易错点16三角函数的图象与性质一、单选题 1.已知函数 sin cos 晦䁧 ，则函数的值域为 A. 䁧 B. 䁧 C. 䁧 D. 䁧 cos cos 2.使 成立的 范围 cos sin A. 䁧 B. ㌳ ㌳ 䁧 C. 䁧 D.只能是第三或第四象限的角3.函数 ൌ sin 的部分图象大致为A.B.C.D.4.已知 쳌䁩中，满足 ，쳌 晦 的三角形有两解，则边长a的取值范围是 A. 㠴 B. 㠴 C. 㠴 D. 㠴 5.关于函数 sin cos 有下述四个结论：① 的周期为 ；② 在晦䁧 上单调递增；③函数 在 䁧 上有3个零点；④函数 的最小值为 其中所有正确结论的编号为A.①④B.②③C.①③④D.②④6.某校高一年级研究性学习小组利用激光多普勒测速仪实地测量复兴号高铁在某时刻的\n速度，其工作原理是：激光器发出的光平均分成两束射出，在被测物体表面汇聚，探测器接收反射光．当被测物体横向速度为零时，反射光与探测光频率相同．当横向速度不 sin 为零时，反射光相对探测光会发生频移 ，其中v为测速仪测得被测物体的横 向速度， 为激光波长， 为两束探测光线夹角的一半，如图，若激光测速仪安装在距离高铁 处，发出的激光波长为 晦 晦 ，测得某时刻频移为 晦 晦 晦 ，则该时刻高铁的速度约等于A. 晦 䁋 B. 晦 䁋 C. 晦 䁋 D. 晦 䁋 7.中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美” 如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美 给出定义：能够将圆O的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”．给出下列命题：①正弦函数 sin 可以是无数个圆的“优美函数”； 晦 晦 ②函数 可以是无数个圆的“优美函数”； 晦 ③函数 ln 可以是某个圆的“优美函数”；④函数 是“优美函数”的充要条件为函数 的图象是中心对称图形 其中正确命题的序号是A.①③④B.①②C.②③D.①②④tan 8. ， 䁧晦 晦䁧 的大致图象是 \nA.B.C.D.二、填空题 9.函数 sin 的最小正周期是______． 10.函数 cos sin 的最大值为___________．11.若函数 ൌ 晦㌳ ㌳ 的图象和直线 围成一个封闭的平面图形 如图 ，则这个封闭图形的面积为_________ 12.已知函数 sin 晦㌳ ㌳，若函数 㠴恰有3零点，分别为 䁧 䁧 ，则 的值为____三、解答题 13.已知函数 ൌ ൌ ，且满足 ． 求m的值及 的最小正周期； 若 晦䁧，求 的单调区间． 14.如图所示，某镇有一块空地 쳌，其中 ， 쳌 ， 쳌 晦 当地\n镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖 ，其中M，N都在边AB上，且 晦 ，挖出的泥士堆放在 地带上形成假山，剩下的 쳌 地带开设儿童游乐场．为安全起见，需在 的周围安装防护网． 当 时，求防护网的总长度； 为节省投入资金，人工湖 的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使 的面积最小？最小面积是多少？15.设 쳌䁩的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且三个内角A，B，C依次成等差数列． 若sin 쳌 sin 䁩，求角A； 䁩 若 쳌䁩为钝角三角形，且㠴ꃨ ，求sin sincos 的取值范围． 16.已知函数 sin ， 其中 ꃨ晦， ꃨ晦，晦 的周期为 ， \n 且图象上一个最低点为 䁧 ． 求 的解析式 当 晦䁧 时，求 的最值 一、单选题 1.已知函数 sin cos 晦䁧 ，则函数的值域为 A. 䁧 B. 䁧 C. 䁧 D. 䁧 【答案】B 【解析】解： 函数 sin ൌ cos ൌ ൌ ， 晦䁧 ， ൌ 䁧 ，故当 ൌ 时，函数取得最大值为2； 当 ൌ 时，函数取得最小值为1， 故函数的值域为 䁧 ，故选B． cos cos 2.使 成立的 范围 cos sin A. 䁧 B. ㌳ ㌳ 䁧 C. 䁧 D.只能是第三或第四象限的角【答案】A ൌ ൌ ൌ ൌ 【解析】解：因为 ， ൌ sin 又 ൌ 晦，所以 晦，\n解得 t 䁧 ．故选A．3.函数 ൌ sin 的部分图象大致为A.B.C.D.【答案】C【解析】解： 函数 cos sin ，， 函数为 cos sin 为奇函数， 排除B； 又 晦， 晦， 排除D，A，故选C．4.已知 쳌䁩中，满足 ，쳌 晦 的三角形有两解，则边长a的取值范围是 A. 㠴 B. 㠴 C. 㠴 D. 㠴 【答案】C【解析】解：若 쳌䁩有两解， ，쳌 晦 ，由正弦定理及正弦函数的图象和性质， 㠴sin쳌 㠴 则需，解得 㠴ꃨ 㠴ꃨ \n 解得 㠴 ， 故选：C． 5.关于函数 sin cos 有下述四个结论：① 的周期为 ；② 在晦䁧 上单调递增；③函数 在 䁧 上有3个零点；④函数 的最小值为 其中所有正确结论的编号为A.①④B.②③C.①③④D.②④【答案】A【解析】【解答】 sin cost t sin cos ， sin cos ，故 ①正确 sin cos sin ，当 晦䁧 ， 䁧 ， 函数先增后减，故 ②错误 sin ，即sin ， 䁧 ，共 有2个解，故 ③错误 sin ，最小值为 ，故 ④正确． 故选A．6.某校高一年级研究性学习小组利用激光多普勒测速仪实地测量复兴号高铁在某时刻的速度，其工作原理是：激光器发出的光平均分成两束射出，在被测物体表面汇聚，探测器接收反射光．当被测物体横向速度为零时，反射光与探测光频率相同．当横向速度不 sin 为零时，反射光相对探测光会发生频移 ，其中v为测速仪测得被测物体的横 向速度， 为激光波长， 为两束探测光线夹角的一半，如图，若激光测速仪安装在距离高铁 处，发出的激光波长为 晦 晦 ，测得某时刻频移为 晦 晦 晦 ，则该时刻高铁的速度约等于\nA. 晦 䁋 B. 晦 䁋 C. 晦 䁋 D. 晦 䁋 【答案】D 晦 晦 晦 晦 【解析】解：由图中数据可得sin ， 晦 晦 晦晦晦 晦 晦 晦 晦 故 晦 晦 晦 晦晦晦 ，即 晦 ， 晦 晦 晦 晦晦晦 晦 晦 晦晦晦 故 䁋 晦 䁋 ．晦 晦 故选D．7.中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美” 如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美 给出定义：能够将圆O的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”．给出下列命题：①正弦函数 sin 可以是无数个圆的“优美函数”； 晦 晦 ②函数 可以是无数个圆的“优美函数”； 晦 ③函数 ln 可以是某个圆的“优美函数”；④函数 是“优美函数”的充要条件为函数 的图象是中心对称图形 其中正确命题的序号是A.①③④B.①②C.②③D.①②④【答案】B【解析】解：将圆的圆心放在正弦函数 的对称中心上，则正弦函数 是该\n圆的“优美函数”；故有无数个圆成立，故①正确； 晦 晦 晦 晦 晦 晦 函数 的定义域是R， 晦 晦 晦 晦 晦 ， 是奇函数，将圆心放在原点，故对于任意一个圆O，都是 晦 优美函数，故②正确；函数 ln 是偶函数，在 ꃨ晦时是单调递增的，大致图象如图1，故其不可能为圆的“优美函数”； ③不正确；函数 的图象是中心对称图形，则 是“优美函数”，但函数 是“优美函数”时，图象不一定是中心对称图形，如图2，故④错误．故选B．tan 8. ， 䁧晦 晦䁧 的大致图象是 A.B.C.D.【答案】A【解析】解：因为是偶函数，排除B，C， 由性质：在晦䁧上，， 知．故选A．二、填空题 9.函数 sin 的最小正周期是______． 【答案】\n【解析】解：，根据三角函数的性质知．故答案为：10.函数 cos sin 的最大值为___________． 【答案】 【解析】解：令 쳌，函数 cos2 쳌 쳌 쳌 ， ㌳쳌㌳ ． 故当쳌 时，函数y取得最大值为， 故答案为． 11.若函数 ൌ 晦㌳ ㌳ 的图象和直线 围成一个封闭的平面图形 如图 ，则这个封闭图形的面积为_________【答案】 【解析】解：观察图可知：图形 与 ， 与 都是两个对称图形，有 ， ．因此函数 ൌ 的图象与直线 所围成的图形面积，可以等价转化为求矩形OABC的面积． t t ，t 䁩t ， ，矩形 쳌䁩 所求封闭图形的面积为 ．故答案为 ． 12.已知函数 sin 晦㌳ ㌳，若函数 㠴恰有3零点，分 别为 䁧 䁧 ，则 的值为____【答案】\n【解析】解：令得， ，即 的对称轴方程为， ． 的最小正周期为 ，， 在上有3条对称轴，，，，故答案为．三、解答题 13.已知函数 ൌ ൌ ，且满足 ． 求m的值及 的最小正周期； 若 晦䁧，求 的单调区间． 【答案】解： 由 ，得 ， 解得 ． ൌ ൌ ൌ ൌ sin ， 所以函数 的最小正周期 ． 由 ㌳ ㌳ ， 得 ㌳ ㌳ ． 又 晦䁧 时，所以 晦䁧 ，或 䁧 ， 即 的单调递增区间为 晦䁧 和 䁧 ； \n 由 ㌳ ㌳ ， 得 ㌳ ㌳ ，又 晦䁧 ， 所以 的单调递减区间为 䁧 ． 14.如图所示，某镇有一块空地 쳌，其中 ， 쳌 ， 쳌 晦 当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖 ，其中M，N都在边AB上，且 晦 ，挖出的泥士堆放在 地带上形成假山，剩下的 쳌 地带开设儿童游乐场．为安全起见，需在 的周围安装防护网． 当 时，求防护网的总长度； 为节省投入资金，人工湖 的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使 的面积最小？最小面积是多少？【答案】解： ， 쳌 ， 쳌 晦 ， 晦 ， 쳌 ． 在 中，由余弦定理得： cos ． ． 由正弦定理得： ，即 ，sin sin sin ． 晦 ． 是等边三角形． 的周长䁩 ． 防护网的总长度为9km． 设 晦 晦 ，则 晦 ， 晦 ， \n 晦 ． 在 中，由正弦定理得 ，即 ． sin 晦 sin 晦 sin sin ， sin 晦 在 中，由正弦定理得 ，sin sin 即 sin 晦 cos ， ， cos sin cos sin 晦 sin 晦 ． 当且仅当 晦 晦，即 时， 的面积取最小值为 15.设 쳌䁩的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且三个内角A，B，C依次成等差数列． 若sin 쳌 sin 䁩，求角A； 䁩 若 쳌䁩为钝角三角形，且㠴ꃨ ，求sin sincos 的取值范围． 【答案】解： ，B，C依次成等差数列， 쳌 䁩 쳌， 쳌 ． sin 쳌 䁩， 由正弦定理可得 㠴 ．又由余弦定理可得： 㠴 㠴 ൌ 쳌 㠴 㠴 ， 㠴 㠴 㠴 ，即 㠴 晦， 㠴 ． 쳌䁩为正三角形， ． sin cos \n sin cos sin ． 㠴ꃨ ，且 쳌䁩为钝角三角形， ， ， sin ， sin ． 故的取值范围是 䁧 ． 16.已知函数 sin ， 其中 ꃨ晦， ꃨ晦，晦 的周期为 ， 且图象上一个最低点为 䁧 ． 求 的解析式 当 晦䁧 时，求 的最值． 【答案】解： 由最低点为 䁧 得 由 得 由点 䁧 在图象上得 sin ，即sin ． ，即 ， 又 晦䁧 ， ， sin 晦䁧 ， 䁧 当 ，即 晦时， 取得最小值 当 ，即 时， 取得最大值
