考点39轨迹与轨迹方程【考纲要求】正确理解曲线与方程的概念，会用解析几何的基本思想和坐标法研究几何问题，用方程的观点实现几何问题的代数化解决，并能根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程，常用方法有：直接法、定义法、待定系数法、相关点法、参数法等【命题规律】轨迹与轨迹方程高考题中在选择题或填空题中单独考查，在解答题中也会出现轨迹与轨迹方程的问题.【典型高考试题变式】（一）求点的轨迹方程例1.【2022新课标卷】设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足．（1）求点P的轨迹方程；（2）设点Q在直线上，且．证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．【分析】（1）设出点P的坐标，利用得到点P与点M坐标之间的关系即可求得轨迹方程为；（2）利用可得坐标之间的关系：，结合（1）中的结论整理可得，即，据此即可得出结论．（2）由题意知．设，10\n则，．由得，又由（1）知，故．所以，即．又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线过C的左焦点F．【名师点睛】求轨迹方程的常用方法：（1）直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F(x，y)＝0．（2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程．（3）定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．（4）代入(相关点)法：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而运动，常利用代入法求动点P(x，y)的轨迹方程．【变式1】【2022新课标卷】已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点．（1）若在线段上，是的中点，证明；（2）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.【解析】由题设.设，则，且.记过两点的直线为，则的方程为.10\n当与轴不垂直时，由可得.而，所以.当与轴垂直时，与重合，所以，所求轨迹方程为.【变式2】在平面直角坐标系中，已知A1(－，0)，A2(，0)，P(x，y)，M(x,1)，N(x，－2)，若实数λ使得λ2·＝·(O为坐标原点)．求P点的轨迹方程，并讨论P点的轨迹类型．【解析】＝(x,1)，＝(x，－2)，＝(x＋，y)，＝(x－，y)．∵λ2·＝·，∴(x2－2)λ2＝x2－2＋y2，整理得(1－λ2)x2＋y2＝2(1－λ2)．①当λ＝±1时，方程为y＝0，轨迹为一条直线；②当λ＝0时，方程为x2＋y2＝2，轨迹为圆；③当λ∈(－1,0)∪(0,1)时，方程为＋＝1，轨迹为中心在原点，焦点在x轴上的椭圆；④当λ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，方程为－＝1，轨迹为中心在原点，焦点在x轴上的双曲线．（二）求点的轨迹例2.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)，映射f将xOy平面上的点10\nP(x，y)对应到另一个平面直角坐标系uO′v上的点P′(2xy，x2－y2)，则当点P沿着折线ABC运动时，在映射f的作用下，动点P′的轨迹是( )【答案】D【解析】当P沿AB运动时，x＝1，设P′(x′，y′)，则(0≤y≤1)，∴y′＝1－(0≤x′≤2,0≤y′≤1)．当P沿BC运动时，y＝1，则(0≤x≤1)，∴y′＝－1(0≤x′≤2，－1≤y′≤0)，由此可知P′的轨迹如D所示，故选D.【名师点津】轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，前者指曲线的形状、位置、大小等特征，后者指方程(包括范围)．【变式1】已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别是(0，－1)，(0，1)，且AC，BC所在直线的斜率之积等于m(m≠0)．求顶点C的轨迹E的方程，并判断轨迹E为何种圆锥曲线．【数学思想】①数形结合思想．②分类讨论思想．③转化与化归思想.【温馨提示】区分“求轨迹”与“求轨迹方程”的不同.一般来说，若遇“求轨迹方程”，求出方程就可以了；若是10\n“求轨迹”，求出方程还不够，还应指出方程所表示的曲线的类型，有时候，问题仅要求指出轨迹的形状，如果应用“定义法”求解，可不求轨迹方程．【典例试题演练】1.已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )A.－＝1B.＋＝1C.－＝1D.＋＝1【答案】D【解析】设圆M的半径为r，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16，∴M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且2a＝16,2c＝8，故所求的轨迹方程为＋＝1.2.已知点F(0,1)，直线l：y＝－1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且·＝·，则动点P的轨迹C的方程为( )A．x2＝4y B．y2＝3xC．x2＝2yD．y2＝4x【答案】A【解析】设点P(x，y)，则Q(x，－1)．∵·＝·，∴(0，y＋1)·(－x,2)＝(x，y－1)·(x，－2)，即2(y＋1)＝x2－2(y－1)，整理得x2＝4y，∴动点P的轨迹C的方程为x2＝4y.3.已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1,2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q点的轨迹方程是( )A．2x＋y＋1＝0B．2x－y－5＝0C．2x－y－1＝0D．2x－y＋5＝0【答案】D【解析】设Q(x，y)，则P为(－2－x,4－y)，代入2x－y＋3＝0得Q点的轨迹方程为2x－y＋5＝0.4.已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则动点P的轨迹是( )A．直线B．圆C．椭圆D．双曲线【答案】B【解析】设P(x，y)，则＝2，整理得x2＋y2－4x＝0，10\n又D2＋E2－4F＝16＞0，所以动点P的轨迹是圆．5.平面直角坐标系中，已知两点A(3，1)，B(－1，3)，若点C满足＝λ1＋λ2(O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是( )A．直线B．椭圆C．圆D．双曲线【答案】A【解析】设C(x，y)，因为＝λ1＋λ2，所以(x，y)＝λ1(3，1)＋λ2(－1，3)，即解得又λ1＋λ2＝1，所以＋＝1，即x＋2y＝5，所以点C的轨迹为直线，故选A.6.已知A，B为平面内两定点，过该平面内一动点M作直线AB的垂线，垂足为N.若2＝λ·，其中λ为常数，则动点M的轨迹不可能是( )A．圆 B．椭圆C．抛物线D．双曲线【答案】C10\n7.已知F1，F2分别为椭圆C：＋＝1的左，右焦点，点P为椭圆C上的动点，则△PF1F2的重心G的轨迹方程为( )A.＋＝1(y≠0) B.＋y2＝1(y≠0)C.＋3y2＝1(y≠0)D．x2＋＝1(y≠0)【答案】C【解析】依题意知F1(－1,0)，F2(1,0)，设P(x0，y0)，G(x，y)，则由三角形重心坐标关系可得即代入＋＝1得重心G的轨迹方程为＋3y2＝1(y≠0)．8.设双曲线－＝1(a>0，b>0)两焦点为F1，F2，点Q为双曲线上除顶点外的任一点，过焦点F1作∠F1QF2的平分线的垂线，垂足为P，则P点的轨迹是( )A.椭圆的一部分B.双曲线的一部分C.抛物线的一部分D.圆的一部分【答案】D【解析】设点Q在双曲线的右支上(如图)，延长QF2，交F1P的延长线于点M，连接OP，则有＝，P为F1M的中点，∴＝＝(－)＝(－)＝a，且P点不能落在x轴上，故P点的轨迹是圆的一部分.故选D.9.已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A为圆上任一点，且点N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是________．【答案】椭圆【解析】由题意可知|PM|＋|PN|＝|MA|＝6.又M(－2,0)，N(2,0)，∴动点P的轨迹是椭圆．10.【2022广东省湛江市模拟】已知圆，点，点为动点，以线段为直径的圆内切于圆，则动点的轨迹方程是______．【答案】10\n11.已知动点P(x，y)与两定点M(－1,0)，N(1,0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0)．则动点P的轨迹C的方程为____________________．【答案】x2－＝1(λ≠0，x≠±1)【解析】由题设知直线PM与PN的斜率存在且均不为零，所以kPM·kPN＝·＝λ，整理得x2－＝1(λ≠0，x≠±1)．即动点P的轨迹C的方程为x2－＝1(λ≠0，x≠±1)．12.在△ABC中，||＝4，△ABC的内切圆切BC于点D，且||－||＝2，则顶点A的轨迹方程为________．【答案】－＝1(x＞)【解析】以BC的中点为原点，中垂线为y轴建立如图所示的坐标系，E、F分别为两个切点．则|BE|＝|BD|，|CD|＝|CF|，|AE|＝|AF|.∴|AB|－|AC|＝2，∴点A的轨迹为以B，C为焦点的双曲线的右支(y≠0)，且a＝，c＝2，∴b＝，∴顶点A的轨迹方程为－＝1(x＞)．13.设A1，A2是椭圆＋＝1的长轴左、右顶点，P1，P2是垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2的交点P的轨迹方程为________.【答案】－＝1.【解析】设P(x，y)，P1(x1，y1)，P2(x1，－y1)，易求A1(－3，0)，A2(3，0)，10\n则直线A1P1的方程为y＝(x＋3)，①直线A2P2的方程为y＝(x－3)，②由①②得y2＝(x2－9).③∵点P1在椭圆上，∴＋＝1，得y＝－，即＝－.④把④代入③整理得－＝1，这就是点P的轨迹方程.14.平面内与两定点距离之比为定值的点的轨迹是________.【答案】圆15.【2022广西南宁、梧州联考】已知点的坐标为，，是抛物线上不同于原点的相异的两个动点，且.（1）求证：点共线；（2）若，当时，求动点的轨迹方程.10\n（2）由题意知，点是直角三角形斜边上的垂足，又定点在直线上，，（3）设动点，则，，又，所以，即，动点的轨迹方程为.10
