精做19滑块、碰撞等问题1．（2022·天津卷）如图所示，水平地面上固定有高为h的平台，台面上有固定的光滑坡道，坡道顶端距台面高度也为h，坡道底端与台面相切。小球A从坡道顶端由静止开始滑下，到达水平光滑的台面与静止在台面上的小球B发生碰撞，并粘连在一起，共同沿台面滑行并从台面边缘飞出，落地点与飞出点的水平距离恰好为台高的一半，两球均可视为质点，忽略空气阻力，重力加速度为g。求（1）小球A刚滑至水平台面的速度vA；（2）A、B两球的质量之比mA:mB。【答案】（1）（2）【解析】（1）小球A下滑过程中，由动能定理可得：，解得：；（2）A、B两球碰撞时动量守恒，由动量守恒定律可得：，离开平台后，两球做平抛运动，水平方向：，竖直方向：，解得：。2．（2022·新课标卷）如图，小球a、b用等长细线悬挂于同一固定点O。让球a静止下垂，将球b向右拉起，使细线水平。从静止释放球b，两球碰后粘在一起向左摆动，此后细线与竖直方向之间的最大偏角为60°。忽略空气阻力，求（1）两球a、b的质量之比；（2）两球在碰撞过程中损失的机械能与球b在碰前的最大动能之比。【答案】（1）（2）21\n（2）两球在碰撞过程中的机械能损失是联立①⑥式，Q与碰前球b的最大动能（）之比为⑦联立⑤⑦式，并代入题给数据得⑧3．（2022·天津卷）如图所示，水平地面上静止放置一辆小车A，质量，上表面光滑，小车与地面间的摩擦力极小，可以忽略不计。可视为质点的物块B置于A的最右端，B的质量。现对A施加一个水平向右的恒力F=10N，A运动一段时间后，小车左端固定的挡板B发生碰撞，碰撞时间极短，碰后A、B粘合在一起，共同在F的作用下继续运动，碰撞后经时间t=0.6s，二者的速度达到。求：（1）A开始运动时加速度a的大小；（2）A、B碰撞后瞬间的共同速度v的大小；（3）A的上表面长度l；。【答案】（1）2.5m/s2（2）1m/s（3）0.45m21\n（3）设A、B发生碰撞前，A的速度为vA，对A、B发生碰撞的过程，由动量守恒定律有：⑤A从开始运动到与B发生碰撞前，由动能定理得：⑥联立④⑤⑥式，代入数据解得：⑦4．如图所示，高h=0.45m的光滑水平桌面上有质量m1=2kg的物体，以水平速度v1=5m/s向右运动，与静止的另一质量m2=1kg的物体相碰．若碰撞后m1仍向右运动，速度变为v1′=3m/s，求：（不计空气阻力，g=10m/s2）（1）m2落地时距桌边缘A点的水平距离；（2）m2落地时动量的大小。【答案】（1）1.2m （2）5kg·m/s【解析】（1）m1与m2碰撞，动量守恒，有：m1v1=m1v1′+m2v2解得v2=4m/s而m2做平抛运动，有：h=gt2，x=v2t则m2落地时距桌边缘A点的水平距离x=1.2m21\n（2）对m2由机械能守恒得：m2gh=m2v2–m2v22解得m2落地时的速度大小为v=5m/s，动量大小为p=m2v=5kg·m/s5．如图所示，A、B两个木块质量分别为2kg与0.9kg，A、B与水平地面间接触光滑，上表面粗糙，质量为0.1kg的铁块以10m/s的速度从A的左端向右滑动，最后铁块与B的共同速度大小为0.5m/s，求：（1）A的最终速度；（2）铁块刚滑上B时的速度。【答案】（1）0.25m/s （2）2.75m/s6．如图所示，甲、乙两个小孩各乘一辆冰车在水平冰面上游戏，甲和他的冰车总质量共为M=30kg，乙和他的冰车总质量也是30kg，游戏时甲推着一个质量m=15kg的箱子和他一起以大小为v0=2m/s的速度滑行，乙以同样大小的速度迎面滑来，为了避免相撞，甲突然将箱子沿冰面推给乙，箱子滑到乙处时乙迅速把它抓住，若不计冰面的摩擦，问甲至少要以多大的速度（相对地面）将箱子推出，才能避免与乙相撞。【答案】5.2m/s【解析】设甲至少以速度v将箱子推出，甲推出箱子后速度为v甲，乙抓住箱子后速度为v乙，则由动量守恒定律，得：甲推箱子过程：(M+m)v0=Mv甲+mv乙抓箱子过程：mv–Mv0=(M+m)v乙21\n甲、乙恰不相碰的条件是：v甲=v乙代入数据可解得：v=5.2m/s7．将质量为m=1kg的小球，从距水平地面高h=5m处，以v0=10m/s的水平速度抛出，不计空气阻力，g取10m/s2。求：（1）抛出后0.4s内重力对小球的冲量；（2）平抛运动过程中小球动量的增量Δp；（3）小球落地时的动量p′。【答案】（1）4N·s方向竖直向下（2）10N·s方向竖直向下（3）10kg·m/s【解析】（1）重力是恒力，0.4s内重力对小球的冲量I=mgt=1×10×0.4N·s=4N·s方向竖直向下（3）小球落地时竖直分速度为vy=gt=10m/s．由速度合成知，落地速度v==m/s=10m/s所以小球落地时的动量大小为p′=mv=10kg·m/s8．如图所示，静止在光滑水平面上的小车质量为M=20kg。从水枪中喷出的水柱的横截面积为S=10cm221\n，速度为v=10m/s，水的密度为ρ=1.0×103kg/m3。若水枪喷出的水从车后沿水平方向冲击小车的前壁，且冲击到小车前壁的水全部沿前壁流进小车中。当有质量为m=5kg的水进入小车时，试求：（1）小车的速度大小；（2）小车的加速度大小。【答案】（1）2m/s（2）2.56m/s2【解析】（1）流进小车的水与小车组成的系统动量守恒，当流入质量为m的水后，小车速度为v1，由动量守恒定律得mv=(m+M)v1，解得v1=mv/(m+M)=2m/s（2）质量为m的水流进小车后，选取在极短的时间Δt内冲击小车的质量为Δm的水作为研究对象，Δm=ρS(v–v1)Δt则设车对水的作用力为F，据动量定理有–FΔt=Δmv1–Δmv联立解得F=ρS(v–v1)2=1.0×103×1.0×10–3×(10–2)2N=64N由牛顿第三定律可知此时，水对车的冲击力为F′=F=64N小车的加速度m/s2=2.56m/s29．如图所示，一块质量为M､长为l的匀质板放在很长的光滑水平桌面上，板的左端有一质量为m的物块，物块上连接一根很长的细绳，细绳跨过位于桌面边缘的定滑轮，某人以恒定的速度v向下拉绳，物块最多只能到达板的中点，而且此时板的右端尚未到达桌边定滑轮处。求：（1）物块与板的动摩擦因数及物块刚到达板的中点时板的位移；（2）若板与桌面间有摩擦，为使物块能到达板的右端，板与桌面间的动摩擦因数的范围；（3）若板与桌面间的动摩擦因数取（2）问中的最小值，在物块从板的左端运动到右端的过程中，人拉绳的力所做的功（其他阻力均不计）。【答案】（1）（2）μ2≥（3）2Mv2【解析】（1）设物块在板上滑行的时间为t1，对板应用动量定理得：21\nμ1mgt1=Mv，t1=①设在此过程中物块前进位移为s1，板前位移为s2，则s1=v·t1②s2=t1③s1–s2=④由①~④得物块与板间的动摩擦因数为μ1=板的位移s2=（3）设绳子的拉力为T，物块从板的左端到达右端的过程中物块的位移为s3，则有：T–μ1mg=0，s3=v·t3=2l由功的计算公式得：WT=T·s3=μ1mg·2l=·mg·2l=2Mv2所以绳的拉力做功为2Mv210．如图中滑块和小球的质量均为m，滑块可在水平放置的光滑固定导轨上自由滑动，小球与滑块上的悬点21\nO由一不可伸长的轻绳相连，轻绳长为l。开始时，轻绳处于水平拉直状态，小球和滑块均静止。现将小球由静止释放，当小球到达最低点时，滑块刚好被一表面涂有粘性物质的固定挡板粘住，在极短的时间内速度减为零，小球继续向左摆动，当轻绳与竖直方向的夹角θ=60°时小球达到最高点。求：（1）从滑块与挡板接触到速度刚好变为零的过程中，挡板阻力对滑块的冲量；（2）小球从释放到第一次到达最低点的过程中，绳的拉力对小球做的功的大小。【答案】（1）（2）【解析】（1）设小球第一次到达最低点时，滑块和小球速度的大小分别为v1､v2，对于滑块与小球组成的系统由机械能守恒定律得小球由最低点向左摆动到最高点过程，由机械能守恒定律得联立两式解得设所求挡板阻力对滑块的冲量为I，规定动量方向向右为正，对滑块由动量定理得I=0–mv1解得（2）小球从开始释放到第一次到达最低点的过程中，设绳的拉力对小球做功为W，由动能定理得将v2代入解得小球从释放到第一次到达最低点的过程中，绳的拉力对小球做功的大小为11．如图所示，质量为M的汽车带着质量为m的拖车在平直公路上以加速度a匀加速前进，当速度为v0时拖车突然与汽车脱钩，而到拖车停下瞬间司机才发现。（1）若汽车的牵扯引力一直未变，车与路面的动摩擦因数为μ，那么拖车刚停下时，汽车的瞬时速度是多大?（2）若原来汽车带着拖车在平直公路上是以速度v021\n匀速前进，拖车突然与汽车脱钩，那么在拖车刚停下时，汽车的瞬时速度又是多大?【答案】（1）（2）（2）以汽车和拖车系统为研究对象，全过程系统受的合外力始终为零，全过程对系统用动量守恒定律：(M+m)v0=Mv″得v″=12．如图所示，小球A系在细线的一端，线的另一端固定在O点，O点到水平面的距离为h。物块B质量是小球的5倍，置于粗糙的水平面上且位于O点正下方，物块与水平面间的动摩擦因数为μ。现拉动小球使线水平伸直，小球由静止开始释放，运动到最低点时与物块发生正碰（碰撞时间极短），反弹后上升至最高点时到水平面的距离为h/4。小球与物块均视为质点，不计空气阻力，重力加速度为g，求：（1）小球运动到最低点与物块碰撞前的速度；（2）碰撞结束时小球及物块的速度；（3）物块在水平面上滑行的距离。【答案】（1）（2）（3）21\n【解析】（1）设小球的质量为m，运动到最低点与物块碰撞前的速度大小为v1，取小球运动到最低点的重力势能为零，根据机械能守恒定律，有mgh=mv12得v1=（3）物块在水平面上滑行所受摩擦力的大小为F=5μmg设物块在水平面上滑行的时间为t，根据动量定理，有–Ft=0–5mv2得t=13．如图所示，可看成质点的A物体叠放在上表面光滑的B物体上，一起以的速度沿光滑的水平轨道匀速运动，与静止在同一光滑水平轨道上的木板C发生碰撞，碰后B、C的速度相同，B、C的上表面相平且B、C不粘连，A滑上C后恰好能到达C板的右端。已知A、B的质量相等，C的质量为A的质量的2倍，木板C长为L，重力加速度为g。求：（1）A物体的最终速度；（2）A物体与木板C上表面间的动摩擦因数。21\n【答案】（1）（2）（2）在A、C相互作用过程中，由能量守恒定律得：，又，解得：【名师点睛】本题的关键要注意研究对象的选择、明确选择正方向，分析清楚物体运动过程，运用动量守恒定律、能量守恒定律解题。14．如图所示，质量为3m的足够长木板C静止在光滑水平面上，质量均为m的两个小物体A､B放在C的左端，A､B间相距s0，现同时对A､B施加水平向右的瞬时冲量而使之分别获得初速度v0和2v0，若A､B与C之间的动摩擦因数分别为μ和2μ，则（1）最终A､B､C的共同速度为多大?（2）求运动过程中A的最小速度?（3）A与B最终相距多远?（4）整个过程中A､B与木板C因摩擦所产生的热量之比为多大?【答案】（1）0.6v0（2）vAC=0.5v0（3）（4）21\n【解析】（1）由于A､B､C三个物体构成的系统在水平方向不受外力，所以由动量守恒定律可得mv0+2mv0=5mv最终A､B､C的共同速度为v=0.6v0（2）设经t时间A与C恰好相对静止，此时A的速度最小，设为vAC，此时B的速度为vB，由动量守恒和动量定理得mv0+2mv0=4mvAC+mvB–μmgt=m(vAC–v0)(μmg+2μmg)t=3mvAC解得vAC=0.5v0，vB=v0（3）在A与C相对静止前，三个物体的加速度大小分别为aA==μgaB==2μgaC==μgA､B做匀减速运动，C做匀加速运动；在A与C相对静止后，三个物体的加速度大小又分别为aA′=aC′=μgaB′=aB=2μg当A､C相对静止后，A､C做匀加速运动，B做匀减速运动，最终三个物体以共同速度匀速运动。在开始运动到三个物体均相对静止的过程中A､B相对于地面的位移分别为sA=sB=所以，A与B最终相距Δs=s0+sB–sA=s0+0.425（4）设整个运动过程中A相对于C滑行距离为s，则B相对于C滑行的距离为s+Δs–s0，由动能定理得μmgs+2μmg(s+Δs–s0)=21\nQA=μmgsQB=2μmg(s+Δs–s0)解得整个过程中A､B与木板C因摩擦所产生的热量之比为15．两个质量都是M=0.4kg的砂箱A､B并排放在光滑的水平桌面上，一颗质量为m=0.1kg的子弹以v0=140m/s的水平速度射向A，如图所示。射穿A后，进入B并同B一起运动，测得A､B落点到桌边缘的水平距离sA:sB=1:2，求子弹在砂箱A､B中穿行时系统一共产生的热量Q。【答案】860J【解析】设子弹入射过程，使A获得速度v1，B获得速度v2，子弹穿过A时速度为v3。子弹入射A过程，子弹A､B水平方向不受外力作用，动量守恒，则mv0=mv3+2Mv1①子弹射入B过程，子弹与B水平方向不受外力作用，动量守恒mv3+Mv1=(m+M)v2②A､B离开桌面后做平抛运动，因高度相同，空中运动时间相等sA:sB=v1:v2=1:2③子弹入射过程，系统动能转化为内能④联立①②③得v2=2v1=20m/s代入④得Q=860J16．如图所示，光滑水平直轨道上有三个滑块A、B、C，质量分别为mA=mC=2m，mB=m，A、B用细绳连接，中间有一压缩的轻弹簧（弹簧与滑块不拴接）。开始时A、B以共同速度v0运动，C静止。某时刻细绳突然断开，A、B被弹开，然后B又与C发生碰撞并粘在一起，最终三滑块速度恰好相同。求B与C21\n碰撞前B的速度。【答案】v017．一质量为2m的物体P静止于光滑水平地面上，其截面如图所示。图中ab为粗糙的水平面，长度为L；bc为一光滑斜面，斜面和水平面通过与ab和bc均相切的长度可忽略的光滑圆弧连接。现有一质量为m的木块以大小为v0的水平初速度从a点向左运动，在斜面上上升的最大高度为h，返回后在到达a点前与物体P相对静止。重力加速度为g。求：（1）木块在ab段受到的摩擦力f；（2）木块最后距a点的距离s。【答案】（1）（2）【解析】（1）木块向右滑到最高点时，系统有共同速度动量守恒：①②联立①②两式解得：③21\n（2）整个过程，由功能关系得：④木块最后距a点的距离⑤联立①③④⑤解得：18．光滑水平面上放着质量mA=1kg的物块A与质量mB=2kg的物块B，A与B均可视为质点，A靠在竖直墙壁上，A、B间夹一个被压缩的轻弹簧（弹簧与A、B均不拴接），用手挡住B不动，此时弹簧弹性势能Ep=49J。在A、B间系一轻质细绳，细绳长度大于弹簧的自然长度，如图所示。放手后B向右运动，绳在短暂时间内被拉断，之后B冲上与水平面相切的竖直半圆光滑轨道，其半径R=0.5m，B恰能到达最高点C。g取10m/s2，求：（1）绳拉断后B的速度vB的大小；（2）绳拉断过程绳对B的冲量I的大小；（3）绳拉断过程绳对A所做的功W。【答案】（1）5m/s（2）4N·s（3）8J（2）设弹簧恢复到自然长度时B的速率为v1，取向右为正方向，弹簧的弹性势能转化成B的动能Ep=mB③根据动量定理有：I=mBvB–mBv1④由③④解得：I=–4N·s，其大小为4N·s21\n（3）设绳断后A的速率为vA，取向右为正方向根据动量守恒定律有：mBv1=mBvB+mAvA⑤根据动能定理有：W=mA⑥由⑤⑥解得：W=8J19．如图，质量m1=0.45kg的平顶小车静止在光滑水平面上，质量m2=0.5kg的小物块（可视为质点）静止在车顶的右端。一质量为m0=0.05kg的子弹以水平速度v0=100m/s射中小车左端并留在车中，最终小物块相对地面以2m/s的速度滑离小车。已知子弹与车的作用时间极短，小物块与车顶面的动摩擦因数μ=0.8，认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力。取g=10m/s2，求：（1）子弹相对小车静止时小车速度的大小；（2）小车的长度L。【答案】（1）10m/s（2）2m【解析】（1）子弹进入小车的过程中，子弹与小车组成的系统动量守恒，由动量守恒定律得m0v0=(m0+m1)v①解得v1=10m/s②（2）三物体组成的系统动量守恒，由动量守恒定律得(m0+m1)v1=(m0+m1)v2+m2v3③解得v2=8m/s④由能量守恒可得(m0+m1)=μm2g·L+(m0+m1)+m2⑤解得L=2m⑥20．有两个完全相同的小滑块A和B，A沿光滑水平面以速度v0与静止在平面边缘O点的B发生正碰，碰撞中无机械能损失。碰后B运动的轨迹为OD曲线，如图所示。（1）已知滑块质量为m，碰撞时间为，求碰撞过程中A对B平均冲力的大小。（2）为了研究物体从光滑抛物线轨道顶端无初速下滑的运动，特制做一个与B平抛轨道完全相同的光滑轨道，并将该轨道固定在与OD曲线重合的位置，让A沿该轨道无初速下滑（经分析，A21\n下滑过程中不会脱离轨道）。a．分析A沿轨道下滑到任意一点的动量pA与B平抛经过该点的动量pB的大小关系；b．在OD曲线上有一M点，O和M两点连线与竖直方向的夹角为45°。求A通过M点时的水平分速度和竖直分速度。【答案】（1）（2）a．pA<pBb．（2）a．设任意点到O点竖直高度差为dA、B由O点分别运动至该点过程中，只有重力做功，所以机械能守恒选该任意点为势能零点，有EA=mgd，EB=mgd+由于p=，有即pA<pBA下滑到任意一点的动量总和是小于B平抛经过该点的动量b．以O为原点，建立直角坐标系xOy，x轴正方向水平向右，y轴正方向竖直向下，则对B有21\nx=v0t·y=gt2B的轨迹方程y=在M点x=y，所以y=③因为A、B的运动轨迹均为OD曲线，故在任意一点，两者速度方向相同。设B水平和竖直分速度大小分别为和，速率为vB；A水平和竖直分速度大小分别为和，速率为vA，则④B做平抛运动，故⑤对A由机械能守恒得vA=⑥由④⑤⑥得将③代入得21．如图所示，A、B两个小物体（可看成质点）的质量分别为2m、m，它们栓接在跨过定滑轮的细绳两端，细绳不可伸长，且能承受足够大的拉力。B物体悬吊着静止时，A也静止在地面上，A、B与定滑轮轮轴之间的竖直距离分别为2l、l。现将B物体竖直向上提高距离l，再将其从静止释放。每次细绳被拉直时A、B速度的大小立即变成相等，且速度方向相反，由于细绳被拉直的时间极短，此过程中重力的作用可以忽略不计。物体与地面接触时，速度立即变为0，直到再次被细绳拉起。细绳始终在滑轮上，且不计一切摩擦。重力加速度为g。求（1）细绳第一次被拉直瞬间绳对A冲量的大小；（2）A第一次上升过程距离地面的最大高度；（3）A运动的总路程。21\n【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）B做自由落体，下降高度为I时的速度为根据得此时细绳被拉直，A、B速度的大小立即变成设绳子对A、B的冲量大小为I，根据动量定理得对B，对A，解得细绳第一次被拉直瞬间绳对A冲量的大小（3）从A离开地面到A再次回到地面的过程中，A、B组成的系统机械能守恒21\n所以，A再次回到地面时速度的大小依然为即B再次回到距离地面高度为时速度的大小也为此后B做竖直上抛运动，落回距离地面高度为时速度的大小还是根据（1）求解可得A第二次离开地面时速度的大小同理可求A第二次离开地面上升的最大高度为A第次离开地面时速度的大小同理可求第次离开地面上升的最大高度为由于A的质量大于B的质量，A最终会静止在地面上所以A运动的总路程22．如图所示，在光滑水平面上有两个物块，质量分别为，物块右端栓接轻弹簧1。现用物块将固定在墙壁上的弹簧2缓慢压缩，当弹簧2的弹性势能为Ep时，释放物块。物块被弹簧2弹开后，碰到弹簧1（不粘连），由于比大得多，物块被反弹，并将在两弹簧之间往复运动。则从释放物块开始，在以后整个运动过程中，求：（1）弹簧1所能获得的最大弹性势能；（2）弹簧1对物块A的总冲量的最小值。【答案】（1）（2）【解析】（1）设滑块B第一次被弹簧2弹开时速度为。根据机械能守恒，得①21\n第一次A、B共速时速度为，根据动量守恒②A、B第一次共速时，弹簧弹性势能最大，设为，则③由①②③可解得：④（2）设滑块的最终速度分别为v1、v2，根据能量守恒，有⑤设弹簧1对滑块A是冲量为，对滑块A应用动量定理得：⑥当滑块B最终停止往复运动时应满足：⑦由⑤⑥⑦可得：21
