2020-2021学年山东省潍坊市某校高二（上）期中考试数学试卷一、选择题)1.若向量ododi与向量odd共线，则()iiA.B.C.D.iooo2.已知过点do，ido的直线的斜率为i，则()A.oB.iC.iD.o3.圆oo和圆ooͺݕ的位置关系是()A.外离B.相交C.内切D.外切4.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中《商功》有如下问题：“今有委粟平地，下周一十二丈，高一丈，问积为粟几何？”，意思是“有粟若干，堆积在平地上，它底圆周长为io丈，高为i丈，问它的体积和粟各为多少？”如图，主人意欲卖掉该堆粟，已知圆周率约为，一斛粟的体积约为o簰ݕݕ立方寸（单位换算：i立方丈iݕ立方寸），一斛粟米卖oo钱，一两银子iݕݕݕ钱，则主人卖后可得银子()A.oݕݕ两B.oݕݕ两C.oo两D.oͺݕ两5.已知直线iiݕi线直与ݕ垂直，则实数()iiooA.B.ݕ.C或ݕ或D.oo6.过点ݕdݕ，odo且圆心在直线oo上的圆的标准方程为()A.ooooB.ooooC.ooooͺD.ooooͺ7.已知棱长为i的正方体ܥiiiܥi中，，分别为iܥi，ܥiܥ的中点，则异面直线与ܥ所成的角为()A.ݕoi.Dݕ.Co.Bݕ8.如图，在菱形ܥ中，o，ܥݕ，是的中点，将ܥ沿直线ܥ翻折至iܥ的位置，使得面iܥ面ܥ，则点i到直线ܥ的距离为()试卷第1页，总11页,簰簰A.B.C.D.ooo二、多选题)9.若，是两条不同直线，，是两个不同平面，则下列命题正确的是()A.若，′′，则B.若，′′，则C.若，′′，则D.若，′′，则10.在同一平面直角坐标系中，表示直线i：与o：的图象可能正确的是()A.B.C.D.11.如图，正四棱台ܥiiiܥi的高为o，ܥioo，ܥiܥi，则下述正确的是()A.oo试卷第2页，总11页,B.oiC.三棱锥iܥi外接球的半径为oD.点ܥ到面i的距离为o12.已知圆ooo，直线ݕ，则下列结论正确的是()A.当o时，直线与圆相交oB.idi为圆上的点，则iioioo的最大值为C.若圆上有且仅有两个不同的点到直线的距离为i，则的取值范围是ooD.若直线上存在一点，圆上存在两点，，使ݕ，则的取值范围是odo三、填空题)13.点idi到直线iݕ的距离为________.i14.一个漏斗的上半部分是一个长方体，下半部分是一个四棱锥，两部分的高都为米，o公共的底面是边长为i米的正方形，那么这个漏斗的容积为________米.15.一条光线从点od射出，经轴反射后与圆oooi相切，则反射光线所在直线的斜率为________.16.如图，在直三棱柱iii中，点ܥ为棱ii上的点．且i′′平面iܥ，iܥ则________．已知ii，o，以ܥ为球心，以为半径的ܥio球面与侧面ii的交线长度为________.四、解答题)17.如图，在空间四边形中，oܥܥ，点为ܥ的中点，设，试卷第3页，总11页,，.ih试用向量，，表示向量；oh若，o，ݕ，求的值．ooo18.已知圆ݕ过点d.ooih求圆的标准方程及其圆心、半径；oh若直线oݕ分别与轴，轴交于，两点，点为圆上任意一点，求面积的取值范围．19.从①o，②是的中点，③是的内心三个条件中任选一个条件，补充在下面问题中，并完成解答．在四棱锥ܥ中，底面ܥ是矩形，ܥ底面ܥ，且ܥi，，ܥo，，分别为，ܥ的中点．ih判断与平面ܥ的位置关系，并证明你的结论；oh若是侧面上的一点，且________，求三棱锥ܥ的体积．注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．20.某工厂（看作一点）位于两高速公路（看作两条直线）与之间．已知到高速公路的距离是千米，到高速公路的距离是iͺ千米，ݕ．以为坐标原点，以为轴建立如图所示的平面直角坐标系．试卷第4页，总11页,ih求直线的方程；oh现紧贴工厂修建一直线公路连接高速公路和，与的连接点为，与的连接点为ܥ，且恰为该路段ܥ的中点，求ܥ的长度．21.如图，几何体为圆柱的一半，四边形ܥ为圆柱的轴截面，点为圆弧上异于，的点，点为线段ܥ上的动点．ih求证：；ioh若o，ܥi，ݕ，且直线与平面所成角的正弦值为，iݕ求平面与平面ܥ所成锐二面角的余弦值．22.在平面直角坐标系中，点在直线簰o上，簰d，以线段为直径的圆（为圆心）与直线相交于另一个点ܥ，ܥ.ih求圆的标准方程；oh若点不在第一象限内，圆与轴的正半轴的交点为，过点作两条直线分别交圆于，两点，且两直线的斜率之积为，试判断直线是否恒过定点，若是，请求出定点的坐标；若不是，请说明理由．试卷第5页，总11页,参考答案与试题解析2020-2021学年山东省潍坊市某校高二（上）期中考试数学试卷一、选择题1.B2.C3.B4.D5.C6.A7.C8.A二、多选题9.A,B,C10.A,C11.A,B,D12.A,D三、填空题o13.oo14.o15.或o16.i,四、解答题17.解：ih因为oܥܥ，ii所以ܥi，i所以ܥܥoi.因为点为ܥ的中点，iiii所以ܥ．oooh由题意知，，o，，iii所以o试卷第6页，总11页,iiioooii．ooooo18.解：ih由题意可得，ݕ，ooo解得oo，所以圆的方程为ooooݕ，o即圆的标准方程为ooo，其圆心为odݕ，半径为o．oh由题意可得，odݕ，ݕdo，所以o，oݕo所以圆心到直线的距离为o，ioio所以点到直线的最小距离为oo，最大距离为oo，i所以的面积的最小值为ooooo，oi最大值为ooooo，o所以的面积的取值范围为oodoo．19.解：ih′′平面ܥ.证明如下：如图，连结，则与ܥ交于点，因为在中，，分别为，ܥ的中点，四边形ܥ是矩形，所以′′．又因为平面ܥ，平面ܥ，所以′′平面ܥ．oh因为ܥ平面ܥ，平面ܥ，ܥ平面ܥ，所以ܥ，ܥܥ.又因为底面ܥ是矩形，所以ܥ.因为ܥܥܥ，所以平面ܥ.在ܥ中，为的中点，iii所以ܥܥܥܥ.oooo选择条件①.因为o，试卷第7页，总11页,i所以是的三等分点且.又因为ܥo，o所以三棱锥ܥ的高为，iio所以ܥܥ，oiͺ所以三棱锥ܥ的体积是．iͺ选择条件②.因为是的中点，是的中点，′′i所以在中，，o所以三棱锥ܥ的高为i，ii所以ܥܥi，oio所以三棱锥ܥ的体积是．io选择条件③.设的内切圆与边相切于点，则，又因为平面ܥ，平面ܥ，所以，所以′′，所以三棱锥ܥ的高为.在ܥ中，ܥoܥoo，o，所以oooo，iooo所以ioo，oooohoi所以ܥܥioooh，oioo所以三棱锥ܥ的体积是．io20.解：ih因为ݕ，所以直线的斜率为，所以直线的方程为．oh设d，因为的方程为，所以iͺ，o解得i或（舍）所以idh.设idݕh，ܥodoh，因为为ܥ的中点，ܥ在上，试卷第8页，总11页,ioi，o所以ݕo，ooo，oiͺ，解得o，ioo，所以ܥoohoiͺho，所以公路段ܥ的长度为千米．21.ih证明：因为四边形ܥ为圆柱的轴截面，所以为底面半圆的直径，所以.因为ܥ为圆柱的母线，所以ܥ平面.因为面，所以ܥ.因为ܥ，ܥ面ܥ，面ܥ，所以面ܥ.因为面ܥ，所以.oh解：在上底面圆弧ܥ上取一点，使得为母线，故，，两两垂直．如图，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系.因为ݕ，o，则ݕdݕdݕh，ܥݕdidih，dݕdih，dݕdݕh，ݕdidݕh，则ܥݕdidih.设ܥݕddh，ݕdi，则ݕddh，则ddh，ݕdid.设平面的法向量idd.试卷第9页，总11页,iݕ，则iݕ，ݕ，得iݕ令i，得，，所以iddi，didi.设与面所成角为，则isincosdiiii，ooioiݕi解得，所以点为ܥ靠近点的三等分点，iio则idd.取面ܥ的法向量oidݕdݕ.设平面与平面ܥ所成锐二面角为，iioicoscosido，ioioo簰i所以平面与平面ܥ所成锐二面角的余弦值为.o22.解：i因为ܥܥ，i所以ܥ．簰设ܥd簰o，簰oi得，簰簰解得ݕ，所以ܥݕdoh.在ܥ中，ܥ，为中点，所以ܥܥ.设坐标为d簰oh，则ݕho簰ooho簰ݕhooho，解得i或i.①当i时，坐标为idiih，ooܥiݕ，圆心为od簰，此时圆的标准方程为oo簰oo；②当i时，坐标为id，ooܥiݕ，圆心为dݕ，此时圆的标准方程为ooo.综上，圆的标准方程为oo簰oo或ooo.oh由题意知，圆的标准方程为ooo，试卷第10页，总11页,因为圆与轴的正半轴的交点为，所以ͺdݕh，所以设直线的方程为ͺ，ͺd联立得ooo，消去得iooioooiݕ，ooi所以o，iͺoo所以o，iͺooiݕ所以d，ioiooݕooݕݕ因为两条直线斜率积为，用代替，得d.oooo①直线的斜率存在，即o时，ݕiݕoooioooݕݕoͺooooiݕݕݕoh，iݕooݕoooiݕͺoo所以直线方程为，iooioͺoooiݕ即，oioioii即，则直线过定点dݕ；ooii②当直线的斜率不存在，即时，直线方程为，过定点dݕ.i综上可得，直线过定点dݕ．试卷第11页，总11页
