考点16：三角函数的图象与应用【考纲要求】（1）能画出，，的图像；（2）了解函数的物理意义；能画出的图像，了解参数对函数图像变化的影响；（3）了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题．【命题规律】三角函数的图象是高考考查的重点和热点内容，主要从以下两个方面进行考查：（1）三角函数图象变换问题以及由图象确定解析式问题，主要以选择题、填空题的形式考查；（2）利用三角函数的图象求解与三角函数有关的函数的零点、方程的根、图象的交点等问题，通常以选择题与填空题形式考查．预计2022年高考对三角函数图象的考查也主要体现在函数图象的识别与应用，会以客观题出现．【典型高考试题变式】（一）根据三角函数图象（或图象特征）确定解析式例1 【2022浙江】函数的图象是（ ）【答案】D【解析】因为为偶函数，所以它的图象关于轴对称，排除A、C选项；当，即时，，排除B选项，故选D．【方法技巧归纳】根据函数解析式判断函数的图象的方法：（1）从函数的定义域，判断图象左右的位置；从函数的值域，判断图象上下的位置；（2）从函数的单调性(有时可借助导数判断)，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；18\n（4）从函数的周期性，判断图象的循环往复；（5）从函数的极值点，判断图象的拐点．【变式1】【例题中解析式改变了】函数在区间上的简图是（ ）A B C D【答案】A【解析】将代入到函数解析式中得，可排除C，D；将代入到函数解析式中求出函数值为负数，可排除B，故选A．【变式2】【例题解析式改变了，且增加了一个参数，同时判断的问题也改变了】已知是实数，则函数的图象不可能是（ ）【答案】D（二）根据三角函数图象（或图象特征）确定解析式18\n例2 【2022新课标】函数的部分图像如图所示，则A． B． C． D．【答案】A【方法技巧归纳】根据函数的图象确定函数中的参数主要方法：（1），主要是根据图象的最高点或最低点的纵坐标确定，即，；（2）的值主要由周期的值确定，而的值的确定主要是根据图象的零点与最值点的横坐标确定；（3）值的确定主要是由图象的特殊点（通常优先取非零点）的坐标确定．【变式1】【例题给出的方式没有改变，解析式中增加了一个参数】如图所示，某地一天6~14时的温度变化曲线近似满足函数，则这段曲线的函数解析式可以为（ ）18\nA．， B．，C．， D．，【答案】A【变式2】【例题由直接给出图象改为由描述性给出图象特征，所求也适当有变化】若以函数的图象中相邻三个最值点为顶点的三角形是面积为1的直角三角形，则的值为（ ）A．1 B．2 C． D．【答案】C【解析】如图所示，由题意可得：，∴，则，，故选C．18\n（三）三角函数图象的变换例3 【2022新课标1】已知曲线：，：，则下面结论正确的是（ ）A．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线B．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线D．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线【答案】D【方法技巧归纳】在进行三角函数图象变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角”变化多少．“先平移，后伸缩”主要体现为由函数平移得到函数的图象时，平移个长度单位；“先伸缩，后平移”主要体现为由函数平移得到函数18\n的图象时，平移个长度单位．【变式1】【由例题确定平移过程改为了确定平移后的函数解析式】把函数的图象向左平移个单位，然后把图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标不变），则所得图形对应的函数解析式为（ ）A． B．C． D．【答案】B【解析】把函数的图象向左平移个单位,得到函数的图象，再把图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标不变），得到，故选B．【变式2】【例题中的一个函数的解析式改变为较复杂的解析式，变换过程改为一个】为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）A．向右平移个单位 B．向左平移个单位C．向右平移个单位 D．向左平移个单位【答案】D【解析】函数，将函数的图象向左平移个单位可得函数的图象，故选D．（四）三角函数图象的应用例4 【2022湖北】函数的零点个数为＿＿＿＿＿＿．【答案】218\n【解析】因为＝，所以函数的零点个数为函数与图象的交点的个数，函数与图象如图，由图知，两函数图象有2个交点，所以函数有2个零点．【方法技巧归纳】利用函数图象处理函数的零点（方程根）主要有两种策略：（1）确定函数零点的个数：利用图象研究与轴的交点个数或转化成两个函数图象的交点个数定性判断；（2）已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围：通常也转化为两个新函数的交点，即在同一坐标系中作出两个函数的图象，通过观察它们交点的位置特征建立关于参数的不等式来求解．【变式1】【将例题中求函数的零点个数改为求函数的零点之和】函数＋所有零点之和为（ ）A． B． C． D．【答案】B18\n【变式2】【将例题中求零点个数改为求根据零点个数求参数的取值范围】9．若函数的图象至少有12个零点点，则的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】与都是偶函数，所以是偶函数，只需时，有至少个零点，即可画出时，函数的图象与的图象，如图，由图可知，,即的取值范围是，故选D．【数学思想】1．转化与化归的思想在三角函数图象中主要体现在当平移前与平移后的函数名称不一致时，常常要利用诱导公式将它们转化为同名函数；研究三角函数的零点时，常常转化为三角方程来求解．2．数形结合的思想18\n研究与三角函数有关的零点、方程的根、图象的交点问题时，通常要将其转化为两个新函数的交点，通过作出它们的图象来解决；求不常规的三角函数的单调性区间可利用图象来解决．3．分类讨论思想遇到画形如的图象中时，如果解析式中的有符号不确定的字母参数时，常常要分类作其可能的图象来研究问题．【处理三角函数图象问题注意点】1．五点作图法画图列表时要注意借助于整体代换思想的应用，特别是作已知区间上的图象时，注意确定起始点与终止点．2．图象变换中，注意区分两种变换方式：“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”在平移单位的确定上的差异；同时在坐标伸缩上的也须注意确定其倍数．3．根据函数的图象求函数的解析式时，注意确定三角函数的零点、最值点与函数的周期的关系，特别是求初相时，要尽量取非零点来确定．4．注意正切函数的图象的对称性，正切函数只有对称中点，没有对称称，且不要误认为正切函数的对称中心为函数的零点．【典例试题演练】1．函数在区间上的简图是（ ）A．B．C．D．【答案】A【解析】将代入到函数解析式中得，可排除C，D；将18\n代入到函数解析式中求出函数值为负数，可排除B，C，故选A．2．【2022届湖南省长沙市高三上学期统一模拟】图像上相邻的最高点和最低点之间的距离是（ ）A． B． C．2 D．【答案】A【解析】函数的周期，相邻最高点和最低点的横坐标间的距离为，根据勾股定理最高点和最低点之间的距离为，故选A．3．【2022届阜阳市高三3月模拟考】要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）A．向左平移个单位 B．向左平移个单位C．向右平移个单位 D．向右平移个单位【答案】C【解析】由题意得，，因此只需要将函数的图象向右平移个单位即可得到函数的图象，故选C．4．【山西省运城市2022届高三4月模拟调研】函数的部分图像如图，则（ ）18\nA．1 B． C． D．【答案】B【解析】由函数图像可知周期，所以，观察图像可知，所以，故选B．5．要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A．向左平行移动个单位长度B．向左平行移动个单位长度C．向右平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度【答案】A【解析】,故选A．6．【江西省抚州市临川区第一中学2022届高三4月模拟】定义函数，则的最小值为（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据题中定义的函数可知，则该函数图像如下图，由图可知函数的最小值为，故选C．7．【安徽省合肥市2022届高三调研性检测】已知函数18\n的图象向右平移个单位后，所得的图象关于轴对称，则的最小正值为（ ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B8．【江西省新余市第一中学2022届高三高考全真模拟】已知函数)的图象在区间上恰有3个最高点，则的取值范围为（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为函数)的图象在区间上恰有3个最高点，所以函数)的图象在区间上至少有两个周期加八分之一周期,少于三个周期加八分之一周期，所以，所以，故选C．9．【江西师范大学附属中学2022届高三第三次模拟】已知函数的图像的一个最高点坐标为，相邻的对称轴与对称中心间的距离为2，则下列结论正确的是（）A．的图像关于中心对称 B．的图像关于直线对称C．在区间上单调递增 D．18\n【答案】D10．【2022届淮北市高三第二次模拟】已知函数，其部分图像如下图，则函数的解析式为（ ）A． B．C． D．【答案】B【解析】由图知,，∴，∴，∴．因为，所以，故选B．11．【黑龙江省大庆实验中学2022届高三考前得分训练（一）】设函数，若方程恰好有三个根，分别为，， （），则的值为（ ）A． B． C． D．【答案】C18\n【解析】画出该函数的图象如图，当时方程恰好有三个根，且点和关于直线对称，点和关于直线对称，所以，，从而．故选C．12．【安徽省亳州市二中2022届高三下学期教学质量检测】已知函数，其图象与直线相邻两个交点的距离为，若对恒成立，则的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】令，得到，即的图像和相邻两个交点的距离为，故，，所以根据题意，若恒成立，即，所以当时，，当时，，所以，结合选项，当时，，故选D．13．【湖南省衡阳市2022届高三下学期第三次联考】函数的所有零点之和为（ ）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D18\n14．【广西省陆川中学2022届高三下学期期中】已知，在函数与的图象的交点中，相邻两个交点的横坐标之差的绝对值为，则__________．【答案】【解析】令，则，由题意，得的两个相邻解相差2，则，解得．15．【河南省2022届普通高中高三4月教学质量监测】已知函数的部分图象如图所示，其中（点为图象的一个最高点），则函数=___________．18\n【答案】【解析】，故，故，将点代入可得，故，∵，∴．16．【河北省武邑中学2022届高三下学期第四次模拟】设，将函数的图象向右平移个单位后与原图象重合，则的最小值是_________．【答案】【解析】因为将函数的图象向右平移个单位后与原图象重合，所以函数的周期T=满足:，当时,取得最小值为．17．函数()的部分图象如上图所示，其中两点之间的距离为，则___________．【答案】【解析】由题意可设之间的水平距离为，则由题意可得，解得，故函数的周期，解得．18．【天津市河东区2022届高三二模】已知，在函数与18\n的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为，则值为__________．【答案】【解析】由，得交点坐标为为整数），因为在函数与的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为，．19．已知函数和函数的图像相交于三点，则的面积为__________．【答案】20．【2022届吉林省实验中学高三上学期二模】已知的定义域为的偶函数，当时，若关于的方程（，）有且仅有6个不同的实数根，在实数的取值范围是＿＿＿＿＿＿．【答案】【解析】如图所示，因为是定义域为的偶函数，则18\n，依题意在和上递增，在和上递减，当时，函数取得极大值；当时，取得极小值0．要使关于的方程（，）有且仅有6个不同的实数根．设则必有两个根则有两种情况符合题意：（1），且），此时则（2）此时同理可得综上可得的范围是．18
