2020-2021学年山东省潍坊市某校高二（上）期中考试数学试卷一、选择题)1.若向量ishs与向量hss共线，则()A.B.C.D.hhh2.已知过点sh，si的直线的斜率为，则()A.hB.C.D.h3.圆hh和圆hhͺݕ的位置关系是()A.外离B.相交C.内切D.外切4.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中《商功》有如下问题：“今有委粟平地，下周一十二丈，高一丈，问积为粟几何？”，意思是“有粟若干，堆积在平地上，它底圆周长为h丈，高为丈，问它的体积和粟各为多少？”如图，主人意欲卖掉该堆粟，已知圆周率约为，一斛粟的体积约为h昐ݕݕ立方寸（单位换算：立方丈ݕݕݕ子银两一，钱hi卖米粟斛一，）寸方立ݕ钱，则主人卖后可得银子()A.hݕݕ两B.iݕݕ两C.ih两D.iͺݕ两5.已知直线ݕ线直与ݕ垂直，则实数()hhA.B.ݕ.C或ݕ或D.hh6.过点ݕsݕ，hsh且圆心在直线hi上的圆的标准方程为()A.hhhiB.hhhiC.ihihͺD.ihihͺ7.已知棱长为的正方体ܥܥ中，，分别为ܥ，ܥܥ的中点，则异面直线与ܥ所成的角为()A.ݕh.Dݕ.Ci.Bݕ8.如图，在菱形ܥ中，h，ܥݕ，是的中点，将ܥ沿直线ܥ翻折至ܥ的位置，使得面ܥ面ܥ，则点到直线ܥ的距离为()试卷第1页，总11页,昐昐A.B.C.D.hih二、多选题)9.若，是两条不同直线，，是两个不同平面，则下列命题正确的是()A.若，′′，则B.若，′′，则C.若，′′，则D.若，′′，则10.在同一平面直角坐标系中，表示直线：与h：的图象可能正确的是()A.B.C.D.11.如图，正四棱台ܥܥ的高为h，ܥih，ܥܥ，则下述正确的是()A.ih试卷第2页，总11页,B.iC.三棱锥ܥ外接球的半径为hD.点ܥ到面的距离为h12.已知圆hhi，直线ݕ，则下列结论正确的是()A.当h时，直线与圆相交hB.s为圆上的点，则hhh的最大值为C.若圆上有且仅有两个不同的点到直线的距离为，则的取值范围是hhD.若直线上存在一点，圆上存在两点，，使ݕ，则的取值范围是isi三、填空题)13.点s到直线ݕ的距离为________.14.一个漏斗的上半部分是一个长方体，下半部分是一个四棱锥，两部分的高都为米，h公共的底面是边长为米的正方形，那么这个漏斗的容积为________米.15.一条光线从点hs射出，经轴反射后与圆hhh相切，则反射光线所在直线的斜率为________.16.如图，在直三棱柱中，点ܥ为棱上的点．且′′平面ܥ，ܥ则________．已知，h，以ܥ为球心，以为半径的ܥh球面与侧面的交线长度为________.试卷第3页，总11页,四、解答题)17.如图，在空间四边形中，hܥܥ，点为ܥ的中点，设，，.h试用向量，，表示向量；hh若，h，ݕ，求的值．hhh18.已知圆ݕ过点s.hhh求圆的标准方程及其圆心、半径；hh若直线hݕ分别与轴，轴交于，两点，点为圆上任意一点，求面积的取值范围．19.从①h，②是的中点，③是的内心三个条件中任选一个条件，补充在下面问题中，并完成解答．在四棱锥ܥ中，底面ܥ是矩形，ܥ底面ܥ，且ܥ，，ܥh，，分别为，ܥ的中点．h判断与平面ܥ的位置关系，并证明你的结论；hh若是侧面上的一点，且________，求三棱锥ܥ的体积．注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．20.某工厂（看作一点）位于两高速公路（看作两条直线）与之间．已知到高速公路的距离是千米，到高速公路的距离是ͺ千米，ݕ．以为坐标原点，以为轴建立如图所示的平面直角坐标系．试卷第4页，总11页,h求直线的方程；hh现紧贴工厂修建一直线公路连接高速公路和，与的连接点为，与的连接点为ܥ，且恰为该路段ܥ的中点，求ܥ的长度．21.如图，几何体为圆柱的一半，四边形ܥ为圆柱的轴截面，点为圆弧上异于，的点，点为线段ܥ上的动点．h求证：；hh若h，ܥ，ݕ，且直线与平面所成角的正弦值为，ݕ求平面与平面ܥ所成锐二面角的余弦值．22.在平面直角坐标系中，点在直线昐i上，昐s，以线段为直径的圆（为圆心）与直线相交于另一个点ܥ，ܥ.h求圆的标准方程；hh若点不在第一象限内，圆与轴的正半轴的交点为，过点作两条直线分别交圆于，两点，且两直线的斜率之积为，试判断直线是否恒过定点，若是，请求出定点的坐标；若不是，请说明理由．试卷第5页，总11页,参考答案与试题解析2020-2021学年山东省潍坊市某校高二（上）期中考试数学试卷一、选择题1.B2.C3.B4.D5.C6.A7.C8.A二、多选题9.A,B,C10.A,C11.A,B,D12.A,D三、填空题h13.hh14.i15.或i16.,四、解答题17.解：h因为hܥܥ，所以ܥ，所以ܥܥh.因为点为ܥ的中点，所以ܥ．hhhh由题意知，，h，，试卷第6页，总11页,所以hhhh．hhhhh18.解：h由题意可得，ݕ，hhh解得hh，所以圆的方程为hhhhݕ，h即圆的标准方程为hhh，其圆心为hsݕ，半径为h．hh由题意可得，hsݕ，ݕsh，所以h，hݕh所以圆心到直线的距离为h，hh所以点到直线的最小距离为hh，最大距离为hh，所以的面积的最小值为hhhhh，h最大值为hhhhh，h所以的面积的取值范围为hhshh．19.解：h′′平面ܥ.证明如下：如图，连结，则与ܥ交于点，因为在中，，分别为，ܥ的中点，四边形ܥ是矩形，所以′′．又因为平面ܥ，平面ܥ，所以′′平面ܥ．hh因为ܥ平面ܥ，平面ܥ，ܥ平面ܥ，所以ܥ，ܥܥ.又因为底面ܥ是矩形，所以ܥ.因为ܥܥܥ，所以平面ܥ.在ܥ中，为的中点，所以ܥܥܥܥ.hhhi选择条件①.试卷第7页，总11页,因为h，所以是的三等分点且.又因为ܥh，h所以三棱锥ܥ的高为，h所以ܥܥ，iͺ所以三棱锥ܥ的体积是．ͺ选择条件②.因为是的中点，是的中点，′′所以在中，，h所以三棱锥ܥ的高为，所以ܥܥ，ih所以三棱锥ܥ的体积是．h选择条件③.设的内切圆与边相切于点，则，又因为平面ܥ，平面ܥ，所以，所以′′，所以三棱锥ܥ的高为.在ܥ中，ܥhܥhh，h，所以hhhh，hhh所以hh，hhhhhh所以ܥܥhhhh，ihh所以三棱锥ܥ的体积是．h20.解：h因为ݕ，所以直线的斜率为，所以直线的方程为．hh设s，因为的方程为，所以ͺ，h解得或（舍）所以sh.设sݕh，ܥhshh，因为为ܥ的中点，ܥ在上，试卷第8页，总11页,h，h所以ݕh，hhh，hͺ，解得h，hi，所以ܥhihhͺhh，所以公路段ܥ的长度为千米．21.h证明：因为四边形ܥ为圆柱的轴截面，所以为底面半圆的直径，所以.因为ܥ为圆柱的母线，所以ܥ平面.因为面，所以ܥ.因为ܥ，ܥ面ܥ，面ܥ，所以面ܥ.因为面ܥ，所以.hh解：在上底面圆弧ܥ上取一点，使得为母线，故，，两两垂直．如图，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系.因为ݕ，h，则ݕsݕsݕh，ܥݕssh，sݕsh，sݕsݕh，ݕssݕh，则ܥݕssh.设ܥݕssh，ݕs，则ݕssh，则ssh，ݕss.设平面的法向量ss.试卷第9页，总11页,ݕ，则ݕ，ݕ，得ݕ令，得，，所以ss，ss.设与面所成角为，则sincoss，hhhݕ解得，所以点为ܥ靠近点的三等分点，h则ss.取面ܥ的法向量hsݕsݕ.设平面与平面ܥ所成锐二面角为，hcoscossh，hih昐所以平面与平面ܥ所成锐二面角的余弦值为.i22.解：因为ܥܥ，所以ܥ．昐设ܥs昐i，昐i得，昐昐解得ݕ，所以ܥݕsih.在ܥ中，ܥ，为中点，所以ܥܥ.设坐标为s昐ih，则ݕhh昐iihh昐ݕhhihh，解得或.①当时，坐标为sh，hhܥݕ，圆心为is昐，此时圆的标准方程为ih昐hh；②当时，坐标为s，hhܥݕs为心圆，ݕ，此时圆的标准方程为hhh.综上，圆的标准方程为ih昐hh或hhh.hh由题意知，圆的标准方程为hhh，试卷第10页，总11页,因为圆与轴的正半轴的交点为，所以ͺsݕh，所以设直线的方程为ͺ，ͺs联立得hhh，消去得hhhihݕ，ih所以h，ͺhh所以h，ͺhhݕ所以s，hhhݕhhݕݕ因为两条直线斜率积为，用代替，得s.hhhh①直线的斜率存在，即h时，ݕݕhhhhhhݕݕhͺhhhhݕݕݕhh，ݕhiݕihhݕͺhh所以直线方程为，hhhͺhhhݕ即，hhh即，则直线过定点sݕ；hh②当直线的斜率不存在，即时，直线方程为，过定点sݕ.综上可得，直线过定点sݕ．试卷第11页，总11页
