2020-2021学年山东省某校高二（上）期中数学试卷一、选择题（共8小题）)1.直线ܽܽ数实则，行平相互ݕܽܽݔ线直与ݕܽݔݔA.B.C.D.2.如图，已知三棱锥ܣ，点，分别是，ܣ的中点，点为线段上一点，且，若记＝ܽ，ܣ＝，＝，则A.ܽݔݔܽ.BݔݔC.ܽݔݔܽ.Dݔݔ3.若圆ݕ＝ͺݔݔ圆与＝ݔ外切，则ͺ＝（）A.B.C.D.4.已知ܽ，，，若向量ܽ，，共面，则A.B.C.D.5.对抛物线＝，下列描述正确的是（）A.开口向上，焦点为ݕB.开口向上，焦点为ݕC.开口向右，焦点为ݕ为点焦，右向口开.Dݕ6.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为ݕ点从军将若，ݔ处出发，河岸线所在直线方程为ݔ＝，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（）A.B.C.D.试卷第1页，总8页,7.已知，分别为双曲线ܽ＝ݕݕܽ的左、右焦点，点在双曲线上，且ݕ，若的角平分线经过线段（为坐标原点）的中点，则双曲线的离心率为（）A.B.C.D.8.椭圆ݕܽݔ上一点关于原点的对称点为ܣ，为其右焦点，若ܽܣ，设ܣ＝，且，则该椭圆离心率的取值范围为（）A.B.C.D.二、多选题（共4小题）)9.正方体ܣܥܣܥ中，、、、分别为、ܣ、ܥ、ܣܣ的中点，则下列结论正确的是（）A.ܣܣB.平面平面ܥܥܥC.面D.二面角的大小为10.已知直线sinݕݔcosݔ，给出下列命题正确的是（）A.直线的倾斜角是B.无论如何变化，直线不过原点C.无论如何变化，直线总和一个定圆相切D.当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于11.已知曲线的方程为＝ݔ，则下列结论正确的是（）A.当时，曲线为圆B.当ݕ时，曲线为双曲线，其渐近线方程为＝C.“”是“曲线为焦点在轴上的椭圆”的充分而不必要条件D.存在实数使得曲线为双曲线，其离心率为12.已知、是椭圆ܽݕܽ＝ݔ的左、右焦点，、是左、右顶点，试卷第2页，总8页,为椭圆的离心率，过右焦点的直线与椭圆交于，ܣ两点，已知ܣݕ，＝ܣ，，设直线ܣ的斜率为，直线和直线的斜率分别为，，直线ܣ和之间ܣ的斜率分别为，，则下列结论一定正确的是（）A.B.C.D.三、填空题（共4小题）)13.已知点ݕݔݔܽ线直，，与线段相交，则实数ܽ的取值范围是________．14.如图所示，在正方体ܣܥܣܥ中，为棱的中点，则异面直线ܣܥ与所成角的余弦值为________．15.若ܣ的两个顶点坐标ݕܣ、ݕ，ܣ的周长为，则顶点的轨迹方程为________．16.设，是双曲线的两个焦点，是该双曲线上一点，且＝，则的面积等于________四、解答题（共6小题）)17.已知，一直线过点.若直线在两坐标轴上截距之和为，求直线的方程；若直线与、轴正半轴交于、ܣ两点，当ܣ面积为时，求直线的方程．18.已知过点ݔ：圆与线直的为率斜且ݕ交于，ܣ两点．（1）求斜率的取值范围；（2）以点为圆心，为半径的圆与圆总存在公共点，求的取值范围；（3）为坐标原点，求证：直线与ܣ斜率之和为定值．19.如图，四面体ܣܥ中，平面ܥ底面ܣ，ܣ＝ܣ＝＝，ܥ＝ܥ，是的中点，是ܣܥ的中点．试卷第3页，总8页,（1）证明：ܥ底面ܣ；（2）求二面角ܥ的余弦值．20.已知中心在原点的双曲线的渐近线方程是，且双曲线过点（1）求双曲线的方程；（2）过双曲线右焦点作倾斜角为的直线交双曲线于，ܣ，求ܣ．21.已知在四棱锥ܣܥ中，底面ܣܥ是边长为的正方形，ܥ是正三角形，ܥ平面ܥ，，，，分别是，ܥ，ܣ，ܥ的中点．Ⅰ求证：平面ܣܥ；Ⅱ求平面与平面ܣܥ所成锐二面角的大小；Ⅲ线段上是否存在点，使得直线与平面所成角为，若存在，求线段的长度；若不存在，说明理由．22.已知椭圆ݔ圆且，率心离的ݕܽݔ＝过椭圆的上，ܽ下顶点．（1）求椭圆的方程．（2）若直线的斜率为，且直线交椭圆于、两点，点关于原点的对称点为，点是椭圆上一点，判断直线与的斜率之和是否为定值，如果是，请求出此定值：如果不是，请说明理由．试卷第4页，总8页,参考答案与试题解析2020-2021学年山东省某校高二（上）期中数学试卷一、选择题（共8小题）1.D2.C3.C4.B5.B6.B7.B8.B二、多选题（共4小题）9.B,C10.B,C,D11.A,B12.A,C三、填空题（共4小题）13.，14.15.ݕݔ16.四、解答题（共6小题）17.解：ݕ为不且率斜有线直然显，设斜率为，则直线的方程为：ݔ，令ݔ得ݕ令，ݔ得ݕ．∴ݔݔݔ，解得或．∴直线的方程为ݔ或ݔ．∵直线与、轴交于正半轴，∴ݕݔ，ݕݔ，∴ݔݔ，解得．∴直线的方程为ݔ．18.根据题意可得，直线的方程为：ݕݔ即，ݕ，试卷第5页，总8页,圆的方程为ݕ心圆其则，ݔ，半径，ݔ若直线与圆相交，必有，即，解得，ݔ所以斜率的取值范围为．若以点为圆心，为半径的圆与圆总存在公共点，则ݔ，即ݔݕݔݕ，所以ݔ．证明：联立直线与圆的方程：＝ݔ，消去整理得ݕݔݔݔ，ݔ＝设ܣ，，ݔݔ＝ݔ根据韦达定理得，＝ݔݔݔ则ݔݔݔݔܣݔݔݔݔݔݔ，ݔ故直线与直线ܣ的斜率之和为定值．19.证明：∵ܥ＝ܥ，是的中点，∴ܥ．∵平面ܥ底面ܣ，平面ܥ底面ܣ＝，∴ܥ底面ܣ．由条件易知ܥܣ，ܣ．＝＝ܥ＝，ܣ如图，以点为坐标原点，为轴，ܣ为轴，为轴建立空间ݕݕܣ，ݕݕ则．系标坐角直ݕ，，ݕܥ，，ݕ，ݕݕܥ，ݕݕݕݕ．设平面ܥ的一个法向量为，ܥݕݔݕ则即ݕݔݔݕ令＝，则，所以．同理可得平面的一个法向量ͺݕ．ͺݔݔݕcosͺ．ͺݔݔݕݔݔ因为二面角ܥ的平面角为锐角，所以二面角ܥ的余弦值为．试卷第6页，总8页,20.解：（1）设双曲线方程为：，点，代入得：，所以所求双曲线方程为：…（2）直线ܣ的方程为：，由得：ݕݔ，…∴ܣݔ．…21.（1）证明：因为ܥ是正三角形，是ܥ的中点，所以ܥ．又因为ܥ平面ܥ，平面ܥ，所以ܥ，ܥܥ＝ܥ，ܥ，ܥ平面ܣܥ，所以面ܣܥ；（2）如图，以点为原点分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系．则，ݕݕݕݕݕݕܥݕݕܣݕݕݕݕݕݕݕ，ݕ，设平面的法向量为ͺ，ͺݕݕ由，得ݕݔͺݕ令＝，则ͺݕ，又平面ܣܥ的法向量ݕݕ，设平面与平面ܣܥ所成锐二面角为，ͺ所以cos．ͺ所以平面与平面ܣܥ所成锐二面角为；Ⅲ假设线段上存在点，使得直线与平面所成角为，设ݔݔ由，ݕ，所以．所以sincosͺ，ݔ试卷第7页，总8页,整理得ݕ＝ݔ，无解，所以，不存在这样的点．22.椭圆ݔ圆且，率心离的ݕܽݔ＝过椭圆的上，ܽ下顶点，可得，，＝ܽ，解得ܽ＝，，ܽ则椭圆的方程为ݔ；若直线的斜率为，可设直线的方程为ݔ䁕，联立椭圆方程ݕ＝ݔ，可得ݕ䁕䁕＝则，ݕ＝䁕ݔ䁕ݔ，解得䁕，设ݔ得可，，，＝䁕，＝䁕，ݔ䁕䁕ݔݔݔ则ݔݔݔݔݔݔݔݔ䁕ݔݔݔ䁕ݕ．ݔݔݔ则直线与的斜率之和为定值ݕ．试卷第8页，总8页
