2020-2021学年山东省某校高二（上）期中数学试卷

2020-2021学年山东省某校高二（上）期中数学试卷一、单选题（本题包括8小题，每小题5分，共40分。每小题只有一个选项符合题意）)1.直线ﰐުɼ䃸ܯ＝的一个方向向量是（）A.䁞䃸䁃B.䁞䁃C.䃸䁞䁃D.䁞䁃ﰐɼ2.椭圆ުܯ的离心率是()ܯA.B.C.D.3.两条平行直线ﰐ䃸ɼު和ﰐ䃸ɼު间的距离为，则，分别为（）䁞䁞A.䁞，＝B.䃸䁞䃸䁞，＝C.䃸䁞，＝D.䁞，＝4.如图，四棱锥䃸െ͸的底面是矩形，设െ＝，͸＝，＝，是͸的中点，则（）ܯܯܯA.＝䃸䃸ުܯܯB.＝䃸䃸ުܯܯC.＝䃸ުުܯܯܯD.＝䃸䃸䃸5.空间直角坐标系䃸ﰐ点过经，中ɼﰐ䁞ɼ䁞䁃且法向量为＝െ䁞䁞͸䁃的平面方程为െﰐ点过经，䁃䃸͸ު䁃ɼ䃸ɼު䁃ﰐ䃸ﰐ䁞ɼ䁞䁃且一个方向向量为ﰐ䃸ﰐɼ䃸ɼ䃸＝䁞䁞䁃䁃的直线的方程为＝＝，阅读上面的材料并解决下面ﰐɼ问题：现给出平面的方程为ﰐ䃸ɼު䃸，经过䁞䁞䁃直线的方程为＝试卷第1页，总8页,＝，则直线ܯ与平面所成角的正弦值为（）䃸ܯܯܯܯA.B.C.D.ܯ6.已知圆ﰐުɼ䃸䁞ﰐ＝，过点ܯ䁞䁃的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）A.ܯB.C.D.7.已知，是异面直线，െ，，͸，，െ͸，，െ，͸ܯ，则异面直线，所成的角等于（）A.B.C.䁞D.ﰐɼ8.已知ܯ，是椭圆͸ުܯ䁃的左、右焦点，െ是͸的左顶点，点在过െ且斜率为的直线上，ܯ为等腰三角形，ܯܯ，则͸的离心率䁞为（）ܯܯܯA.B.C.D.二.多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.）)9.过点䁞䁃，并且在两轴上的截距相等的直线方程为（）A.ﰐުɼ䃸B.ﰐުɼ䃸C.ﰐ䃸ɼD.ﰐ䃸ɼު10.已知曲线͸ﰐުɼܯ．（）A.若，则͸是椭圆，其焦点在ɼ轴上B.若，则͸是椭圆，其焦点在ﰐ轴上C.若，则͸是圆，其半径为D.若，，则͸是两条直线11.已知圆͸：ﰐ䃸䁃ުɼ䃸䁃ܯ和两点െ䃸䁞䁃，䁞䁃䁃若圆͸上存在点，使得െ，则的可能取值为（）A.B.䁞C.D.ﰐܯ12.已知ܯ，是椭圆͸：ުɼ＝ܯ的左、右焦点，动点ﰐܯ，ɼܯ䁃ɼܯ䁃在椭圆上，ܯ的平分线与ﰐ轴交于点䁞䁃，则的可能取值为（）A.ܯB.C.D.䃸ܯ三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）)ܯ13.已知平面的一个法向量ﰐ䁞ܯ䁞䃸䁃，平面的一个法向量䃸ܯ䁞ɼ䁞，若，则ɼ䃸ﰐ________．14.在棱长为ܯ的正方体െ͸䃸െܯܯ͸ܯܯ中，是线段ܯ的中点，是线段ܯ试卷第2页，总8页,的中点，则直线͸ܯ到平面െܯ的距离为________．ﰐɼ15.已知ܯ，是椭圆͸：ު＝ܯ的左、右焦点，弦െ过点ܯ，若െ的内ܯ䁞切圆的周长为，െ，两点的坐标是ﰐ䁃ܯɼ䁞ܯﰐ䁞ɼ䁃，则ɼܯ䃸ɼ________．16.年是中国传统的农历“鼠年”，有人用个圆构成“卡通鼠”的形象，如图：䁞䃸䁃是圆的圆心，圆过坐标原点；点、均在ﰐ轴上，圆与圆的半径都等于，圆、圆均与圆外切．已知直线过点．（1）若直线与圆、圆均相切，则截圆所得弦长为________；（2）若直线截圆、圆、圆所得弦长均等于，则________．四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）)17.已知平行四边形െ͸的三个顶点的坐标为െ䃸ܯ䁞䁃，䃸䁞䃸ܯ䁃，͸䁞䁃．‴䁃在െ͸中，求边െ͸中线所在直线方程；‴‴䁃求平行四边形െ͸的顶点的坐标及边͸的长度；‴‴‴䁃求െ͸的面积．18.已知െ͸的边െ边所在直线的方程为ﰐ䃸ɼ䃸䁞，䁞䁃满足͸，点䃸ܯ䁞ܯ䁃在െ͸边所在直线上且满足െെ．（1）求െ͸边所在直线的方程；（2）求െ͸外接圆的方程；（3）若动圆过点䃸䁞䁃，且与െ͸的外接圆外切，求动圆的圆心的轨迹方程．19.在如图所示的试验装置中，两个正方形框架െ͸，െ的边长都是ܯ，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子，分别在正方形对角线െ͸和上移动，且͸和的长度保持相等，记͸ൌൌ䁃．Ⅰ䁃求的长；试卷第3页，总8页,Ⅱ䁃为何值时，的长最小并求出最小值；Ⅲ䁃当的长最小时，求平面െ与平面夹角的余弦值．ﰐɼ20.椭圆͸ܯު＝ܯ䁃的长轴长等于圆͸ﰐުɼ的直径，且͸ܯ的离心ܯ率等于，已知直线ﰐ䃸ɼ䃸ܯ交͸ܯ于െ、两点．Ⅰ䁃求͸ܯ的标准方程；Ⅱ䁃求弦െ的长．21.如图所示，在三棱柱െ͸䃸െܯܯ͸ܯ中，四边形െܯെܯ为菱形，െെܯܯ，平面െܯെܯ平面െ͸，െ͸，െ͸െെܯ＝，为െ͸的中点．Ⅰ䁃求证：ܯ͸ܯ平面െܯെܯ；Ⅱ䁃求平面ܯ͸ܯ与平面ܯ͸ܯ͸所成角的大小．22.已知点െܯ䁞䁃，点是圆͸：ﰐުܯ䁃ުɼ上的任意一点，线段െ的垂直平分线与直线͸交于点．Ⅰ䁃求点的轨迹方程；Ⅱ䁃过点െ的直线与轨迹交于不同的两点，，则͸的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线的方程；若不存在，请说明理由．试卷第4页，总8页,参考答案与试题解析2020-2021学年山东省某校高二（上）期中数学试卷一、单选题（本题包括8小题，每小题5分，共40分。每小题只有一个选项符合题意）1.A2.B3.D4.B5.B6.B7.C8.D二.多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.）9.A,C10.A,D11.B,C12.A,C,D三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.ܯܯ14.ܯ15.16.ܯ四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）ܯ17.解：ܯ䁃设െ͸边的中点为，则䁞䁃，ުܯ∴直线斜率ܯ，ު∴直线的方程为ɼުܯﰐު䁃，化为一般式可得ﰐ䃸ɼުܯ，∴െ͸边中线所在直线的方程为：ﰐ䃸ɼުܯ䁃设点坐标为ﰐ䁞ɼ䁃，由已知得为线段中点，䃸ުﰐܯﰐ∴有，解得，∴䁞䁃，䃸ܯުɼɼ试卷第5页，总8页,∵䃸䁞䃸ܯ䁃，͸䁞䁃∴͸䃸䃸䁃ު䃸ܯ䃸䁃；䁃由䃸䁞䃸ܯ䁃，͸䁞䁃可得直线͸的方程为ﰐ䃸ɼުܯ，䃸ܯ䃸ުܯ∴点െ到直线͸的距离，ܯ∴െ͸的面积．18.解：（1）∵െെ∴െെ，又在െ͸上∴െ͸െ，െ͸为െ͸，又െ边所在直线的方程为ﰐ䃸ɼ䃸䁞，所以直线െ͸的斜率为䃸．又因为点䃸ܯ䁞ܯ䁃在直线െ͸上，所以െ͸边所在直线的方程为ɼ䃸ܯ䃸ﰐުܯ䁃．即ﰐުɼު．ﰐ䃸ɼ䃸䁞（2）െ͸与െ的交点为െ，所以由解得点െ的坐标为䁞䃸䁃，ﰐުɼު∵͸∴䁞䁃为െ͸的外接圆的圆心又െ䃸䁃ުު䁃．从െ͸外接圆的方程为：ﰐ䃸䁃ުɼ．（3）因为动圆过点，所以是该圆的半径，又因为动圆与圆外切，所以ު，即䃸．故点的轨迹是以，为焦点，实轴长为的双曲线的左支．因为实半轴长，半焦距．所以虚半轴长䃸．ﰐɼ从而动圆的圆心的轨迹方程为䃸ܯﰐ䃸䁃．19.如图建立空间直角坐标系，െܯ䁞䁞䁃，͸䁞䁞ܯ䁃，ܯ䁞ܯ䁞䁃，䁞ܯ䁞䁃，∵͸，∴䁞䁞ܯ䃸䁃，䁞䁞䁃．ܯ䁃＝䃸䁃ު䃸䁃ުܯ䃸䁃䃸ުܯ；ܯ䁃＝䃸ުܯ䃸䁃ު，当时，最小，最小值为；试卷第6页，总8页,Ⅲ䁃由Ⅱ䁃可知，当，为中点时，最短，ܯܯܯܯ则䁞䁞䁃，䁞䁞䁃，取的中点，连接െ，，ܯܯܯ则䁞䁞䁃，∵െെ，，∴െ，，∴െ是平面െ与平面的夹角或其补角．ܯܯܯܯܯܯ∵െ＝䁞䃸䁞䁃，＝䃸䁞䃸䁞䃸䁃，ܯܯ∴cosൌെ，െ＝䃸䃸．ܯ∴平面െ与平面夹角的余弦值是．20.（1）由题意可得，∴，ܯ∵＝＝，∴ܯ，∴，ﰐɼ∴椭圆͸ܯ的标准方程为：ު＝ܯ．ɼ＝ﰐ䃸ܯ（2）联立直线与椭圆方程，消去ɼ得：ﰐ䃸ﰐ䃸，ﰐުɼ＝ܯ设െﰐ，䁃ܯɼ䁞ܯﰐ䁞ɼ䁃，则ﰐܯﰐ，＝ﰐުܯﰐ＝䃸，䁞∴െܯުﰐܯ䃸ﰐު．21.（1）证明：∵四边形െܯെܯ为菱形，െ͸，െ͸െെܯ＝，∴െ͸െު͸，得െ͸，又平面െܯെܯ平面െ͸，平面െܯെܯ平面െ͸െ，∴͸平面െܯെܯ，又ܯ͸ܯ͸，∴ܯ͸ܯ平面െܯെܯ；（2）取െܯܯ的中点，െܯ͸ܯ的中点，连接െ，，∵ܯ͸ܯ平面െܯെܯ，∴平面െܯെܯ，得െܯ，െ，又四边形െܯെܯ为菱形，െെܯܯ＝，是െܯܯ的中点，∴െെܯܯ，故െܯ，，െ两两互相垂直．以为坐标原点，分别以െܯ、、െ所在直线为ﰐ、ɼ、轴建立空间直角坐标系，∴ܯ䃸ܯ䁞䁞䁃，͸ܯ䃸ܯ䁞䁞䁃，ܯ䃸ܯ䁞ܯ䁞䁃，䃸䁞䁞䁃，试卷第7页，总8页,由图可知，平面ܯ͸ܯ的一个法向量为＝ܯ䁞䁞䁃，设平面ܯ͸ܯ͸的一个法向量为＝ﰐ䁞ɼ䁞䁃，则，取ܯ，得＝䁞䁞ܯ䁃．ܯ＝䃸ﰐު＝设平面ܯ͸ܯ与平面ܯ͸ܯ͸所成角的大小为，ܯުުܯ则coscosൌ，＝，ܯ又∵䁞，∴＝，䁞故平面ܯ͸ܯ与平面ܯ͸ܯ͸所成角的大小为．䁞22.（1）由题意可知：െ，͸ު，∴͸ުെ͸െ，∴点的轨迹是以͸，െ为焦点的椭圆，且，ܯ，ﰐ∴其轨迹方程为ުɼ＝ܯ．（2）设ﰐ，䁃ܯɼ䁞ܯﰐ䁞ɼ䁃，不妨设ɼܯ，ɼൌ，由题意可知，直线的斜率不为零，可设直线的方程为ﰐɼުܯ，ﰐ＝ɼުܯ联立方程，消去ﰐ得：ު䁃ɼުɼ䃸ܯ，ﰐުɼ＝ܯ䃸䃸ܯ则ɼܯުɼ＝ު，ɼܯɼ＝ު，ުܯ∴ɼܯ䃸ɼ＝ɼܯުɼ䁃䃸ɼܯɼ，ުܯުܯ∴͸＝͸െɼܯ䃸ɼ䁃ުުܯުܯ，ުܯܯ当且仅当ުܯ＝即时，͸的面积取得最大值，ުܯ此时直线的方程为ﰐܯ．试卷第8页，总8页