8.点 ሺ ʹy， 满足ሺ ሺݔ ሺ ，则点P在A.以点ሺ ʹ1， 为圆心， 为半径的圆上B.以点ሺ ʹ1， 为中心， 为棱长的正方体内C.以点ሺ ʹ1， 为球心，2为半径的球面上D.无法确定【答案】C【解析】解：ሺ ሺݔ ሺ 的几何意义是到定点ሺ ʹ1， 的距离为2的动点 ሺ ʹy， 的集合，则点P在以点ሺ ʹ1， 为球心，2为半径的球面上．\n故选C．二、填空题9.在长方体 ܤ ܥ ܤ ܥ 中， ， ܥ ， ܤ ൌ，如图，建立空间直角坐标系ܥ ݔ ，则该长方体的中心M的坐标为________．【答案】ሺ ʹ3， 【解析】解：在长方体 ܤ ܥ ܤ ܥ 中， ， ܥ ， ܤ ൌ，如图，建立空间直角坐标系ܥ ݔ ，则ܥሺെʹ0， ，ܤሺ ʹ6，െ ， 该长方体的中心M的坐标为 ሺ ʹ3， ．故答案为：ሺ ʹ3， ．10.在空间直角坐标系中，正方体 ܤ ܥ ܤ ܥ 的顶点A的坐标为ሺǡʹ ʹ ，其中心M的坐标为ሺെʹ1， ，则该正方体的棱长等于． ǡ 【答案】ǡ【解析】解：设正方体的棱长为a，由 െ ǡ，可知，正方体的体对角线长为ǡ ǡ， ǡ ǡ 故 ．ǡǡ ǡ 故答案为．ǡǡ 11.已知 ∈ ， ∉ ，P A ሺ ʹʹ ，平面 的一个法向量 ሺെʹ ʹ ，则直 线PA与平面 所成角的余弦值为_________． 【答案】 ǡ 【解析】解：由题意， ሺ ʹʹ 与法向量 ሺെʹ ʹ 夹角余弦值的绝对值， 即为直线PA与平面 所成角的正弦值，\n设直线PA与平面 所成角为 ，，则 ǡ ሺ ሺ ሺ ǡ ， ． 故答案为． 12.平行六面体 ܤ ܥ ܤ ܥ 中，向量 ܤ ， ܥ ， 两两的夹角均为ൌെ ，且 ܤ ， ܥ ， ǡ，则 等于______ 【答案】5【解析】解：如图： 平行六面体 ܤ ܥ ܤ ܥ 中，向量 ܤ 、 ܥ 、 两两的夹角均为ൌെ ， 且 ܤ ， ܥ ， ǡ， ܤ ܤ ， ሺ ܤ ܤ ܤ ܤ ܤ ܤ ܤ ܤ ൌെ ǡ ൌെ ǡ ൌെ ，\n ．故答案为5．三、解答题13.如图，在空间直角坐标系中， ܤܤ ，且 平面xOy， ܤ ， ܤ െ ， ，M，N分别是 ܤ， 的中点． ሺ 求点M、N的坐标及MN的长；ሺ 求 ܤ香 的面积．【答案】解：ሺ ሺ ʹെʹെ ʹܤሺെʹ ʹെ ʹ ሺ ʹെʹ ʹܤ ሺെʹ ʹ ，因为M，N是 ܤ ， 的中点，结合中点坐标公 式可得： ʹʹ 香 ʹെʹ ， 所以 香 ൌ． െ ሺ 因为ܤെʹ ʹെ，ܤ香 െ െ െ ǡ， ǡ ܤ ሺെ ሺ ሺെ ， 由 香 ܤ香 ܤ ，所以 ܤ香 是直角三角形， ൌǡ 所以 ܤ香 ܤ香香 ǡ ． 14.已知向量，．ሺ 当 与ǡ 平行时，求实数 的值；ሺ 当 与ǡ 垂直时，求实数 的值．【答案】解：ሺ 由已知得 ሺ ʹ ǡ ʹ ǡ ，ǡ ሺ ʹ1， ．\n由 与ǡ 平行， ǡ ǡ得 ， ǡ解得 ． ሺ 由已知得 ሺ ʹ ǡʹ ǡ ，ǡ ሺ ʹ ʹ ．由 与ǡ 垂直，得 ሺ ሺ ǡ ሺǡ െ，解得 െ．15.如图，在多面体ABCDEF中，梯形ADEF与平行四边形ABCD所在平面互相垂直， ܥǡ，ܥǡ ܥ， ܥ ܤǡ， ܥ ܥǡ ， ܤ ． ሺ 求证：ܤ 平面CDE；ܤ ሺ 判断线段BE上是否存在点Q，使得平面 ܥ 平面BEF？若存在，求出的值，ܤǡ若不存在，说明理由．【答案】ሺ 证明：由底面ABCD为平行四边形，知 ܤ ܥ，又因为 ܤ 平面CDE， ܥ 平面CDE，所以 ܤ 平面CDE．同理 平面CDE，又因为 ܤ ， ܤʹ 平面ABF，所以平面 ܤ 平面CDE．\n又因为ܤ 平面ABF，所以ܤ 平面CDE．ሺ 解：连接BD，因为平面 ܥǡ 平面ABCD，平面 ܥǡ 平面 ܤ ܥ ܥ，ܥǡ ܥ，所以ܥǡ 平面 ܤ ܥ ܥܤ 平面ABCD，则ܥǡ ܥܤ．又因为ܥǡ ܥ， ܥ ܤǡ，ܥǡ ܤǡ ǡ，DE，ܤǡ 平面BDE，所以 ܥ 平面BDE，又 ܤܥ 平面BDE，则 ܥ ܤܥ．故DA，DB，DE两两垂直，所以以DA，DB，DE所在的直线分别为x轴、y轴和z轴，如图建立空间直角坐标系，结论：线段BE上存在点Q，使得平面 ܥ 平面BEF．证明如下：设ܤ ܤ ǡ ሺെʹ ʹ ሺ ∈ െʹ ，所以ܥ ܥ ܤ ܤ ሺെʹ ʹ ．设平面CDQ的法向量为 ሺ ʹb， ，又因为ܥ ሺ ʹ ʹെ ，ሺ െʹ所以 ܥ െ， ܥ െ，即 െʹ若平面 ܥ 平面BEF，则 െ，即 െ， 解得 ∈ െʹ ． ܤ 所以线段BE上存在点Q，使得平面 ܥ 平面BEF，且此时 ．ܤǡ 16.在三棱柱 ܤ ܤ 中，M为棱 的中点，E，P分别在线段AB，EG上， ܤ ܤ ܤ ܤ ， ܤ ܤ െ ．\nሺⅠ 若P为线段ǡ 的中点，求证： 平面ABC；ሺⅡ 若平面ܤ ܤ 平面ܤ ܤ ，且ܤ ܤ为正方形，设E为线段AB的中点，P为线段ǡ 的中点，求二面角 ܤ 的平面角的余弦值．【答案】ሺⅠ 证明：连接 ǡ，取 ǡ中点为N，连接NP，MN．在 ǡ 中因为P为棱ǡ 的中点，所以 香 因为三棱柱 ܤ ܤ 中， ，所以 香 ，在 ǡ 中，因为M为棱 的中点，所以 香 ǡ．因为 香 香 香ʹ 香ʹ 香 面 香 ， ʹ ǡ 平面ABC，所以，所以 平面 ܤ ሺⅡ 三棱柱 ܤ ܤ 中，因为 ܤ ܤ ܤ ܤ ，所以四边形ܤ ܤ 为菱形，因为 ܤ ܤ െ ，所以 ܤ ൌെ ．所以 ܤ 是等边三角形 因为M为棱 的中点，所以 ܤ ܤ ܤ．因为平面ܤ ܤ 平面ܤ ܤ ，且交于ܤ ܤ， ܤ ܤ ܤ所以 ܤ 平面ܤ ܤ\n所以 ܤ ܤ ，ܤܤ ܤ ，ܤܤ ܤ ܤ ，所以 ܤ 平面ܤ ܤ ，所以可建立以ܤ 为原点，分别以ܤ ，ܤ ܤ，ܤ 作为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系．ǡǡǡǡ则 ǡʹ ʹെʹܤ െʹെʹെʹ ǡʹെʹെ， െʹെʹ ʹǡʹʹെ ሺʹʹ ， 因为ܤ 平面ܤ ǡ ，所以可设平面 ܤ 的法向量为 ܤ ǡʹ ʹെ，ܤ ሺǡʹǡʹ ， 而ܤ ǡʹെʹെ，设平面 ܤ 的法向量为 ʹݔʹ ，ǡ െ所以ǡǡ ݔ െ 令ݔ ，可得 ǡ，所以 ሺെʹ ǡ 所以cos ʹ ， 因为二面角 ܤ 为钝二面角， 所以二面角 ܤ 的余弦值为
