2020-2021学年山东省聊城市某校高二（上）期中考试数学试卷

2020-2021学年山东省聊城市某校高二（上）期中考试数学试卷一、选择题)1.若直线过两点4，‸4，则此直线的倾斜角是()A.B.C.D.2.若直线的方向向量为，平面的法向量为，则能使则则的是()A.4‸4444B.44444C.4‸44‸4‸4‸D.4‸44443.已知直线‸ʹ与直线‸ʹ平行，则它们之间的距离为()A.B.C.D.‸‸‸4.某学校计划从‸名男生和名女生中任选人参加抗疫英雄事迹演讲比赛，记事件为“至少有‸名女生参加演讲”，则下列事件中与事件对立的是()A.恰有‸名女生参加演讲B.至多有‸名男生参加演讲C.恰有名女生参加演讲D.至多有‸名女生参加演讲5.在四面体四面体中，空间的一点满足四面体，若四，面，‸体共面，则()A.B.C.D.‸‸‸6.经统计某射击运动员随机命中的概率可视为，为估计该运动员射击次恰好命中次的概率，现采用随机模拟的方法，先由计算机产生到之间取整数的随机数，用，，‸表示没有击中，用，，，，，，表示击中，以个随机数为一组，代表射击次的结果，经随机模拟产生了‸组随机数：‸，‸，，，，，，，，，‸，‸，，，，，‸，，‸根据以上数据，则可估计该运动员射击次恰好命中次的概率为()‸A.B.C.D.‸7.在正方体四面体ܥ四面体ܥ中，平面四面ܥ与平面四面体ܥ所成二面角的正弦值为()‸A.B.C.D.‸8.排球比赛的规则是局胜制（局比赛中，优先取得局胜利的一方，获得最终胜利，无平局），在某次排球比赛中，甲队在每局比赛中获胜的概率都相等，均为，前‸局中乙队以‸t领先，则最后乙队获胜的概率是()试卷第1页，总9页,A.B.C.D.‸二、多选题)9.空间直角坐标系中，下列说法正确的是()A.点4‸4关于坐标平面ʹ的对称点的坐标为4‸4B.点44‸在平面面面上C.面表示一个与坐标平面ʹ平行的平面D.‸ʹ表示一条直线10.点在圆体t‸ʹ‸上，点在圆体t‸ʹ‸ʹ‸上，则()‸A.的最小值为B.的最大值为C.两个圆心所在的直线斜率为D.两个圆相交弦所在直线的方程为ʹ‸11.先后抛掷两颗均匀的骰子，第一次出现的点数记为，第二次出现的点数记为，则下列说法正确的是()A.时概率为B.时概率为C.‸时的概率为D.是的倍数的概率是12.已知事件四，面，且四㤰，面㤰，则下列结论正确的是()A.如果面四，那么四面㤰，四面㤰B.如果四与面互斥，那么四面㤰，四面C.如果四与面相互独立，那么四面㤰，四面D.如果四与面相互独立，那么四面㤰‸，四面㤰‸三、填空题)13.设直线tʹ‸，直线‸t‸ʹ㤰当________时，‸.14.已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和.假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为________.15.若曲线体t‸ʹ‸‸ʹ‸上所有的点均在第二象限内，则的取值范围是________.16.若为空间直角坐标系的原点，则以为球心，且与平面ʹ面相切的球的方程是________，切点的坐标为________．试卷第2页，总9页,四、解答题)17.在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．（注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）①与直线ʹ垂直；②直线的一个方向向量为4；③与直线ʹ‸平行．已知直线过点4‸，且________．求直线的一般方程；‸若直线与圆‸ʹ‸相交于，，求弦长．18.某次联欢会上设有一个抽奖游戏．抽奖箱中共有个四种不同颜色且形状大小完全相同的小球，分别代表一等奖、二等奖、三等奖、无奖四种奖项．其中红球代表一等奖且只有个，黄球代表三等奖．从中任取一个小球，若中二等奖或三等奖的概率为．小华同学获得一次摸奖机会．求他不能中奖的概率；‸若该同学中一等奖或二等奖的概率是，试计算黄球的个数．19.如图所示，已知空间四边形四面体ܥ的每条边和对角线都等于，点，分别是四面，四ܥ的中点，设，，为空间向量的一组基底，且四面，四体，四ܥ，试用基底向量法求解以下各题．求四面；‸求异面直线体与面ܥ所成角的余弦值．20.某大学生命科学学院为激发学生重视和积极参与科学探索的热情和兴趣，提高学生生物学实验动手能力，举行生物学实验技能大赛．大赛先根据理论笔试和实验操作两部分进行初试，初试部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，只有理论笔试和实验操作两部分考试都“合格”者才能进入下一轮的比赛．在初试部分，甲、乙、丙三人在理论考‸‸试中“合格”的概率依次为，，，在实际操作考试中“合格”的概率依次为，，，‸所有考试是否合格相互之间没有影响．假设甲、乙、丙三人同时进行理论笔试与实际操作两项考试，谁获得下一轮比赛的可能性最大？‸这三人进行理论笔试与实际操作两项考试后，求恰有两人获得下一轮比赛的概率．21.如图，在三棱柱四面体四面体中，四四平面四面体，四四四体面体试卷第3页，总9页,，四体面，是体体的中点．求直线四面与平面四面所成角的正弦值；‸在棱体体上是否存在一点，使得平面四面与平面四面所成二面角为？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．22.圆‸ʹ‸，点为直线tʹ上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为四，面．若点的坐标为‸4，求直线四，面的方程；‸求证直线四面恒过定点并求出该定点的坐标．试卷第4页，总9页,参考答案与试题解析2020-2021学年山东省聊城市某校高二（上）期中考试数学试卷一、选择题1.A2.C3.A4.C5.B6.C7.D8.D二、多选题9.B,C10.B,C11.A,D12.A,B,D三、填空题13.‸14.‸15.4‸‸‸16.ʹ面,44四、解答题17.解：选①：∵直线ʹ的斜率，又直线ʹ与直线垂直．∴直线的斜率，∴直线的方程为ʹ‸，即ʹ．选②：∵直线的一个方向向量为4，∴直线的斜率为，∴直线的方程为ʹ‸，即ʹ．选③：∵ʹ‸的斜率为‸，试卷第5页，总9页,又直线与ʹ‸平行，∴直线的斜率为，∴直线的方程为ʹ‸，即ʹ．‸圆‸ʹ‸的圆心4到直线ʹ的距离为.‸‸设，的中点为，由圆的半径为，可知‸，∴‸，即弦长为．18.解：设小华同学任取一个小球，抽得一等奖、二等奖、三等奖、不中奖的事件分别为四，面，体，ܥ，它们是彼此互斥事件．由题意得四，面体面体．由对立事件的概率公式得ܥ四面体面体四．‸故小华同学不能中奖的概率为.‸‸四面，又四面四面，∴面㤰又面体面体，∴体，∴中三等奖的概率为．因此黄球的个数为(个)．19.解：由题意四面，四体，四ܥ，则，4>=<�4>=<�4．∵面ܥ四ܥ四面，‸‸‸∴四面‸‸试卷第6页，总9页,‸‸‸．‸‸‸‸由题意可知体体四四，‸面ܥ四ܥ四面，∴体面ܥ‸‸‸‸．‸‸‸又∵体，面ܥ．‸设异面直线体与面ܥ所成的角为，体面ܥ则cos，体面ܥ‸∴异面直线体与面ܥ所成角的余弦值为．20.解：设“甲获下一轮比赛”为事件四，“乙获得下一轮比赛”为事件面，“丙获得下一轮比赛”为事件体，则四，面，体以及四，面，体的每两次考试之间彼此相互独立，‸∴四，‸面，‸‸体.‸∵四面体，∴甲获得下一轮比赛的可能性最大.‸设“三人考试后恰有两人获得获得下一轮比赛”为事件ܥ，则ܥ四面体四面体四面体.‸四面体，‸‸四面体，‸‸四面体，‸∴ܥ四面体四面体四面体试卷第7页，总9页,.即这三人进行理论笔试与实际操作两项考试后，恰有两人获得下一轮比赛的概率为.21.解：如图建立空间直角坐标系体ʹ面，则四44，面44，44‸，四44，所以四面44，四44‸，面44‸.设平面四面的法向量为4ʹ4面，四，‸面，则即面，‸ʹ面，令，则44‸，四面所以cos四面4.四面‸所以直线四面与平面四面所成角的正弦值为.‸假设在棱体体上存在一点，使得平面四面与平面四面所成二面角为，设44，，则四44，设平面四面的法向量为4ʹ4面，四，面，则即四面，ʹ，取，则44．由知平面四面的法向量为44‸，‸所以cos，，‸‸‸‸解得：，试卷第8页，总9页,所以在棱体体上存在一点，使得平面四面与平面四面所成二面角为，‸点的坐标为44.22.解：由题意，当切线的斜率存在时，设切线方程为ʹ‸，即ʹ‸．‸由‸，解得，‸即ʹ．当切线的斜率不存在时，方程为‸，满足题意．综上所述，所求的切线的方程为ʹ或‸．‸证明：根据题意，点为直线ʹ上一动点，设点4.∵四，面是圆的切线，∴四四，面面，∴四面是圆与以为直径的圆的公共弦．∵以为直径的圆的方程为‸‸‸‸ʹ，‸‸‸‸即‸ʹ‸ʹ①，又圆的方程为‸ʹ‸②，①②，得ʹ，即ʹ，则该直线必过点4．‸‸试卷第9页，总9页