2023届高考数学易错题专练--28椭圆及其性质（Word版附解析）

易错点28椭圆及其性质一、单选题1.若椭圆+=t>>和双曲线−=t>>有相同的焦点，P是两条曲线的一个交点，则⋅的值是A.−B.t−C.−D.−2.已知=t=㤮=t+=，则㤮=A.−B.䁣C.t−tD.3.根据天文物理学和数学原理，月球绕地球运行时的轨道是一个椭圆，地球位于椭圆的两个焦点位置中的一个，椭圆上的点距离地球所在焦点最短距离约为36万千米，月球轨道上点P与椭圆两焦点，构成的三角形面积约为‸t万千米，∠=，则月球绕地球运行轨道的一个标准方程为A.+=B.+=C.+=D.+=‸×‸‸×‸×4.已知，命题p：方程+=表示椭圆，命题q：−ͷ+൅，则命−−题p是命题q成立的t条件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要5.设定点−，，动点满足条件+=>，则动点P的轨迹是A.椭圆B.线段C.不存在D.椭圆或线段或不存在6.与椭圆+=有公共焦点，且过点t−的双曲线方程为A.−=B.−=C.−=D.−=7.已知椭圆+=t>>的左、右焦点分别为，，过且与x轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，直线与椭圆的另一个交点为C，若ABC=BC，则椭圆\n的离心率为ͷA.B.C.D.ͷͷ二、填空题8.设分别是椭圆+=的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为，ͷ则+的最大值为________．9.已知椭圆+=的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方，若线段PF的中点ͷ在以原点O为圆心，t圆t为半径的圆上，则直线PF的斜率是______．10.已知椭圆+=t>>的离心率是，若以㤮t为圆心且与椭圆C有公共点的圆的最大半径为，此时椭圆C的方程是______．11.已知双曲线−=的渐近线是边长为1的菱形OABC的边OA，OC所在直线若椭圆㤮+=t>>经过A，C两点，且点B是椭圆N的一个焦点，则=．三、解答题12.已知椭圆+=t>>的离心率为，且经过点t是椭圆的左、右焦点．t求椭圆C的方程；t点P在椭圆上运动，求tt·tt的最大值．\n13.已知条件p：“存在R，+t−+൅”，条件q：“曲线：+=+‸表示焦点在x轴上的椭圆”，条件s：“曲线：+=t⸹>表示双曲线”．−⸹−⸹t若p与q同时成立，求实数a的取值范围；t若s是q的充分不必要条件，求实数t的取值范围．14.以t−t为焦点的椭圆+=t>>过点t．t求椭圆C的方程；t过点作斜率为1的直线l交椭圆C于㘴两点，求+㘴的值．\n15.已知动圆M既与圆：++=外切，又与圆：+−−=内切。t求动圆的圆心M的轨迹C的方程．t设分别是椭圆C的左、右焦点，过的直线l与椭圆C交于不同的两点㘴，求㘴的内切圆的半径的最大值一、单选题1、若椭圆+=t>>和双曲线−=t>>有相同的焦点，P是两条曲线的一个交点，则⋅的值是A.−B.t−C.−D.−【答案】A【解析】解：椭圆+=t>>和双曲线−=t>>有相同的焦点，，P是两曲线的一个交点，tt+tt=，ttt−ttt=，ttt+tt−ttt−tttt⋅tt==−．故选A．2已知=t=㤮=t+=，则㤮=A.−B.䁣C.t−tD.【答案】D【解析】解：=t=䁣=㤮=t+=䁣=−，㤮=．故选D．3根据天文物理学和数学原理，月球绕地球运行时的轨道是一个椭圆，地球位于椭圆的两个焦点位置中的一个，椭圆上的点距离地球所在焦点最短距离约为36万千米，月球轨道上点P与椭圆两焦点，构成的三角形面积约为‸t万千米，∠=，则月\n球绕地球运行轨道的一个标准方程为A.+=B.+=C.+=D.+=‸×‸‸×‸×【答案】A【解析】解：设=，=，由椭圆定义可知：+=，又椭圆上的点距离地球所在焦点最短距离约为36万千米，则−䁪=，在中，由余弦定理得：䁪=+−cos，由三角形面积约为‸t万千米，∠=，得：sin=‸，+=−䁪=sin=‸联立上述方程得：，=+䁪䁪=+−cos=解得：．=‸故选A．4、已知，命题p：方程+=表示椭圆，命题q：−ͷ+൅，则命题−−p是命题q成立的t条件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要【答案】A−>ͷ【解析】解：命题p：“方程+=表示椭圆”，则−>，解得൅൅−−−−ͷ或൅൅，命题q：−ͷ+൅，即t−t−൅，解得：൅൅，故p是q的充分不必要条件．故选A．5、设定点−，，动点满足条件+=>，则动点P的轨迹是A.椭圆B.线段C.不存在D.椭圆或线段或不存在\n【答案】D【解析】解：由题中坐标得到=，又由于+=，当=时，点P的轨迹为线段；当>时，点P的轨迹为椭圆；当൅൅时，点P的轨迹不存在．故选D．6、与椭圆+=有公共焦点，且过点t−的双曲线方程为A.−=B.−=C.−=D.−=【答案】B【解析】解：根据题意，椭圆的方程为+=，其焦点在x轴上，且䁪=−=，则其焦点坐标为t，设要求双曲线的方程为：−=，又由过点t−且焦点坐标为t，−=则有+==解可得：=故要求双曲线方程为−=；故选B．6、已知椭圆+=t>>的左、右焦点分别为，，过且与x轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，直线与椭圆的另一个交点为C，若ABC=BC，则椭圆的离心率为ͷA.B.C.D.ͷͷ【答案】A【解析】解：如图：\n椭圆+=t>>焦点在x轴上，设椭圆的左、右焦点分别为t−䁪，t䁪，由=−䁪，代入椭圆方程可得=，可设t−䁪，t，由ABC=BC，可得=，即有，即䁪=−䁪，−=，可得：=䁪，，䁪代入椭圆方程可得：+=，䁪由=−䁪，根据离心率公式可知：=，整理得：+−=，解得=ͷ，ͷͷ由൅൅，则=，ͷ故选A．二、填空题7、设分别是椭圆+=的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为，ͷ则+的最大值为________．【答案】15【解析】解：由椭圆方程可得=ͷ，=，䁪=．t−，t，如图所示．\n由椭圆的定义可得tt+tt==，tt+tt=tt+−tt=+ttt−tt+tt=++=ͷ，当且仅当P，M，三点共线时等号成立，则tt+tt的最大值为15．故答案为15．8已知椭圆+=的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方，若线段PF的中点在ͷ以原点O为圆心，t圆t为半径的圆上，则直线PF的斜率是______．【答案】ͷ【解析】解：椭圆+=的=，=ͷ，䁪=，ͷ设椭圆的右焦点为，连接，线段PF的中点A在以原点O为圆心，2为半径的圆上，连接AO，可得tt=t圆t=，中，=−=，=，=，\n+−由余弦定理得cos∠=×+−==，××ͷ，sin∠=−t=tan∠=ͷ，即直线PF的斜率为ͷ．故答案为ͷ．9已知椭圆+=t>>的离心率是，若以㤮t为圆心且与椭圆C有公共点的圆的最大半径为，此时椭圆C的方程是______．【答案】+=‸䁪【解析】解：椭圆+=t>>的离心率是，=，−即=，解得=，椭圆C：+=，即+=，以㤮t为圆心，半径为R的圆方程为+t−=，代入消去x化简得，=‸+−t+‸+，以㤮t为圆心且与椭圆C有公共点的圆的最大半径为，=‸+，解得=，==‸，故此时椭圆C的方程是+=．‸故答案为+=．‸10已知双曲线−=的渐近线是边长为1的菱形OABC的边OA，OC所在直线若椭圆㤮+=t>>经过A，C两点，且点B是椭圆N的一个焦点，则=．+【答案】【解析】解：根据题意，可作出如下所示的图形，设点D为椭圆的另一个焦点，连接AD，\n双曲线−=的渐近线方程为=，∠圆㘴=，菱形OABC的边长为1，圆=圆㘴=圆ܤ，则ܤ㘴点A的坐标为t，㘴t，ܤt−，tܤt=t++t=，而t㘴t=，由椭圆的定义可知，t㘴t+tܤt=，+=．+故答案为：．三、解答题11已知椭圆+=t>>的离心率为，且经过点t是椭圆的左、右焦点．t求椭圆C的方程；t点P在椭圆上运动，求tt·tt的最大值．䁪==【答案】解：t由题意，得，解得=．+=䁪==+䁪椭圆C的方程是+=；t在椭圆上运动，tt+tt==，tt+tttt⋅ttt=t=，当且仅当tt=tt时等号成立，tt⋅tt的最大值为4．\n12已知条件p：“存在R，+t−+൅”，条件q：“曲线：+=表+‸示焦点在x轴上的椭圆”，条件s：“曲线：+=t⸹>表示双曲线”．−⸹−⸹t若p与q同时成立，求实数a的取值范围；t若s是q的充分不必要条件，求实数t的取值范围．【答案】解：t若p成立，则=−−⋅⋅>，ͷ解得൅−或>．>+‸若q成立，则+‸>得−൅൅−或>．ͷ൅−或>ͷ若p和q同时成立，则，解得−൅൅−或>−൅൅−或>ͷ的取值范围是t−൅൅−或>．t解：若s成立，则−⸹−⸹൅，即⸹൅൅⸹．由s是q的充分不必要条件，ͷt⸹൅൅⸹t−൅൅−或>，⸹>，⸹，解得⸹，⸹的取值范围是⸹t⸹13以t−t为焦点的椭圆+=t>>过点t．t求椭圆C的方程；t过点作斜率为1的直线l交椭圆C于㘴两点，求+㘴的值．【答案】解：t根据题意可知，䁪=，−==联立方程得+==故椭圆C方程为+=\nt由题可知直线l为=+，设㘴+=联立=+消元得ͷ+‸+‸=，‸‸所以+=−=，ͷͷ‸由弦长公式得㘴=+·t+−=，ͷ由椭圆定义得：++㘴+㘴=㘴++㘴==‸，‸故+㘴=‸−=．ͷͷ14已知动圆M既与圆：++=外切，又与圆：+−−=内切。t求动圆的圆心M的轨迹C的方程．t设分别是椭圆C的左、右焦点，过的直线l与椭圆C交于不同的两点㘴，求㘴的内切圆的半径的最大值．【答案】解：t：++=，：−+=，设动圆圆心，半径为r，=㐮+则+=>==−㐮是以、为焦点，长轴长为12的椭圆，==，=−䁪=，所求轨迹方程为+=．t由题意可分析，即由−的最大值可求得r的最大值，因为tt=䁪=，㘴==，计算得直线l为=时r的最大值为