2023届高考数学易错题专练--19向量的应用（Word版附解析）

易错点19向量的应用一、单选题1.设O为坐标原点，直线x=2与抛物线C:=2px(p>0)交于D，E两点，若ODOE，则C的焦点坐标为A.(，0)B.(，0)C.(1,0)D.(2,0)2.在△ABC中，AB=4，AC=2，∠BAC=60°，D为BC边上靠近C的三等分点，则AB⋅AD=A.8B.6C.4D.23.已知△ABC的顶点A(2,3)和重心G的坐标为(2,−1)，则BC边上的中点坐标为A.(2,−9)B.(2,−5)C.(2,−3)D.(2,0)224.在△ABC中，设AC−AB=2AM⋅BC，则动点M的轨迹必通过△ABC的A.垂心B.内心C.重心D.外心ABACBABC25.在△ABC中，向量AB与AC满足(+)·BC=0，且·=，则△ABC为|AB||AC||BA|BC2A.等边三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等腰直角三角形6.如图所示，半圆的直径AB=4，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则PA+PB⋅PC的最小值是A.2B.0C.−1D.−27.已知点A，B，C在圆x2+y2=1上运动，且∠ABC=90∘，若点P的坐标为(2,0)，则PA+PB+PC的最大值为A.9B.8C.7D.68.著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点O，H分别是△ABC的外心、垂心，且M为BC中点，则\nA.AB+AC=3HM+3MOB.AB+AC=3HM−3MOC.AB+AC=2HM+4MOD.AB+AC=2HM−4MO二、填空题9.已知△ABC和点P满足PA+2PB+PC=0，则△PBC与△ABC的面积之比为_______．10.如图，某班体重为70kg的体育老师在做引体向上示范动作，两只胳膊的夹角为60°，拉力大小均为F，若使身体能向上移动，则拉力F的最小整数值为________N.(取重力加速度大小为g=10m/s2，3≈1.732)11.如图所示，在空间四边形ABCD中，，CD=3，BC=4，M，N分别为AB，AD的中点，则MN⋅DC=_________．三、解答题12.在非直角▵ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边．已知a=4，AB⋅AC=5，求：tanAtanA(1)+的值；tanBtanC(2)BC边上的中线AD的长．13.已知，设f(x)=a⋅b．\n(1)求函数f(x)的单调增区间；π(2)三角形ABC的三个角A,B,C所对边分别是a,b,c，且满足A=,fB=1,3a+2b=310，求边c．14.已知△ABC的面积为33，且内角A、B、C依次成等差数列．(1)若sinC=3sinA，求边AC的长；(2)设D为边AC的中点，求线段BD长的最小值．15.如图，空间四边形OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，点M在OA上，且OM=2MA，点N为BC中点．\n(Ⅰ)用a，b，c表示MN；(Ⅱ)在△ABC中，过点N作直线l分别交AB、AC于P、Q，若AP=mAB，AQ=nAC(m>0,n>0)，求m+n的最小值一、单选题1.设O为坐标原点，直线x=2与抛物线C:=2px(p>0)交于D，E两点，若ODOE，则C的焦点坐标为A.(，0)B.(，0)C.(1,0)D.(2,0)【答案】B【解析】解：根据题意，不妨设D(2,2p)，E(2,−2p)，因为OD⊥OE，可得OD·OE=0，所以4−4p=0，故p=1，21所以抛物线C：y=2x，所以抛物线的焦点坐标为(,0)．2故选B．2.在△ABC中，AB=4，AC=2，∠BAC=60°，D为BC边上靠近C的三等分点，则AB⋅AD=A.8B.6C.4D.2【答案】A1【解析】解：∵AD=CD+AC=CB+AC311=AB−AC+AC3312=AB+AC，3312∴AB·AD=|AB|2+AB·AC3312=×42+|AB|·|AC|cos∠BAC33\n1621=+×4×2×=8．332故选A．3.已知△ABC的顶点A(2,3)和重心G的坐标为(2,−1)，则BC边上的中点坐标为A.(2,−9)B.(2,−5)C.(2,−3)D.(2,0)【答案】C【解析】解：设ΔABC的边BC上的中点为D，∵G是ΔABC的重心，∴G在ΔABC的中线AD上，且满足AG=2GD，∵A2,3,G2,−1，设D(x,y)，∴AG=0,−4，GD=x−2,y+1，0=2x−2可得，解得x=2，y=−3，−4=2y+1所以BC边上的中点D的坐标为(2,−3)．故选C．224.在△ABC中，设AC−AB=2AM⋅BC，则动点M的轨迹必通过△ABC的A.垂心B.内心C.重心D.外心【答案】D【解析】解：如图所示：设线段BC的中点为D，则AB+AC=2AD．22∵AC−AB=2AM⋅BC，∴(AC+AB)⋅(AC−AB)=2AM⋅BC，∴BC⋅(AB+AC−2AM)=0，即BC⋅(2AD−2AM)=0∴BC⋅MD=0，∴MD⊥BC且平分BC．因此动点M的轨迹必通过△ABC的外心．\n故选D．ABACBABC25.在△ABC中，向量AB与AC满足(+)·BC=0，且·=，则△ABC为|AB||AC||BA|BC2A.等边三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等腰直角三角形【答案】DABAC【解析】解：因为(+)·BC=0，ABAC所以∠BAC的平分线与BC垂直，所以三角形ABC是等腰三角形，且AB=AC．BABC2又因为·=，BABC2所以∠ABC=45°，所以三角形ABC是等腰直角三角形．故选D．6.如图所示，半圆的直径AB=4，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则PA+PB⋅PC的最小值是A.2B.0C.−1D.−2【答案】D【解析】解：由平行四边形法则得PA+PB=2PO，故(PA+PB)·PC=2PO·PC，又|PC|=2−|PO|且PO·PC反向，设|PO|=t(0≤t≤2)，则(PA+PB)·PC=2PO·PC=−2t(2−t)=2(t2−2t)=2[(t−1)2−1]．∵0≤t≤2，∴当t=1时，(PA+PB)·PC的最小值为−2．故选D．\n7.已知点A，B，C在圆x2+y2=1上运动，且∠ABC=90∘，若点P的坐标为(2,0)，则PA+PB+PC的最大值为A.9B.8C.7D.6【答案】C【解析】解：因为AC为的斜边，点A，B，C在圆x2+y2=1上所以AC为圆x2+y2=1的一条直径，故AC必经过原点，则PA+PC=2PO，即|PA+PB+PC|=|2PO+PB|，又PB=OB−OP，所以|PA+PB+PC|=|2PO+OB−OP|22=|OB−3OP|=OB+9OP−6OB⋅OP，当且仅当时取等号，故|PA+PB+PC|的最大值为7．故选C．8.著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点O，H分别是△ABC的外心、垂心，且M为BC中点，则A.AB+AC=3HM+3MOB.AB+AC=3HM−3MOC.AB+AC=2HM+4MOD.AB+AC=2HM−4MO【答案】D【解析】解：设重心为G，因为三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．所以HG=2GO，∵2HM=2(HG+GM)=2HG+2GM，4MO=4(MG+GO)=4MG+4GO，∴2HM−4MO=2HG+2GM−4MG−4GO=2(HG−2GO)+6GM=6GM，\n又M为BC中点，重心为G，∴AB+AC=2AM=6GM，所以AB+AC=2HM−4MO，故选D．二、填空题9.已知△ABC和点P满足PA+2PB+PC=0，则△PBC与△ABC的面积之比为_______．【答案】1：4【解析】取AC的中点为D，则：PA+PC=2PD，∵PA+2PB+PC=0，∴PD+PB=0，∴PD=−PB，1∴P，B，D三点共线，且PD=BD，2S△PBC1∴=．S△ABC4故答案是1：4．10.如图，某班体重为70kg的体育老师在做引体向上示范动作，两只胳膊的夹角为60°，拉力大小均为F，若使身体能向上移动，则拉力F的最小整数值为________N.(取重力加速度大小为g=10m/s2，3≈1.732)【答案】405【解析】解：对该老师受力分析如图：\n因为手臂和单杠的夹角均为60°，又两个手臂上的力大小相等，所以这个平行四边形为菱形，对角线为合力的大小：700N，根据力的平行四边形定则，7003可知每只手臂的拉力为：≈404.13N，3所以拉力F的最小整数值为405N，故答案为405．11.如图所示，在空间四边形ABCD中，，CD=3BC=4，M，N分别为AB，AD的中点，则MN⋅DC=_________．9【答案】−2【解析】解：由题易知，BD=5，，，9故答案为−．212.已知a=(2,1),b=(k,3),若(a+2b)//(2a−b),则k=.【答案】6【解析】∵a=(2,1)，b=(k,3)∴a+2b=(2,1)+2(k,3)=(2+2k,7)(2a−b)=2(2，1)−(k，3)=(4−k，−1)∵a+2b//(2a−b)\n∴(2+2k)×(−1)=7(4−k)，∴k=6故答案为6．三、解答题13.在非直角▵ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边．已知a=4，AB⋅AC=5，求：tanAtanA(1)+的值；tanBtanC(2)BC边上的中线AD的长．tanAtanAsinAcosBcosC【答案】解：(1)+=⋅(+)tanBtanCcosAsinBsinCsinAcosBsinC+sinBcosC=⋅cosAsinBsinCsin2A=sinBsinCcosAa2a216===．bccosAAB⋅AC5(2)由余弦定理a2=b2+c2−2bccosA，即：16=b2+c2−10，∴b2+c2=26，AD的长为x.则在△ABD中，x2+4−c2由余弦定理得：cos∠ADB=，4xx2+4−b2在△ACD中，由余弦定理得：cos∠ADC=，4x，得x=3，即AD=3．另解：AB·AC=AD+DB·(AD+DC)=AD+DB·(AD−DB)2222a2=AD−DB=AD−=AD−4=5，2∴AD=3．14.已知，设f(x)=a⋅b．(1)求函数f(x)的单调增区间；\nπ(2)三角形ABC的三个角A,B,C所对边分别是a,b,c，且满足A=,fB=1,3a+2b=310，求边c．【答案】解：(1)∵f(x)=a⋅b，πππ由fx递增得：−+2kπ⩽2x+⩽+2kπ，2423ππ即−+kπ⩽x⩽+kπ,k∈Z，883ππ∴f(x)的递增区间是[−+kπ,+kπ],k∈Z；88π(2)由及0<B<π，得B=，4设，则则，所以．15.已知△ABC的面积为33，且内角A、B、C依次成等差数列．(1)若sinC=3sinA，求边AC的长；(2)设D为边AC的中点，求线段BD长的最小值．【答案】解：(1)设内角A、B、C的对边分别为a、b、c，∵在△ABC中，三个内角A，B，C依次成等差数列，∴2B=A+C，∵A+B+C=180°，∴B=60°，13∵△ABC的面积为33=acsinB=ac，24∴ac=12，∵sinC=3sinA，由正弦定理可得：c=3a，∴解得a=2，c=6，\n∴由余弦定理得AC=b=a2+c2−2accosB1=4+36−2×2×6×=27．2(2)因为D为AC边的中点，1所以BD=(BA+BC)，22122两边平方，可得：BD=(BA+BC+2BA⋅BC)，42122可得|BD|=(c+a+2a⋅c⋅cosB)412211=(c+a+a⋅c)≥(2ac+ac)=×3×12=9，444解得BD≥3，当且仅当a=c时等号成立，可得BD的最小值为3．16.如图，空间四边形OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，点M在OA上，且OM=2MA，点N为BC中点．(Ⅰ)用a，b，c表示MN；(Ⅱ)在△ABC中，过点N作直线l分别交AB、AC于P、Q，若AP=mAB，AQ=nAC(m>0,n>0)，求m+n的最小值．【答案】解：(Ⅰ)MN=ON−OM12=(OB+OC)−OA23211=−a+b+c;3221(Ⅱ)AN=(AB+AC)2111=(AP+AQ)2mn\n11=AP+AQ，2m2n11∵P、N、Q三点共线∴+=12m2n11∴m+n=(m+n)(+)2m2nnm1=1++⩾1+2⋅=2，2m2n2当且仅当m=n=1时，“=”成立，∴m+n的最小值为2