易错点3函数的性质一、单项选择题 1.形如 如 Ͳ 的函数因其函数图象类似于汉字中的“囧”字，故我们把其生 动地称为“囧函数” 若函数 如 洠 且 洠 有最小值，则当 如洠Ͳ 如洠时的“囧函数”与函的图象交点个数为 A.1B.2C.4D.62.函数 如 ݉ ，在 Ͳ 上单调递减，在 Ͳ 上单调递增，则 洠 如 A. B.7C.13D.不能确定3.函数 如 洠 在区间 洠Ͳ 上是增函数，则实数a的取值范围是 洠洠洠A. ͲB. Ͳ C. ͲD. Ͳ 4.已知奇函数 满足 如 ，当 Ͳ洠 时， 如 ，则 log洠 如 A.B. C.D. 二、多项选择题5.声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数 纯音的数学模型是函数 如 sin ，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音 若一个复合音的数学模型是洠函数 如sin sin ，则下列结论正确的是 A. 是 的一个周期；B. 在 Ͳ 上有3个零点； C. 的最大值为；D. 在 Ͳ上是增函数． 6.下列命题中，真命题的是 A. 如sin 的图象与 如sin 的图象关于y轴对称B. 如cos 的图象与 如cos 的图象相同\nC. 如sin 的图象与 如sin 的图象关于x轴对称D. 如cos 的图象与 如cos 的图象相同7.已知函数 如 sin cos cos ，则下列结论正确的是 ．A.函数的最小正周期为 B.函数的最大值是3 C.函数的单调增区间为 Ͳ 洠 洠 D. Ͳ 是函数的一个对称中心 8.已知函数，给出下述论述，其中正确的是 A.当 如 时， 的定义域为B. 一定有最小值；C.当 如 时， 的值域为R；D.若 在区间上单调递增，则实数a的取值范围是 ㌠ 9.已知函数 如sin ，则下列结论正确的是 A.函数 的最小正周期为 B.函数 是偶函数 C.函数 的图象关于直线 如对称 D.函数 在区间 Ͳ上是增函数 10.下列命题中正确的是 A.命题“ Ͳ sin ”的否定是“ Ͳ sin ”B.若函数 在区间 Ͳ 上单调递增，则 在区间 Ͳ 上恒成立洠C.“ ”是“不等式 洠成立”的必要不充分条件 洠D.若对任意 洠Ͳ 洠 都满足 ，则函数 是R上的增函数 洠11.下列说法正确的是 ．A.分针每小时旋转 弧度B.在 香䁨中，若sin 如sin 香，则 如香\nC.在同一坐标系中，函数 如sin 的图象和函数 如 的图象有三个公共点sin D.函数 如是奇函数洠 cos 洠 洠12.函数 在 Ͳ 上有定义，若对任意 洠Ͳ Ͳ ，有 洠 则称 在 Ͳ 上具有性质 设 在 洠Ͳ 上具有性质P，则下列说法错误的是： A. 在 洠Ͳ 上的图像是连续不断的；B. 在 洠Ͳ 上具有性质P；C.若 在 如 处取得最大值1，则 如洠， 洠Ͳ ； 洠 洠D.对任意 洠Ͳ Ͳ Ͳ 洠Ͳ ，有 洠 三、填空题洠 13.已知函数 如 ，则 如 洠是________函数 从“奇”，“偶”，“非奇 洠非偶”及“既是奇函数又是偶”中选择一个填空 ，不等式 洠 的解集为________．14.已知 是定义在 Ͳ 上的偶函数，且在 Ͳ 上是增函数，设 如 log ， 如 log洠 ， 如 ，则a，b，c的大小关系是____________． 15.下列几个命题①方程 如 有一个正实根，一个负实根，则 ；②函数 如 洠 洠 是偶函数，但不是奇函数；③命题“若 洠，则 洠”的否命题为“若 洠，则 洠”；④命题“ ，使得 洠 ”的否定是“ ，都有 洠 ”；⑤“ 洠”是“ ”的充分不必要条件．正确的是__________．数 数 16.设函数 数 如 ，则使得 数 数 成立的x的取值范围是lg 数 \n____________ 四、解答题17.设 如log 洠 log 且 洠 ， 洠 如 ． 洠 求a的值及 的定义域； 求 在区间 Ͳ 上的最大值． 18.已知二次函数． 洠 若 对于 恒成立，求t的取值范围； 若 如 ݉ ，当 洠Ͳ 时，若 的最大值为2，求m的值． 19.己知函数 如sin ݉ Ͳ 满足下列4个条件中的3个，4 个条件依次是：① 如；②周期 如 ；③过点 Ͳ ；④ 如。 洠 写出所满足的3个条件的序号 不需要说明理由 ，并求 的解析式；\n 求函数 的图像与直线 如洠相邻两个交点间的最短距离．20.已知幂函数 如 ݉ ݉ ݉ 洠为偶函数． 洠 求 的解析式； 若函数 如 洠 洠在区间 Ͳ 上为单调函数，求实数a的取值范围． 洠 21.已知函数 如 ，且 洠 如． 洠 求a的值； 判定 的奇偶性，并说明理由；\n 令 如 ݉，若 如 有两个不同的零点，写出实数m的值 此问不需要写过程 ．已知 是定义域为R的奇函数，且当 洠 时， 洠 洠 ，设p：“ ݉ 洠 ሺ݉ ”． 洠 若p为真，求实数m的取值范围； 设q：集合 如 ㌠ 洠 与集合香如 ㌠ ݉ 的交集为 ㌠ 洠 ，若 为假， 为真，求实数m的取值范围一、单项选择题 1.形如 如 Ͳ 的函数因其函数图象类似于汉字中的“囧”字，故我们把其生 动地称为“囧函数” 若函数 如 洠 且 洠 有最小值，则当 如洠Ͳ 如洠时的“囧函数”与函的图象交点个数为 A.1B.2C.4D.6【答案】C【解析】 函数 如 洠 Ͳ 洠有最小值， 洠， 洠 当 如洠Ͳ 如洠时， 如如， 洠洠画出函数 如与 如log 的图象在同一坐标系数内的图象： 洠\n 结合图形，得到交点个数有4个．故选C2.函数 如 ݉ ，在 Ͳ 上单调递减，在 Ͳ 上单调递增，则 洠 如 A. B.7C.13D.不能确定【答案】C【解析】函数 如 ݉ 在 Ͳ 上单调递减，在 Ͳ 上单调递增，݉所以对称轴为 如如 ，所以݉如 ሺ， 所以 如 ሺ ，所以 洠 如 ሺ 如洠 ．故选C．3.函数 如 洠 在区间 洠Ͳ 上是增函数，则实数a的取值范围是 洠洠洠A. ͲB. Ͳ C. ͲD. Ͳ 【答案】D【解析】当 如 时， 如 符合题意， 洠当 时，函数 如 洠 是二次函数，对称轴为 如， 二次函数 如 洠 在 洠Ͳ 上是增函数，\n 洠． 洠 洠解得： ． 洠则a的范围为 Ͳ． 故选D．4.已知奇函数 满足 如 ，当 Ͳ洠 时， 如 ，则 log 洠 如 A.B. C.D. 【答案】B【解析】 log 洠 ， log 洠 洠， log 洠 如 log 洠 如 log 洠 如 log洠 如 log 洠 如 洠 如 ， 故选B．二、多项选择题5.声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数 纯音的数学模型是函数 如 sin ，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音 若一个复合音的数学模型是洠函数 如sin sin ，则下列结论正确的是 A. 是 的一个周期；B. 在 Ͳ 上有3个零点； C. 的最大值为；D. 在 Ͳ上是增函数． 【答案】ABC洠洠【解析】 如sin ݅ 如 ݅ ݅ ，A正确； 由 如 得到 ݅ ݅ 如 ， ݅ 如 或洠 如 ， 如 ，或 如 ， ， 函数 在 Ͳ 上有三个零点0， ， ，B正确；\n 如 ， 当时， 如 ，且当时 ，当时， ， 在时取得最大值，，C正确，由上述求解知函数在上一定递减，D错误．故选ABC．6.下列命题中，真命题的是 A. 如sin 的图象与 如sin 的图象关于y轴对称B. 如cos 的图象与 如cos 的图象相同C. 如sin 的图象与 如sin 的图象关于x轴对称D. 如cos 的图象与 如cos 的图象相同【答案】BD【解析】对于A，是偶函数，而为奇函数，故与的图象不关于y轴对称，故A错误；对于B，，，即其图象相同，故B正确；对于C，当 时，，即两图象相同，故C错误；对于D，，故这两个函数图象相同，故D正确，故选BD．7.已知函数 如 sin cos cos ，则下列结论正确的是 ．A.函数的最小正周期为 B.函数的最大值是3 C.函数的单调增区间为 Ͳ 洠 洠 D. Ͳ 是函数的一个对称中心 【答案】ABC\n【解析】因为函数 如 ݅ cos 如sin cos ݅ cos 如 ݅ cos 洠如 ݅ 洠如 ݅ 洠， 对A，它的周期为如 ，故A正确； 对B，计算得 如 ݅ 洠，所以函数的最大值为3，故B正确； 对C，函数的单调增区间为，即，故C正确；对D，令，计算得 如洠，故D错误，故选：ABC．8.已知函数，给出下述论述，其中正确的是 A.当 如 时， 的定义域为B. 一定有最小值；C.当 如 时， 的值域为R；D.若 在区间上单调递增，则实数a的取值范围是 ㌠ 【答案】AC【解析】对A，当 如 时，解 洠 有，故A正确；对B，当 如 时， 如lg 洠，此时， 洠 Ͳ ，此时 如lg 洠值域为R，故B错误；对C，同B，故C正确；对D，若 在区间上单调递增，此时 如 洠对称轴 解得 ．但当 如 时 如lg 在 如 处无定义，故D错误．故选AC． 9.已知函数 如sin ，则下列结论正确的是 \nA.函数 的最小正周期为 B.函数 是偶函数 C.函数 的图象关于直线 如对称 D.函数 在区间 Ͳ上是增函数 【答案】ABD 【解析】 如sin 如 ， 函数 的最小正周期为 ，A正确；函数 是偶函数B正确； 如 洠， 如洠， ， 函数 的图象关于直线 如对称是错误的，故C错， ，故 ，而 如 在 Ͳ 单调递减， 如 在区间 Ͳ 上是增函数，故D正确． 故选ABD．10.下列命题中正确的是 A.命题“ Ͳ sin ”的否定是“ Ͳ sin ”B.若函数 在区间 Ͳ 上单调递增，则 在区间 Ͳ 上恒成立洠C.“ ”是“不等式 洠成立”的必要不充分条件 洠D.若对任意 洠Ͳ 洠 都满足 ，则函数 是R上的增函数 洠【答案】AD【解析】对 命题“ Ͳ sin ”的否定是“ Ͳ sin ”，正确；对香 函数 如 在区间 洠Ͳ洠上单调递增，但在区间 Ͳ 上 ，故B不正确；洠 洠洠对䁨 不等式 洠 洠 或 洠，所以“ ”是“不等式 洠 成立”的充分不必要条件，故C不正确；\n 洠D.若对任意 洠Ͳ 洠 都满足 ，则，即若 洠，则 洠 ， 洠所以函数 是R上的增函数，D正确．故选AD．11.下列说法正确的是 ．A.分针每小时旋转 弧度B.在 香䁨中，若sin 如sin 香，则 如香C.在同一坐标系中，函数 如sin 的图象和函数 如 的图象有三个公共点sin D.函数 如是奇函数洠 cos 【答案】BD【解析】A选项中，分针为顺时针旋转，每小时应旋转 弧度，故A错误 B选项中，由正弦定理如可知，若sin 如sin 香，则 如 ，所以 如香，故B正确 sin sin香C选项中，设 如 ݅ ， 如 洠 ， 在R单调递减，则函数 在R上最多只有一个零点，故函数 如sin 的图象和函数 如 的图象至多有一个交点，故C错误．D选项中， cos 洠， 洠 ， ， 的定义域关于原点对称，又， 为奇函数，故D正确．故选BD． 洠 洠12.函数 在 Ͳ 上有定义，若对任意 洠Ͳ Ͳ ，有 洠 则称 在 Ͳ 上具有性质 设 在 洠Ͳ 上具有性质P，则下列说法错误的是： A. 在 洠Ͳ 上的图像是连续不断的；B. 在 洠Ͳ 上具有性质P；C.若 在 如 处取得最大值1，则 如洠， 洠Ͳ ； 洠 洠D.对任意 洠Ͳ Ͳ Ͳ 洠Ͳ ，有 洠 【答案】AB\n Ͳ洠 【解析】对于A、反例 如，此函数满足性质P但不连续，因此A错误；洠 Ͳ 如 对于B、函数 如 具有该性质，但是函数 如 不具有该性质，因此B错误；对于C、因为对于任意 洠Ͳ ，则 洠Ͳ ，而函数 在 洠Ͳ 上具有性质P， 洠所以 如 ． 又因为函数 在 如 处取得最大值1， 所以 max如洠，所以 如洠，因此C正确； max如洠洠洠对于D、因为对任意 洠Ͳ Ͳ Ͳ 洠Ͳ ，所以 洠 洠Ͳ ， 洠Ͳ ． 又因为函数 在 洠Ͳ 上具有性质P，洠洠 洠 洠 所以 如 洠 洠 洠洠洠 洠 洠 洠 ，因此D正确． 故选AB．三、填空题洠 13.已知函数 如 ，则 如 洠是________函数 从“奇”，“偶”，“非奇 洠非偶”及“既是奇函数又是偶”中选择一个填空 ，不等式 洠 的解集为________．【答案】奇； Ͳ 洠 洠 【解析】函数 如 Ͳ 如 单调递增，故 如 单调递增； 洠 洠洠 洠 洠 如 洠如 洠如 ，函数单调递增； 洠 洠洠 洠洠 洠 如 如 如 ，故 是奇函数； 洠 洠\n 洠 ，即 洠 如 洠 ．故 洠 ，解得 ．故答案为奇； Ͳ ．14.已知 是定义在 Ͳ 上的偶函数，且在 Ͳ 上是增函数，设 如 log ， 如 log洠 ， 如 ，则a，b，c的大小关系是____________． 【答案】 【解析】解： 是定义在 Ͳ 上的偶函数，且在 Ͳ 上是增函数，故 在 Ͳ 上是减函数， 如 log ， 如 ꀀ 洠 ， 如 ， ꀀ log 如log ，洠 如 log 如 log 洠， 洠， ㌠log ㌠㌠log ㌠㌠ ㌠ ， ꀀ 洠 log ， 即 ，故答案为： ．15.下列几个命题①方程 如 有一个正实根，一个负实根，则 ；②函数 如 洠 洠 是偶函数，但不是奇函数；③命题“若 洠，则 洠”的否命题为“若 洠，则 洠”；④命题“ ，使得 洠 ”的否定是“ ，都有 洠 ”；⑤“ 洠”是“ ”的充分不必要条件．正确的是__________．【答案】①⑤\n【解析】① 方程 如 的有一个正实根，一个负实根， 根据韦达定理，得 ，命题正确；② 要使函数 如 洠 洠 有意义， 洠 Ͳ洠 解得 如 洠， 如 如 洠 ， 函数既是偶函数，又是奇函数，故命题错误；③命题“若 洠，则 洠”的否命题为“若 洠，则 洠”，故命题错误；④ 全称命题的否定为特称命题， 命题“ ，使得 洠 ”的否定是“ ，都有 洠 ”，故命题错误；⑤ 的解为 或 洠， “ 洠”是“ ”的充分不必要条件，故命题正确． 正确的命题为①⑤．故答案为①⑤．数 数 16.设函数 数 如 ，则使得 数 数 成立的x的取值范围是lg 数 ____________ 洠洠洠【答案】 Ͳ Ͳ 洠【解析】 如 ，故 ，lg 洠 如 即 为偶函数，当 时， 单调递增，由 洠 可得㌠ 洠㌠ ㌠ ㌠且 洠 ， ，洠所以㌠ 洠㌠ ㌠ ㌠且 ， ， \n 洠所以 洠 且 ， ， 洠洠解可得， 且 ． 洠洠洠故答案为： Ͳ Ͳ ． 四、解答题17.设 如log 洠 log 且 洠 ， 洠 如 ． 洠 求a的值及 的定义域； 求 在区间 Ͳ 上的最大值． 【答案】 洠 洠 如 ， log 洠 洠 log 洠 如log 如 ，解得 如 Ͳ 洠 ，洠 由，得 洠Ͳ ， 函数 的定义域为 洠Ͳ ； 如log 洠 log 如log 洠 如log 洠 当 Ͳ洠时， 是增函数； 当 洠Ͳ 时， 是减函数． 所以函数 在 Ͳ 上的最大值是 洠 如log 如 ． 18.已知二次函数． 洠 若 对于 恒成立，求t的取值范围； 若 如 ݉ ，当 洠Ͳ 时，若 的最大值为2，求m的值．\n【答案】解： 洠 对于 恒成立，即 对于 恒成立， 如 ሺ ，解得 ；ሺ ݉ 若 如 ݉ 如 ݉ ，二次函数开口向下，对称轴 如， 在 洠Ͳ 时， 的最大值为2， ݉当 洠，即݉ 洠时， max如 洠 如 ݉如 ，解得݉如洠； ݉ ݉݉ ݉ 当洠 ，即洠 ݉ 时， max如 如如 ， ሺ解得݉如洠 舍 或݉如 舍 ； ݉当 ，即݉ 时， max如 如 ሺ ݉ 如 ，解得݉如 舍 ； 综上所述，m的值为1，即݉如洠． 19.己知函数 如sin ݉ Ͳ 满足下列4个条件中的3个，4 个条件依次是：① 如；②周期 如 ；③过点 Ͳ ；④ 如。 洠 写出所满足的3个条件的序号 不需要说明理由 ，并求 的解析式； 求函数 的图像与直线 如洠相邻两个交点间的最短距离．【答案】解： 洠 所满足的三个条件是：②③④， 的周期 如 ， 如 ， 如sin ݉， 又过点 Ͳ ，且 如， sin ݉如 ，sin ݉如， sin sin 如， \n 洠 cos sin sin 如， 洠 cos sin 如， sin 如， 又 ， 如 ， 洠洠又sin ݉如 ， ݉如 ， ݉如， 洠 如sin ． 注：如果学生选取条件①③④，并往下做： 如， 如sin ݉， 又过点 Ͳ ，且 如， sin ݉如 ，sin ݉如， sin sin 如， cos sin 如， sin 如， 又 ，故此种选择不满足； 洠 洠 由 如sin 如洠，得sin 如， 如 ，或 如 ， ， 如 ，或 如 ， ， 所以，函数 的图象与直线 如洠相邻两个交点间的最短距离为 如． 20.已知幂函数 如 ݉ ݉ ݉ 洠为偶函数． 洠 求 的解析式； 若函数 如 洠 洠在区间 Ͳ 上为单调函数，求实数a的取值范围．【答案】解： 洠 由 为幂函数知 ݉ ݉ 如洠，即݉ ݉ 如 ，得݉如洠或݉如 ，当݉如洠时， 如 ，符合题意；\n当݉如 时， 如 ，为奇函数，不合题意，舍去． 如 由 洠 得 如 洠 洠如 洠 洠，即函数的对称轴为 如 洠，由题意知函数在 Ͳ 上为单调函数， 对称轴 洠 或 洠 ，即 或 ． 洠 21.已知函数 如 ，且 洠 如． 洠 求a的值； 判定 的奇偶性，并说明理由； 令 如 ݉，若 如 有两个不同的零点，写出实数m的值 此问不需要写过程 ． 洠【答案】解： 洠 因为 洠如，所以如 ， 所以 如 ； 洠 由 洠 得 如 ， 所以 的定义域为 Ͳ ， 洠洠 如 如 ， 所以 如 ，所以 为偶函数； 如 ݉，因为 如 有两个不同的零点， 如 即 如 ，即 如݉，设Ͳ 如݉即 如 图象与 如݉有两个不同的交点，由 得 如 洠为偶函数，由 洠 洠 如 ，等号当且仅当 如 时取等号，\n作出函数图象：由图得݉ 时，恰有两个交点，即有两个不同的零点．22.已知 是定义域为R的奇函数，且当 洠 时， 洠 洠 ，设p：“ ݉ 洠 ሺ݉ ”． 洠 若p为真，求实数m的取值范围； 设q：集合 如 ㌠ 洠 与集合香如 ㌠ ݉ 的交集为 ㌠ 洠 ，若 为假， 为真，求实数m的取值范围．【答案】解： 洠 函数 是奇函数， 如 ， 当 洠 时， 洠 洠 ， 函数 为R上的增函数． ݉ 洠 ሺ݉ ， ݉ 洠 ሺ݉ 如 ሺ݉ 洠 ， ݉ ሺ݉ 洠 ，若p为真，则݉ ሺ݉ 洠 ，解得 ݉ ． 如 ㌠ 洠或 ，若q为真，则 洠 ݉ ． 为假， 为真， 、q一真一假．若p真q假，则 ݉ ；若p假q真，则 洠 ݉ ．综上，实数m的取值范围是 洠Ͳ ，
