精做20动量、能量综合问题1．（2022·天津卷）如图所示，物块A和B通过一根轻质不可伸长的细绳连接，跨放在质量不计的光滑定滑轮两侧，质量分别为mA=2kg、mB=1kg。初始时A静止于水平地面上，B悬于空中。先将B竖直向上再举高h=1.8m（未触及滑轮）然后由静止释放。一段时间后细绳绷直，A、B以大小相等的速度一起运动，之后B恰好可以和地面接触。取g=10m/s2。空气阻力不计。求：（1）B从释放到细绳刚绷直时的运动时间t；（2）A的最大速度v的大小；（3）初始时B离地面的高度H。【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）B从释放到细绳刚绷直前做自由落体运动，有：解得：（2）设细绳绷直前瞬间B速度大小为vB，有细绳绷直瞬间，细绳张力远大于A、B的重力，A、B相互作用，总动量守恒：绳子绷直瞬间，A、B系统获得的速度：之后A做匀减速运动，所以细绳绷直瞬间的速度v即为最大速度，A的最大速度为2m/s（3）细绳绷直后，A、B一起运动，B恰好可以和地面接触，说明此时A、B的速度为零，这一过程中A、B组成的系统机械能守恒，有：解得，初始时B离地面的高度2．（2022·海南卷）如图，物块A18\n通过一不可伸长的轻绳悬挂在天花板下，初始时静止；从发射器（图中未画出）射出的物块B沿水平方向与A相撞，碰撞后两者粘连在一起运动；碰撞前B的速度的大小v及碰撞后A和B一起上升的高度h均可由传感器（图中未画出）测得。某同学以h为纵坐标，v2为横坐标，利用实验数据作直线拟合，求得该直线的斜率为k=1.92×10-3s2/m。已知物块A和B的质量分别为mA=0.400kg和mB=0.100kg，重力加速度大小g=9.80m/s2。（1）若碰撞时间极短且忽略空气阻力，求h–v2直线斜率的理论值k0；（2）求k值的相对误差δ（δ=×100%，结果保留1位有效数字）。【答案】（1）2.04×10–3s2/m（2）6%（2）按照定义δ=×100%⑥由⑤⑥式和题给条件得δ=6%⑦3．（2022·新课标全国Ⅱ卷）如图，光滑冰面上静止放置一表面光滑的斜面体，斜面体右侧一蹲在滑板上的小孩和其面前的冰块均静止于冰面上。某时刻小孩将冰块以相对冰面3m/s的速度向斜面体推出，冰块平滑地滑上斜面体，在斜面体上上升的最大高度为h=0.3m（h小于斜面体的高度）。已知小孩与滑板的总质量为m1=30kg，冰块的质量为m2=10kg，小孩与滑板始终无相对运动。取重力加速度的大小g=10m/s2。18\n（1）求斜面体的质量；（2）通过计算判断，冰块与斜面体分离后能否追上小孩？【答案】（1）20kg（2）不能（2）设小孩推出冰块后的速度为v1，由动量守恒定律有m1v1+m2v20=0④代入数据得v1=1m/s⑤设冰块与斜面体分离后的速度分别为v2和v3，由动量守恒和机械能守恒定律有m2v20=m2v2+m3v3⑥⑦联立③⑥⑦式并代入数据得v2=1m/s⑧由于冰块与斜面体分离后的速度与小孩推出冰块后的速度相同且处在后方，故冰块不能追上小孩4．（2022·新课标全国Ⅲ卷）如图，水平地面上有两个静止的小物块a和b，其连线与墙垂直：a和b相距l；b与墙之间也相距l；a的质量为m，b的质量为m。两物块与地面间的动摩擦因数均相同，现使a以初速度向右滑动。此后a与b发生弹性碰撞，但b没有与墙发生碰撞，重力加速度大小为g，求物块与地面间的动摩擦力因数满足的条件。【答案】【解析】设物块与地面间的动摩擦因数为μ，若要物块a、b能够发生碰撞，应有18\n即设在a、b发生弹性碰撞前的瞬间，a的速度大小为，由能量守恒可得设在a、b碰撞后的瞬间，a、b的速度大小分别为根据动量守恒和能量守恒可得，联立可得根据题意，b没有与墙发生碰撞，根据功能关系可知，故有综上所述，a与b发生碰撞，但b没有与墙发生碰撞的条件是5．（2022·广东卷）图（a）所示的装置中，小物块A、B质量均为m，水平面上PQ段长为l，与物块间的动摩擦因数为μ，其余段光滑。初始时，挡板上的轻质弹簧处于原长；长为r的连杆位于图中虚线位置；A紧靠滑杆（A、B间距大于2r）。随后，连杆以角速度ω匀速转动，带动滑杆作水平运动，滑杆的速度–时间图像如图（b）所示。A在滑杆推动下运动，并在脱离滑杆后与静止的B发生完全非弹性碰撞。（1）求A脱离滑杆时的速度，及A与B碰撞过程的机械能损失ΔE。（2）如果AB不能与弹簧相碰，设AB从P点到运动停止所用的时间为t1，求ω的取值范围，及t1与ω的关系式。（3）如果AB能与弹簧相碰，但不能返回到P点左侧，设每次压缩弹簧过程中弹簧的最大弹性势能为Ep，求ω的取值范围，及Ep与ω的关系式（弹簧始终在弹性限度内）。【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）滑杆达到最大速度时A与其脱离。由题意，得：18\n设AB碰撞后的共同速度为，由动量守恒定律碰撞过程中的机械能损失为（3）AB能与弹簧相碰，则不能返回道P点左侧解得AB在的Q点速度为v2，AB碰后到达Q点过程，由动能定理AB与弹簧接触到压缩最短过程，由能量守恒整理可以得到：6．如图所示，内壁光滑半径为R的圆形轨道，固定在竖直平面内。质量为m1的小球静止在轨道最低点，另一质量为m2的小球（两小球均可视为质点）从内壁上与圆心O等高的位置由静止释放，运动到最低点时与m1发生碰撞并粘在一起。求：18\n（1）小球m2刚要与m1发生碰撞时的速度大小；（2）碰撞后，m1､m2能沿内壁运动所能达到的最大高度（相对碰撞点）。【答案】（1）（2）【解析】（1）设小球m2刚要与m1发生碰撞时的速度大小为v0，由机械能守恒定律，得m2gR=①解得v0=②7．如图，质量m1=0.45kg的平顶小车静止在光滑水平面上，质量m2=0.5kg的小物块(可视为质点)静止在车顶的右端。一质量为m0=0.05kg的子弹以水平速度v0=100m/s射中小车左端并留在车中，最终小物块相对地面以2m/s的速度滑离小车。已知子弹与车的作用时间极短，小物块与车顶面的动摩擦因数μ=0.8，认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力。取g=10m/s2，求：（1）子弹相对小车静止时小车速度的大小；18\n（2）小车的长度L。【答案】（1）10m/s（2）2m【解析】（1）子弹进入小车的过程中，子弹与小车组成的系统动量守恒，由动量守恒定律得m0v0=(m0+m1)v1①解得v1=10m/s②8．如图所示，A、B两个矩形木块用轻弹簧相接静止在水平地面上，弹簧的劲度系数为k，木块A和木块B的质量均为m。（1）若用力将木块A缓慢地竖直向上提起，木块A向上提起多大高度时，木块B将离开水平地面。（2）若弹簧的劲度系数k是未知的，将一物体C从A的正上方某位置处无初速释放，C与A相碰后立即粘在一起（不再分离）向下运动，它们到达最低点后又向上运动．已知C的质量为m时，把它从距A高为H处释放，则最终能使B刚好离开地面．若C的质量为，要使B始终不离开地面，则释放时，C距A的高度h不能超过多少？【答案】（1）（2）【解析】（1）开始时，木块A处于平衡，则kx1=mg（弹簧压缩）木块B刚好离开地面时，有kx2=mg（弹簧伸长）18\n故木块A向上提起的高度为（2）物块C的质量为m时，它自由下落H高度时的速度①设C与A碰撞后的共同速度为v2，根据动量守恒定律，有则②以后A、C继续压缩弹簧，后又向上弹起，最终能使木块B刚好离开地面。此过程中，A、C上升的高度为上升的高度为，由于最初弹簧的压缩量x1与最后的伸长量x2相等，所以，弹簧势能相等，根据机械能守恒定律，有③物块C的质量为时，设在距A高h处自由下落后刚好能使木块B离开地面则C下落h高度时的速度④设C与A碰撞后的共同速度为。则有解得⑤A、C碰后上升高度时，木块B刚好离开地面，此过程中，由机械能守恒定律有⑥由以上各式消去解得9．如图所示，一轻绳穿过光的定滑轮，两端各拴一小物块，它们的质量分别为m1、m2，已知m2=3m1，起始时m1放在地上，m2离地面高度为h=1.00m，绳子处于拉直状态，然后放手，设物块与地面相碰时完全没有弹起（地面为水平沙地），绳不可伸长，绳中各处拉力均相同，在突然提拉物块时绳的速度与物块相同，试求m2所走的全部路程（取三位有效数字）。【答案】1.13m【解析】m2从h高处下落，落地前的速度为v，对系统，由机械能守恒定律可得18\n①m2落地与地面碰撞后，速度变为零，m1以速度v做竖直上抛运动，后又自由落下，在绳刚伸直但尚未绷紧时，其速度仍为v，在绳绷紧的瞬间m1的动量由m1v变为m1v1，m2的动量由0变为m2v1，因绳绷紧的瞬间，绳中拉力远大于物块重力，因此可以认为这一过程动量守恒，选m1、m2的运动方向为正方向，有m1v=(m1+m2)v1②这以后m2以速度v1向上运动，m1以v1向下运动，当m2上升至最高点（设其高度为h1）时，m1、m2的速度皆为零，由机械能守恒有③由①②③式解得④m2到达高度h1后，又从该处下落，并到达地面，与前面的过程相似，m2第二次上升到最点，其高度为h2，按上面的计算，有依次类推，可得而m2走过的路程为.10．如图所示，AB为斜轨道，与水平面夹角30°，BC为水平轨道，两轨道在B处通过一小段圆弧相连接，一质量为m的小物块，自轨道AB的A处从静止开始沿轨道下滑，最后停在轨道上的C点，已知A点高18\nh，物块与轨道间的动摩擦因数为μ，求：（1）整个过程中摩擦力所做的功?（2）物块沿轨道AB段滑动的时间t1与沿轨道BC段滑动的时间t2之比t1/t2等于多少?【答案】（1）mgh（2）11．如图所示，水平传送带AB足够长，质量为M=1kg的木块随传送带一起以v1=2m/s的速度向左匀速运动（传送带的速度恒定），木块与传送带的摩擦因数，当木块运动到最左端A点时，一颗质量为m=20g的子弹，以v0=300m/s的水平向右的速度，正对射入木块并穿出，穿出速度v=50m/s，设子弹射穿木块的时间极短，（g取10m/s2）求：（1）木块遭射击后远离A的最大距离；（2）木块遭击后在传送带上向左运动所经历的时间。【答案】（1）0.9m（2）0.65s【解析】（1）设木块遭击后的速度瞬间变为V，以水平向右为正方向，由动量守恒定律得18\n则，代入数据解得，方向向右木块遭击后沿传送带向右匀减速滑动，其受力如图所示摩擦力设木块远离A点的最大距离为s，此时木块的末速度为零，根据动能定理则（2）设木块向左加速到时的位移为s1，由动能定理得，则由此可知，遭击木块在传送带上向左的运动过程分两个阶段：先向左加速运动一段时间，再匀速运动一段时间由动量定理得，则18\n所求时间12．如图所示，内壁光滑的半径为R的圆形轨道，固定在竖直平面内．质量为m1的小球静止在轨道最低点，另一质量为m2的小球（两小球均可视为质点）从内壁上与圆心O等高的位置由静止释放，到最低点时与m1发生弹性碰撞。求：（1）小球m2运动到最低点时的速度大小。（2）碰撞后，欲使m1能沿内壁运动到最高点，则应满足什么条件？【答案】（1）（2）【解析】（1）设小球m2运动到最低点时的速度为v0，由机械能守恒，得①解得②小球m1由最低点运动最高点的过程中机械能守恒，则18\n⑦由②⑤⑥⑦式解得⑧13．如图所示，两个质量均为4m的小球A和B由轻弹簧连接，置于光滑水平面上。一颗质量为m子弹，以水平速度v0射入A球，并在极短时间内嵌在其中。求：在运动过程中。（1）什么时候弹簧的弹性势能最大，最大值是多少？（2）A球的最小速度和B球的最大速度。【答案】（1）（2）VAminVBmax（2）以子弹和A球有共同速度为初态，子弹和A球速度最小、B球速度最大为末态，则(m+M)V=(m+M)VA+MVB⑤⑥解得，⑦18\n或=v0，=0⑧根据题意求A球的最小速度和B球的最大速度，所以VAmin，VBmax14．如图所示，在平静的水面上漂浮着一块质量为M=150g的带有支架的木板，木板左边的支架上静静地蹲着两只质量各为m=50g的青蛙，支架高h=20cm，支架右方的水平木板长s=120cm。突然，其中有一只青蛙先向右水平地跳出，恰好进入水中，紧接其后，另一只也向右水平地跳出，也恰好进入水中。试计算：（水的阻力忽略不计，取g=10m/s2，结果保留两位有效数字）（1）第一只青蛙为了能直接跳入水中，它相对地的跳出初速度v1至少是多大？（2）第二只青蛙为了能直接跳入水中，它相对地的跳出初速度v2至少又是多大？（3）在上述过程中，哪一只青蛙消耗的体能大一些？请简述理由。【答案】（1）（2）（3）第一只青蛙消耗的体能大（见解析）【解析】（1）（2）设两次跳出对应青蛙的初速率各是、，木块分别获得反冲速率为、在第一次跳出过程中，对M和2m系统，根据动量定恒定律，有①在第二次跳出过程中，对M和m系统，根据动量守恒定律，有②由平抛运动规律可得③④⑤解得（3）第一只青蛙消耗的体能⑥第二只青蛙消耗的体能18\n⑦可见，15．如图所示，足够长金属导轨MN和PQ与R相连，平行地放在水平桌面上。质量为m的金属杆ab可以无摩擦地沿导轨运动。导轨与ab杆的电阻不计，导轨宽度为L，磁感应强度为B的匀强磁场垂直穿过整个导轨平面。现给金属杆ab一个瞬时冲量I0，使ab杆向右滑行。（1）回路最大电流是多少？（2）当滑行过程中电阻上产生的热量为Q时，杆ab的加速度多大？（3）杆ab从开始运动到停下共滑行了多少距离？【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）由动量定理得由题可知金属杆做减速运动，刚开始有最大速度时有最大，所以回路最大电流：（2）设此时杆的速度为v，由动能定理有：而Q=解之由牛顿第二定律及闭合电路欧姆定律得（3）对全过程应用动量定理有：18\n而所以有又其中x为杆滑行的距离所以有16．如图所示，电容器固定在一个绝缘座上，绝缘座放在光滑水平面上，平行板电容器板间的距离为d，右极板上有一小孔，通过孔有一左端固定在电容器左极板上的水平绝缘光滑细杆，电容器极板以及底座、绝缘杆总质量为M，给电容器充电后，有一质量为m的带正电小环恰套在杆上以某一初速度v0对准小孔向左运动，并从小孔进入电容器，设带电环不影响电容器板间电场分布。带电环进入电容器后距左板的最小距离为0.5d，试求：（1）带电环与左极板相距最近时的速度v；（2）此过程中电容器移动的距离s。（3）此过程中能量如何变化？【答案】（1）（2）（3）带电小环动能减少，电势能增加，同时电容器等的动能增加，系统中减少的动能全部转化为电势能。18\n（2）能量观点（在第（1）问基础上）：对m：对M：所以运动学观点：对M：，对m：，解得：带电环与电容器的速度图像如图所示。由三角形面积可得：，解得：（3）在此过程，系统中，带电小环动能减少，电势能增加，同时电容器等的动能增加，系统中减少的动能全部转化为电势能17．在电场强度为E的匀强电场中，有一条与电场线平行的几何线，如图中虚线所示，几何线上有两个静止的小球A和B（均可看作质点），两小球的质量均为m，A球带电荷量+Q，B球不带电，开始时两球相距L，在电场力的作用下，A球开始沿直线运动，并与B球发生对碰撞，碰撞中A、B两球的总动能无损失，设在各次碰撞过程中，A、B两球间无电量转移，且不考虑重力及两球间的万有引力，问：（1）A球经过多长时间与B球发生第一次碰撞？（2）第一次碰撞后，A、B两球的速度各为多大？（3）试问在以后A、B两球有再次不断地碰撞的时间吗？如果相等，请计算该时间间隔T18\n，如果不相等，请说明理由。【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）A球在电场力的作用下做匀加速直线运动，则：由牛顿第二定律有：①由运动学有：②解之得③（3）取B球为参考系，A、B碰撞后，A球以向左做匀减速直线运动，经时间t后，速度减为零，同时与B球相距L，然后A球向右做匀加速直线运动，又经过时间t后，速度增为，与B球发生第二次碰撞同理可证，每次总能量无损失的碰撞均为互换速度，则以后第三、四次碰撞情况可看成与第二次碰撞的情况重复，以此类推可知A、B两球不断碰撞的时间间隔相等，均为：18
