2023届高考数学易错题专练--23数列的综合应用（Word版附解析）

易错点23数列的综合应用一、单选题1.等比数列，使不等式㠴㠴成立大自然数A.5B.6C.7D.82.已知等差数列公差不为零和等差数列，如果关于x的实系数方程㠴㠴㠴㠴㠴㠴㠴有实数解，那么以下九个方程㠴耀2，3，，中，无实数解的方程最多有A.3个B.4个C.5个D.6个sincossincos3.设等差数列满足，公差耀，当且仅当时，sin㠴数列的前n项和取得最大值，求该数列首项的取值范围A.耀B.耀C.耀D.耀4.已知数列满足，，㠴㠴sin㠴cosN㠴，则㠴log的值为A.2019B.2020C.2021D.20225.银行按“复利”计算利息，即把上一个月的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一个月的利息．某人在银行贷款金额为A元，采用的还款方式为“等额本息”，即每个月还款1次，每次还款的金额固定不变，直到贷款的本金和利息全部还完为止．若月利率p固定不变，按“复利”计算本息和，分n个月还清贷款1个月后开始第1次还款，则此人每月还款金额为㠴൅A.元B.元㠴൅൅㠴൅C.元D.元㠴൅㠴൅6.已知，都是定义在R上的函数，，’>’，且>耀且耀㠴，若数列的前n项和大于363，则n的最小值为A.4B.5C.6D.7\n7.数列满足㠴㠴，耀，则以下说法正确的个数；㠴㠴㠴㠴；㠴对任意正数b，都存在正整数m使得㠴㠴㠴㠴>成立．㠴A.1B.2C.3D.48.“垛积术”隙积术是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有菱草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等，某仓库中部分货物堆放成如图所示的“菱草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是n件，已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的若这堆货物总价是万元，则n的值为A.7B.8C.9D.10二、填空题9.已知等差数列的公差为2，前n项和为，且，，成等比数列，令，则数列的前99项和______．㠴10.正项等比数列满足㠴，且，，成等差数列，则㠴取得最小值时的n值为______．11.定义各项为正数的数列൅的“美数”为，若各项为正数的数列㠴的“美数”为，且，则㠴㠴________．㠴㠴㠴㠴12.对于数列，定义为数列的“好数”，已知某数列的“好数”㠴，记数列㌳的前n项和为，若对任意的N恒成立，则实数k的取值范围是__________．三、解答题13.已知正项数列的首项，前n项和满足㠴．\n求数列的通项公式；记数列的前n项和为，若对任意的，不等式恒成立，㠴求实数a的取值范围．14.对于正整数n，如果㌳㌳个整数，，，㌳满足㌳，且㠴㠴㠴㌳，则称数组耀耀耀㌳为n的一个“正整数分拆”记，，，㌳均为偶数的“正整数分拆”的个数为；，，，㌳均为奇数的“正整数分拆”的个数为．Ⅰ写出整数4的所有“正整数分拆”；Ⅱ对于给定的整数，设耀耀耀㌳是n的一个“正整数分拆”，且，求k的最大值；Ⅲ对所有的正整数n，证明：；并求出使得等号成立的n的值．注：对于n的两个“正整数分拆”耀耀耀㌳与耀耀耀，当且仅当㌳且，，，㌳时，称这两个“正整数分拆”是相同的．15.已知数列为等比数列，且>，数列满足log若，．Ⅰ求数列的通项公式；Ⅱ设数列㠴前n项和为，若当且仅当时，取得最大值，求实数m的取值范围．\n已知数列的前n项和为，，且㠴，数列满足，，对任意，都有㠴㠴．求数列、的通项公式；令㠴㠴㠴；求证：；若对任意的，不等式㠴㠴恒成立，求实数的取值范围一、单选题1.等比数列，使不等式㠴㠴成立大自然数A.5B.6C.7D.8【答案】C【解析】解：在等比数列，，>，时，>．，，㠴㠴㠴㠴㠴㠴，，所以n的大值7．\n时，㠴㠴㠴，故选C．在等比数列中，由，知>，故>时，>知，故，理得，，空，所以㠴㠴㠴㠴㠴㠴，由此求出n最大值．2.已知等差数列公差不为零和等差数列，如果关于x的实系数方程㠴㠴㠴㠴㠴㠴㠴有实数解，那么以下九个方程㠴耀2，3，，中，无实数解的方程最多有A.3个B.4个C.5个D.6个【答案】B【解析】解：设等差数列公差不为零和等差数列的公差为，则关于x的方程㠴㠴㠴㠴㠴有解，则㠴㠴㠴㠴，㠴㠴即有，即有，则第5个方程有解，若，则若>，则>>>>，即有5个方程有解，最多4个方程无解，若，则>>>>，即有5个方程有解，最多4个方程无解．故选：B．sincossincos3.设等差数列满足，公差耀，当且仅当时，sin㠴数列的前n项和取得最大值，求该数列首项的取值范围A.耀B.耀C.耀D.耀【答案】Acos【解析】解：等差数列满足，sin㠴\n㠴sin㠴㠴，sinsin㠴sin㠴sin㠴，即sin或sin㠴，sin，耀，耀，则，，㠴㠴㠴，对称轴方程为㠴，由题意当且仅当时，数列的前n项和取得最大值，㠴，解得．故选A4.已知数列满足，，㠴㠴sin㠴cosN㠴，则㠴log的值为A.2019B.2020C.2021D.2022【答案】B【解析】解：，，㠴㠴sin㠴cosN㠴当n为奇数时，sin耀cos，此时㠴，当n为偶数时，sin耀cos，此时㠴㠴，则㠴log㠴㠴log．\n故选B．5.银行按“复利”计算利息，即把上一个月的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一个月的利息．某人在银行贷款金额为A元，采用的还款方式为“等额本息”，即每个月还款1次，每次还款的金额固定不变，直到贷款的本金和利息全部还完为止．若月利率p固定不变，按“复利”计算本息和，分n个月还清贷款1个月后开始第1次还款，则此人每月还款金额为㠴൅A.元B.元㠴൅൅㠴൅C.元D.元㠴൅㠴൅【答案】D【解析】解：因为银行贷款金额为A元，月利率p，分n个月还清；所以本息和一共为㠴൅元，设每个月还款金额为Q元，则㠴൅㌳㠴㌳㠴൅㠴㌳㠴൅㠴㠴㌳㠴൅，㌳㠴൅由等比数列求和公式得㌳㠴㌳㠴൅㠴㌳㠴൅㠴㠴㌳㠴൅，㠴൅㌳㠴൅൅㠴൅即㠴൅，㌳㠴൅㠴൅൅㠴൅故此人每月还款金额为元；㠴൅故选D．6.已知，都是定义在R上的函数，，’>’，且>耀且耀㠴，若数列的前n项和大于363，则n的最小值为A.4B.5C.6D.7【答案】C【解析】解：>且，，又̵>̵，̵̵̵>，是增函数，>，\n㠴．㠴，解得或，综上得．数列为数列的前n项和大于363，㠴㠴㠴㠴㠴>，即㠴>，㠴>，解得>．的最小值为6．故选C．7.数列满足㠴㠴，耀，则以下说法正确的个数；㠴㠴㠴㠴；㠴对任意正数b，都存在正整数m使得㠴㠴㠴㠴>成立．㠴A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】解：对于由已知得，㠴㠴㠴结合耀以及二次函数性质可知㠴>，所以>，又㠴故正确；对于：㠴㠴㠴㠴㠴㠴㠴耀㠴㠴故正确\n对于：由㠴㠴，可得>㠴所以㠴㠴㠴㠴>所以对任意正数b，取正整数>时，㠴㠴㠴㠴>>故正确对于：当时，显然成立；假设当㌳㌳时，㌳成立㌳㠴又㌳㠴㌳㠴㌳㌳㠴㌳因为㌳㌳㠴，所以㌳㠴㠴㌳㠴㌳㠴㌳㠴㌳㠴所以当㌳㠴时也成立故而㠴故正确．故选D．8.“垛积术”隙积术是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有菱草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等，某仓库中部分货物堆放成如图所示的“菱草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是n件，已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的若这堆货物总价是万元，则n的值为A.7B.8C.9D.10【答案】D【解析】解：根据题意得，㠴㠴㠴㠴，则㠴㠴㠴㠴，以上两式相减，得，㠴㠴㠴㠴㠴，\n所以㠴，解得．故选D．二、填空题9.已知等差数列的公差为2，前n项和为，且，，成等比数列，令，则数列的前99项和______．㠴【答案】【解析】解：设等差数列的首项为，公差为2，前n项和为，且，，成等比数列．则：㠴㠴，解得：，所以：㠴，所以：㠴㠴㠴，㠴所以㠴㠴㠴㠴㠴㠴㠴，㠴㠴故答案为．10.正项等比数列满足㠴，且，，成等差数列，则㠴取得最小值时的n值为______．【答案】2【解析】解：正项等比数列的公比设为q，㠴，且，，成等差数列，可得㠴，㠴，即㠴，解得，，则，，㠴则㠴㠴㠴，当时，㠴取得最小值，故答案为：2．\n11.定义各项为正数的数列൅的“美数”为，若各项为正数的数列㠴的“美数”为，且，则㠴㠴________．㠴【答案】【解析】解：因为各项为正数的数列的“美数”为，㠴所以．㠴㠴㠴㠴设数列的前n项和为，则㠴，㠴ሺ㠴，所以．又，所以，满足式子，所以N㠴又，所以，所以㠴㠴㠴㠴㠴㠴㠴㠴．㠴㠴㠴12.对于数列，定义为数列的“好数”，已知某数列的“好数”㠴，记数列㌳的前n项和为，若对任意的N恒成立，则实数k的取值范围是__________．【答案】耀ሺ【解析】解：由题意，当时，，由㠴㠴㠴，可得㠴㠴㠴，两式相减可得，\n整理得㠴㠴，由于㠴，则数列的通项公式为㠴，则㌳㌳㠴，由于对任意的恒成立，则㌳>且㌳耀㌳，㌳㌳由，解得㌳．㌳㌳故答案为耀ሺ．三、解答题13.已知正项数列的首项，前n项和满足㠴．求数列的通项公式；记数列的前n项和为，若对任意的，不等式恒成立，㠴求实数a的取值范围．【答案】解：当时，㠴，㠴，即，所以数列是首项为1，公差为的等差数列，㠴故，㠴㠴又由㠴㠴，㠴耀所以耀时耀，当时，㠴㠴㠴㠴，㠴㠴㠴㠴㠴㠴㠴，㠴\n又因为，则由，，解得或．即所求实数a的范围是或．14.对于正整数n，如果㌳㌳个整数，，，㌳满足㌳，且㠴㠴㠴㌳，则称数组耀耀耀㌳为n的一个“正整数分拆”记，，，㌳均为偶数的“正整数分拆”的个数为；，，，㌳均为奇数的“正整数分拆”的个数为．Ⅰ写出整数4的所有“正整数分拆”；Ⅱ对于给定的整数，设耀耀耀㌳是n的一个“正整数分拆”，且，求k的最大值；Ⅲ对所有的正整数n，证明：；并求出使得等号成立的n的值．注：对于n的两个“正整数分拆”耀耀耀㌳与耀耀耀，当且仅当㌳且，，，㌳时，称这两个“正整数分拆”是相同的．【答案】解：Ⅰ解：整数4的所有“正整数分拆”有：，耀，耀，耀1，，耀1，1，1，．Ⅱ解：欲使k最大，只须最小，当n为偶数时，㌳，㌳，当n为奇数时，㌳，㌳，㌳．Ⅲ证明：当n为奇数时，不存在，，，㌳均为偶数的一个确定的“正整数分拆”，即，满足；当n为偶数时，设耀耀耀㌳为满足，，，㌳均为偶数的一个确定的“正整数分拆”，则他至少对应了耀1，，和耀1，，1，，，，㌳这两种各数均为奇数的分拆，；当时，均为偶数的“正整数分拆“只有：，均为奇数的”正整数分拆“只有：耀，；当时，均为偶数的”正整数分拆“只有：，耀，均为奇数的”正整数分拆“只有：耀1，，耀，；\n当时，对于每一种均为偶数的”正整数分拆“，除了各项不全为1的奇数分拆之外至少多出一个各为1的”正整数分拆“耀1，，，．综上，使得中等号成立的n的值为2，4．15.已知数列为等比数列，且>，数列满足log若，．Ⅰ求数列的通项公式；Ⅱ设数列㠴前n项和为，若当且仅当时，取得最大值，求实数m的取值范围．【答案】解：Ⅰ由题意，设等比数列的公比为q，则log，即．log，即．．数列的通项公式为，．Ⅱ由Ⅰ知，log．故㠴㠴．数列㠴是等差数列．当且仅当时，数列㠴的前n项和取得最大值，㠴>㠴>，即．㠴㠴解得．实数m的取值范围是耀．16.已知数列的前n项和为，，且㠴，数列满足，，对任意，都有㠴㠴．求数列、的通项公式；令㠴㠴㠴；求证：；若对任意的，不等式㠴㠴恒成立，求实数的取值范围．\n㠴【答案】解：㠴，，，㠴当时，，，即，1又，也满足上式，故数列的通项公式，，由㠴㠴，且，，，可知：数列是等比数列，其首项、公比均为，数列的通项公式：，综上所述：，，㠴㠴㠴㠴，㠴㠴㠴㠴㠴㠴㠴㠴㠴㠴，㠴，㠴㠴㠴又㠴㠴㠴㠴>，数列为单调递增数列，所以时，取得最小值，即，综上所述：㠴㠴由知：，由知：，不等式㠴㠴恒成立，㠴㠴即㠴㠴，\n即㠴，恒成立．设㠴，，当时，恒成立，则满足条件；当时，由二次函数性质知不恒成立；当>时，由于对称轴，则在耀㠴上单调递减，恒成立，则>满足条件．综上所述，实数的取值范围是耀㠴