精做11圆周运动的相关计算1．（2022·新课标全国Ⅲ卷）如图，在竖直平面内有由圆弧AB和圆弧BC组成的光滑固定轨道，两者在最低点B平滑连接。AB弧的半径为R，BC弧的半径为。一小球在A点正上方与A相距处由静止开始自由下落，经A点沿圆弧轨道运动。（1）求小球在B、A两点的动能之比；（2）通过计算判断小球能否沿轨道运动到C点。【答案】（1）（2）小球恰好可以沿轨道运动到C点【解析】（1）设小球的质量为m，小球在A点的动能为，由机械能守恒可得①设小球在B点的动能为，同理有②由①②联立可得③（2）若小球能沿轨道运动到C点，小球在C点所受轨道的正压力N应满足④21\n【方法技巧】分析清楚小球的运动过程，把握圆周运动最高点临界速度的求法：重力等于向心力，同时要熟练运用机械能守恒定律。2．竖直平面内有一圆形绝缘细管，细管截面半径远小于半径R，在中心处固定一带电荷量为+Q的点电荷。质量为m、带电荷量为+q的带电小球在圆形绝缘细管中做圆周运动，当小球运动到最高点时恰好对管无作用力，求当小球运动到最低点时对管壁的作用力。【答案】N=6mg【解析】在最高点是重力提供向心力，故：mg–F=m最低点，重力和支持力的合力提供向心力，故：N–mg–F=m从最高点到最低点过程只有重力做功，根据动能定理，有：mg·2R=其中：F=联立解得：N=6mg根据牛顿第三定律，压力为6mg21\n【名师点睛】对于圆周运动的问题，往往与动能定理或机械能守恒定律综合起来进行考查，基本题型，难度适中。3．如图，一个质量为M的人，站在台秤上，手拿一个质量为m，悬线长为R的小球，在竖直平面内做圆周运动，且摆球恰能通过圆轨道最高点，求台秤示数的变化范围。【答案】Mg–0.75mg≤F≤(M+6m)g小球通过最低点时，由牛顿第二定律得：T–mg=m，解得：T=6mg台秤的最大示数：F最大=(M+6m)g小球运动到最高点时，细线中拉力为零，台秤的示数为Mg，但是不是最小，当小球处于如图所示状态时设其速度为v1，由机械能守恒定律得：21\nmv12=mv02+mgR(1–cosθ)由牛顿第二定律得：T′+mgcosθ=m解得，悬线拉力：T′=3mg(1–cosθ)其分力：Ty=Tcosθ=3mgcosθ–3mgcos2θ当cosθ=，即θ=60°时台秤的最小示数为：F最小=Mg–mg=Mg–0.75mg台秤示数的变化范围为Mg–0.75mg≤F≤(M+6m)g【名师点睛】对物体进行受力分析，运用牛顿第二定律列出力与力的关系，根据题目的条件中找到临界状态。对于圆周运动的受力问题，我们要找出向心力的来源。4．如图所示，一光滑的半径为R的半圆形轨道固定在水平面上，一个质量为m的小球先后两次以不同的速度冲上轨道，第一次小球恰能通过轨道的最高点A，之后落于水平面上的P点，第二次小球通过最高点后落于Q点，P、Q两点间距离为R。求：（1）第一次小球落点P到轨道底端B的距离；（2）第二次小球经过A点时对轨道的压力。【答案】（1）（2）21\n（2）根据题意可得根据解得设第二次小球经过轨道A点时，轨道对小球的弹力为解得根据牛顿第三定律，小球对轨道的压力为5．如图所示，匀速转动的水平转台上，沿半径方向放置两个用细线相连的小物块A、B（可视为质点），质量分别为kg、kg；细线长L=2m，A、B与转台间的动摩擦因数μ=0.2。开始转动时A放在转轴处，细线刚好拉直但无张力，重力加速度g=10m/s2。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求：21\n（1）使细线刚好拉直但无张力，转台转动的最大角速度ω1为多少；（2）使A、B能随转台一起匀速圆周运动，转台转动的最大角速度ω2为多少【答案】（1）ω1=1rad/s（2）ω2=2rad/s6．如图所示，在水平面上固定一个半径R=1.6m的3/4光滑圆弧轨道的工件，其圆心在O点，AOC连线水平，BOD连线竖直。在圆周轨道的最低点B有两个质量分别为m1=2kg，m2=1kg的可视为质点的小球1和2，两小球间夹有一个极短的轻弹簧，当弹簧储存了Ep=90J的弹性势能时锁定弹簧。某时刻解除锁定，弹簧将两个小球弹开，重力加速度g=10m/s2，试求：（1）两小球脱离弹簧瞬间的速度的大小（2）通过计算说明小球2第一次沿轨道上滑过程中能否通过D点？【答案】（1）v1=m/sv2=2m/s（2）能通过21\n（2）小球2向右运动，设其能到达圆周轨道的最高点D，由机械能守恒，有：代入数据解得：vD=m/s又小球能通过竖直面内光滑圆周最高点的条件为：mg=m代入数据解得：v=4m/s由于v<vD，故小球2能通过D点。【名师点睛】弹簧将两个小球弹开的过程动量守恒、机械能守恒，根据动量守恒定律、机械能守恒定律列方程，可求出两球的速度。小球到达圆周轨道的最高点的过程，机械能守恒，列出方程，可求到达D点的速度。小球能通过竖直面内光滑圆周最高点的最小向心力为重力，根据牛顿第二定律求出最小速度。与求出的D点速度比较可知能否到达最高点。7．如图，用一根长为L=1m的细线，一端系一质量为m=1kg的小球（可视为质点），另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ=37°，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为T。求（g=10m/s2，sin37°=3/5，cos37°=4/5，计算结果可用根式表示）：（1）若要小球离开锥面，则小球的角速度ω0至少为多大？（2）若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度为多大？（3）细线的张力T与小球匀速转动的加速度ω有关，当ω的取值范围在0到之间时，请通过计算求解T与ω2的关系，并在坐标纸上作出T–ω2的图象，标明关键点的坐标值。【答案】（1）（2）（3）见解析21\n（3）a．当ω1=0时T1=mgcosθ=8N，标出第一个特殊点坐标（0，8N）b．当0<ω<rad/s时，根据牛顿第二定律得：Tsinθ−Ncosθ=mω2lsinθTcosθ+Nsinθ=mg得，T=mgcosθ+mlω2sin2θ=8+ω2当ω2=rad/s时，T2=12.5N标出第二个特殊点坐标[12.5(rad/s)2，12.5N]c．当rad/s≤ω≤rad/s时，小球离开锥面，设细线与竖直方向夹角为βT3sinβ=mω2lsinβ∴T3=mlω2当ω=ω′=rad/s时，T3=20N标出第三个特殊点坐标[20(rad/s)2，20N]画出T–ω2图象如图所示。21\n8．如图所示，光滑杆AB长为L，B端固定一根劲度系数为k、原长为的轻弹簧，质量为m的小球套在光滑杆上并与弹簧的上端连接，为过B点的竖直轴，杆与水平面间的夹角始终为。（1）感保持静止状态，让小球从弹簧的原长位置静止释放，求小球释放瞬间的加速度大小a及小球速度最大时弹簧的压缩量；（2）当球随杆一起绕轴匀速转动时，弹簧伸长量为，求匀速转动的角速度；（3）若，移去弹簧，当杆绕轴以角速度，匀速转动时，小球恰好在杆上某一位置随杆在水平面内匀速转动，球受轻微扰动后沿杆向上滑动，到最高点A时球沿杆方向的速度大小为，求小球从开始滑动到离开杆过程中，杆对球所做的功W。【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）小球释放的瞬间，小球的加速度大小为：当小球速度相等时，有：，解得弹簧的压缩量为：（2）当弹簧伸长量为，受力如图所示：在水平方向上有：21\n竖直方向上有：，解得：。（3）当杆绕轴以角速度匀速转动时，设小球距离B点，此时有：解得：，此时小球的动能为：小球在最高点A离开杆瞬间的动能为：根据动能定理有：，解得：【名师点睛】本题考查了动能定理、牛顿第二定律、胡克定律与圆周运动的综合，知道小球做匀速转动时，靠径向的合力提供向心力，由静止释放时，加速度为零时速度最大。9．一转动装置如图所示，四根轻杆OA、OC、AB和CB与两小球以及一小环通过铰链连接，轻杆长均为l，球和环的质量均为m，O端固定在竖直的轻质转轴上，套在转轴上的轻质弹簧连接在O与小环之间，原长为L，装置静止时，弹簧长为L，转动该装置并缓慢增大转速，小环缓慢上升。弹簧始终在弹性限度内，忽略一切摩擦和空气阻力，重力加速度为g，求：（1）弹簧的劲度系数k；（2）AB杆中弹力为零时，装置转动的角速度ω0。【答案】（1）（2）【解析】（1）装置静止时，设OA、AB杆中的弹力分别为F1、T1，OA杆与转轴的夹角为θ1。小环受到弹簧的弹力小环受力平衡：F弹1=mg+2T1cosθ1小球受力平衡：F1cosθ1+T1cosθ1–mg=0；F1sinθ1–T1sinθ1=0解得：21\n10．如图所示，半径为R的光滑圆周轨道AB固定在竖直平面内，O为圆心，OA与水平方向的夹角为30°，OB在竖直方向。一个可视为质点的小球从O点正上方某处以某一水平初速度向右抛出，小球恰好能无碰撞地从A点进入圆轨道内侧，此后沿圆轨道运动到达B点。已知重力加速度为g，求：（1）小球初速度的大小；（2）小球运动到B点时对圆轨道压力的大小。【答案】（1）（2）【解析】（1）设小球的初速度为，飞行时间为t，则在水平方向有在竖直方向有，小球运动到A点时与轨道无碰撞，故21\n联立解得，（2）抛出点距轨道最低点的高度设小球运动到最低点B时速度为v，对圆轨道的压力为F根据机械能守恒有根据牛顿运动定律有联立解得【名师点睛】对于多过程问题，需要将运动对象在每一个过程中的运动性质分析清楚，然后根据相对应规律列式求解。11．如图所示，一根轻质细杆的两端分别固定着A、B两个小球，在杆上的O点装一光滑水平轴，已知两球质量均为m，AO=l，BO=2l。现从水平位置以某一初速度释放，当转到竖直位置时，A球对杆的拉力为mg，则此时B球对细杆的作用力为多大？【答案】T=5mg【解析】由题意知，小球AB转动的角速度相等，对A球有：受重力和杆的拉力作用做圆周运动故有：可得球A转动的角速度：再以B球为研究对角，有：T–mg=m2lω2=4mg所以杆对球的拉力T=5mg【名师点睛】注意A、B两球用轻杆相连，两球转动的角速度相等，这是正确解题的关键。12．如图所示，一根跨越一固定的水平光滑细杆的柔软、不可伸长的轻绳，绳子总长为3L，细杆O21\n点离地高为2L，两端各系一个质量不等的小球A和B，已知球B的质量为m0。球A置于地面上，球B被拉到与细杆同样的高度的水平位置，在绳恰被拉直时从静止释放小球B。假设小球A始终未离开地面，空气阻力不计，重力加速度大小为g。（1）小球B下落到最低点过程中重力的瞬时功率大小如何变化；（2）当B球下落到绳子与竖直方向成60°角时重力的瞬时功率多大；（3）若小球B达到竖直位置时，A球与地面压力恰好为零，则小球A的质量是小球B质量的几倍。【答案】（1）先变大后减小（2）（3）【解析】（1）B球刚开始时速度为零，重力的瞬时功率为零，到最低点时速度水平与重力垂直，重力的瞬时功率也为零，故瞬时功率先变大后减小。（2）下落过程中机械能守恒：重力的瞬时功率为：解得：（3）对A球此时：对B球，由牛顿第二定律：由机械能守恒定律：得：故A球的质量是B球质量的3倍【名师点睛】本题主要考查了机械能守恒定律、牛顿第二定律、瞬时功率。B球刚开始时速度为零，瞬时功率为零，到最低点时速度水平与重力垂直，瞬时功率也为零，故瞬时功率先变大后减小；由机械能守恒定律求出速度，即可得出瞬时功率；根据牛顿第二定律和机械能守恒定律得出两球质量间的关系。21\n13．如图所示，在倾角为θ的光滑斜面上，有一长为l的细线，细线的一端固定在O点，另一端拴一质量为m的小球，现使小球恰好能在斜面上做完整的圆周运动求：（1）小球通过最高点A时的速度vA；（2）小球通过最低点B时，细线对小球的拉力。【答案】（1）vA=（2）T=6mgsinθ【解析】（1）小球恰好能在斜面上做完整的圆周运动，小球通过A点时细线的拉力为零，根据圆周运动和牛顿第二定律有：mgsinθ=m解得：vA=（2）小球从A点运动到B点，根据机械能守恒定律有：mvA2+mg·2lsinθ=mvB2解得：vB=小球在B点时根据圆周运动和牛顿第二定律有：T–mgsinθ=m解得：T=6mgsinθ【名师点睛】本题关键是明确小球的运动规律，找到圆周运动时的向心力来源，对于类似平抛运动，根据分位移公式列式求解。14．一质量为2000kg的汽车，行驶到一座半径为40m的圆弧形拱桥顶端时，汽车运动速度为8m/s。求此时汽车对桥面的压力的大小（g=10m/s2）。【答案】此时汽车对桥面的压力的大小为16800N。21\n15．如图所示，半径R=0.5m的光滑圆弧面CDM分别与光滑斜面体ABC和斜面MN相切于C、M点，斜面倾角分别如图所示。O为圆弧圆心，D为圆弧最低点，C、M在同一水平高度。斜面体ABC固定在地面上，顶端B安装一定滑轮，一轻质软细绳跨过定滑轮（不计滑轮摩擦）分别连接小物块P、Q（两边细绳分别与对应斜面平行），并保持P、Q两物块静止。若PC间距为L1=0.25m，斜面MN足够长，物块P质量m1=3kg，与MN间的动摩擦因数，重力加速度g=10m/s2求：（sin37°=0.6，cos37°=0.8）（1）小物块Q的质量m2；（2）烧断细绳后，物块P第一次到达D点时对轨道的压力大小；（3）物块P在MN斜面上滑行的总路程。【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）根据共点力平衡条件，两物体的重力沿斜面的分力相等，有：解得：，即小物块Q的质量为（2）P到D过程，由动能定理得，根据几何关系，有：21\n在D点，支持力和重力的合力提供向心力：，解得：，由牛顿第三定律得，物块P对轨道的压力大小为（3）分析可知最终物块在CDM之间往复运动，C点和M点速度为零，由全过程动能定理得：，解得：，即物块P在MN斜面上滑行的总路程为。【名师点睛】本题关键对物体受力分析后，根据平衡条件、牛顿第二定律、运动学公式和动能定理综合求解，对各个运动过程要能灵活地选择规律列式。16．长L=0.5m、质量可忽略的杆，其一端固定于O点，另一端连有质量m=2kg的小球，它绕O点在竖直平面内做圆周运动。当通过最高点时，如图所示，求下列情况下，杆受到的力（计算出大小，并说明是拉力还是压力，g取10m/s2）：（1）当v=1m/s时，杆受到的力多大，是什么力？（2）当v=4m/s时，杆受到的力多大，是什么力？【答案】（1）小球对杆子的作用力为向下的压力，大小为16N（2）小球对杆子的作用力为向上的拉力，大小为44N【解析】对小球受力分析，假设杆子对小球的作用力方向竖直向上大小为F：根据牛顿第二定律：mg–F=（1）当v=1m/s时，解得：F=mg–=16N故杆子对小球的作用力大小为16N，方向向上。根据牛顿第三定律小球对杆子的作用力为向下的压力，大小为16N（2）当v=4m/s时，解得：F=mg–=–44N，负号表示力F的方向与题目假设的方向相反故杆子对小球的作用力大小为44N，方向向下根据牛顿第三定律小球对杆子的作用力为向上的拉力，大小为44N17．如图所示，质量为m的小球A、B分别固定在轻杆的中点和端点，当杆在光滑水平面上绕O点匀速转动时，求杆OA段与AB段对球的拉力之比。21\n【答案】【解析】设，两球质量均为，小球转动的角速度为，杆OA段与AB段对球的拉力大小分别为，根据牛顿第二定律得：对B球有：，对A球有：联立可以得到，，解得：【名师点睛】本题中A、B两球的加速度不同，不能用整体法研究，只能用隔离法处理。列式时，要抓住两球的角速度相等。18．如图，质量为0.5kg的小杯里盛有1kg的水，用绳子系住小杯在竖直平面内做“水流星”表演，转动半径为2m，小杯通过最高点的速度为6m/s，g取10m/s2，求：（1）在最高点时，绳的拉力？（2）在最高点时水对小杯底的压力？（3）为使小杯经过最高点时水不流出，在最高点时最小速率是多少?【答案】（1）T=12N（2）F=8N（3）【解析】（1）小杯质量m=0.5kg，水的质量M=1kg，在最高点时，杯和水的受重力和拉力作用，如图所示，合力F合=(M+m)g+T①圆周半径为R，则F向=(M+m)②21\nF合提供向心力，有(M+m)g+T=(M+m)所以细绳拉力为：T=(M+m)(g)=(1+0.5)(10)=12N（3）小杯经过最高点时水恰好不流出时，此时杯对水的压力为零，只有水的重力作为向心力，由（2）得：Mg=M解得：。【名师点睛】水桶在竖直面内做圆周运动时向心力的来源是解决题目的重点，分析清楚哪一个力做为向心力，再利用向心力的公式可以求出来，必须要明确的是当水桶恰好能过最高点时，只有水的重力作为向心力，此时水恰好流不出来。19．如图所示为赛车场的一个水平“梨形”赛道，两个弯道分别为半径的大圆弧和的小圆弧，直到与弯道相切，大。小圆弧圆心O、距离，赛车沿弯道路线行驶时，路面对轮胎的最大径向静摩擦力是赛车重力的倍，假设赛车在直道上做匀变速直线运动，在弯道上做匀速圆周运动，要使赛车不打滑，赛车绕赛道一圈的时间最短（发动机功率足够大，重力加速度，结果小数点后保留两位）21\n（1）求赛车在直道上的加速度大小？（2）求最短时间？【答案】（1）（2）【解析】（1）设经过小圆弧的速度为，经过小圆弧时由最大静摩擦力提供向心力，由可知，代入数据解得：，由几何关系可得直道的长度为：，再由代入数据解得：【名师点睛】解答此题的关键是由题目获得条件：在弯道上由最大静摩擦力提供向心力；由数学知识求得圆弧的长度，另外还要熟练掌握匀速圆周运动的知识。20．如图所示，半径R=0.4m的圆盘水平放置，绕竖直轴匀速转动，在圆心O正上方h=0.8m高处固定一水平轨道，与转轴交于点。一质量m=1kg的小车（可视为质点）可沿轨道运动，现对其施加一水平拉力F=4N，使其从左侧2m处由静止开始沿轨道向右运动。当小车运动到点时，从小车上自由释放一小球，此时圆盘的半径OA正好与轨道平行，且A点在O的右侧。小车与轨道间的动摩擦因数21\nμ=0.2，g取10m/s2。（1）若小球刚好落到A点，求小车运动到点的速度大小；（2）为使小球刚好落在A点，圆盘转动的角速度应为多大？（3）为使小球能落到圆盘上，小车在水平拉力F作用时运动的距离范围应为多大？【答案】（1）（2）（3）1~1.125m【解析】（1）小球下落时间，（2）小球下落过程中圆盘应恰好转过n圈（n=1，2，3···）【名师点睛】解决本题的关键知道物块整个过程的运动：匀加速直线运动、匀减速直线运动和平抛运动，知道三个过程的运动时间与圆盘转动的时间相等。以及熟练运用运动学公式；解题思路：（1）物块离开O′点后做平抛运动，可以求出平抛运动的时间和平抛运动的初速度，从而得出小车运动到O′点速度；（2）若圆盘转一圈，物块恰好调入小桶，此时作用力时间最短。圆盘转一圈的时间与平抛运动时间是相等。从而得出圆盘转动的角速度最小值，也有可能在平抛运动时间内，圆盘转动n圈。因此求出转动角速度。（3）根据第一问求出小球能落到圆盘上在O′点的速度范围，再从P到O′21\n的过程中，根据动能定理列式求解。21．A、B两球质量分别为m1与m2，用一劲度系数为k的弹簧相连，一长为l1的细线与m1相连，置于水平光滑桌面上，细线的另一端拴在竖直轴OO′上，如图所示。当m1与m2均以角速度ω绕OO′做匀速圆周运动时，弹簧长度为l2，求：（1）此时弹簧伸长量；（2）绳子张力；【答案】（1）Δl=m2ω2(l1+l2)/k（2）T=m1ω2l1+m2ω2(l1+l2)【解析】（1）m2只受弹簧弹力，设弹簧伸长Δl，满足：kΔl=m2ω2(l1+l2)则弹簧伸长量：Δl=m2ω2(l1+l2)/k（2）对m1，受绳拉力T和弹簧弹力f做匀速圆周运动，满足：Tf=m1ω2l1绳子拉力：T=m1ω2l1+m2ω2(l1+l2)【名师点睛】解决本题的关键知道匀速圆周运动的向心力靠合力提供，A、B两球的角速度相同，难度适中。21
