考点十一：导数与函数的单调性【考纲要求】（1）了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.（2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）.【命题规律】利用导数研究函数的单调性是高考的热点问题，常常会考查利用导数研究含参函数的单调性，极值.预计2022年的高考将会在大题中考查利用导数研究函数单调性的问题，命题形式会更加灵活、新颖．【典型高考试题变式】（一）原函数与其导函数的图像问题例1.【2022浙江高考】函数的导函数的图像如图所示，则函数的图像可能是（）.【答案】D【解析】导数大于零，原函数递增，导数小于零，原函数递减，对照导函数图像和原函数图像.故选D．【方法技巧归纳】在内可导函数，在任意子区间内都不恒等于0.在上为增函数．在上为减函数．17\n且导函数单调性可以判原函数图像的凹凸性：若大于0且递增，则原函数图像递增且下凹；若大于0且递减，则原函数图像递增且上凸.【变式1】【改编例题中条件，通过原函数的性质判断导函数的图像】【2022河北内丘中学8月月考（理）】设函数的导函数为，若为偶函数，且在上存在极大值，则的图象可能为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】根据题意,若f(x)为偶函数,则其导数f′(x)为奇函数，结合函数图象可以排除B.D，又由函数f(x)在(0,1)上存在极大值,则其导数图象在(0,1)上存在零点，且零点左侧导数值符号为正，右侧导数值符号为负，结合选项可以排除A，只有C选项符合题意；本题选择C选项.【变式2】【改编例题中条件，给定解析式，判断其导函数的图像】【2022陕西渭南市二质检】函数，则的大致图象是（）A.B.C.D.17\n【答案】B（二）用导数求不含参数的单调区间例2.【2022全国2卷（文）】设函数.（1）讨论的单调性.【答案】在区间，是减函数，在区间是增函数.【解析】（1），令得，解得，，所以在区间，是减函数，在区间是增函数.【方法技巧归纳】利用导数求不含参数的单调性容易出错的地方就是：求导，求解不等式，写出单调区间.单调性相同的两个区间一般要用“和”或“，”连接，不能用“或”或“”.【变式1】【改编函数条件，函数中含分式】【2022全国2卷（理）】（1）讨论函数的单调性，并证明当时，【答案】在上单调递增，在上单调递减.17\n（三）用导数求含参函数的单调区间例3.【2022全国1卷（理）】已知函数.（1）讨论的单调性；【答案】见解析【解析】（1）由于，故.当时，，．从而恒成立．在上单调递减.当时，令，从而，得．极小值综上，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.【方法技巧归纳】1.求函数的单调区间方法一：①确定函数的定义域；②求导数；③解不等式，解集在定义域内的部分为单调递增区间；④解不等式，解集在定义域内的部分为单调递减区间．2.求函数的单调区间方法二：①确定函数的定义域；②求导数，令f′(x)＝0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；③把函数的间断点(即的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间；④确定在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性．17\n【变式1】【例题中函数变为求导函数的“主导”函数为二次函数型】【2022全国3卷（文）改编】已知函数．（1）讨论的单调性；【答案】见解析【变式2】【例题中函数变为求导函数的“主导”函数为类二次函数型】【2022全国1卷（文）改编】已知函数.（Ⅰ）讨论的单调性；【答案】（Ⅰ）见解析；【解析】试题分析：（Ⅰ）先求得再根据1,0,2a的大小进行分类确定的单调性；试题解析：（Ⅰ）（Ⅰ）设，则当时，；当时，.所以f（x）在单调递减，在单调递增.【变式3】【例题中函数变为求导函数的“主导”函数为指对数型函数】【2022天津卷（理）改编】已知函数，其中.（Ⅰ）讨论的单调性；【答案】（Ⅰ）当为奇数时，在，上单调递减，在内单调递增；当为偶数时，在上单调递增，在上单调递减.17\n【解析】（Ⅰ）由，可得，其中且，下面分两种情况讨论：（1）当为奇数时：令，解得或，当变化时，的变化情况如下表：所以，在，上单调递减，在内单调递增.（2）当为偶数时，当，即时，函数单调递增；当，即时，函数单调递减.所以，在上单调递增，在上单调递减.【变式4】【例题中函数变为求导函数的“主导”函数需要二次求导型】【2022北京卷（理）】设函数，曲线在点处的切线方程为.（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）求的单调区间.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】试题分析：（Ⅰ）根据题意求出，根据求a,b的值即可；（Ⅱ）由题意判断的符号，即判断的单调性，知g(x)>0，即>0，由此求得f(x)的单调区间.17\n（Ⅱ）由（Ⅰ）知.由及知，与同号.令，则.所以，当时，，在区间上单调递减；当时，，在区间上单调递增.故是在区间上的最小值，从而.综上可知，，.故的单调递增区间为.【数学思想】分类讨论思想1.分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法，这种思想在简化研究对象，发展思维方面起着重要作用，因此，有关分类讨论的思想的数学命题在高考试题中占有重要地位. 所谓分类讨论，就是在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”．2.分类讨论思想的常见类型 ⑴问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的； ⑵问题中的条件是分类给出的； ⑶解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的； ⑷涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的.17\n【处理导数与单调性问题注意点】解答此类问题，应该首先确定函数的定义域，否则，写出的单调区间易出错；另外，函数的单调区间不能出现“并”的错误写法.【典例试题演练】1．【2022河南郑州一中测试题】如果函数在区间上是增函数，而函数在区间上是减函数，那么称函数是区间上“缓增函数”，区间叫做“缓增区间”.若函数是区间上“缓增函数”，则“缓增区间”为()A.B.C.D.【答案】D【解析】因，故，解之得，应选答案D.2．【2022河南南阳一中上学期第二次考试（文）】已知函数，则函数的单调递增区间是__________．【答案】和3．【2022辽宁沈阳市东北育才学校上学期一模（文）改编】已知函数，（为自然对数的底数）.17\n(Ⅰ)讨论的单调性；【答案】（Ⅰ）当时，在上为减函数；当时，则在上为减函数；在上为增函数；【解析】(Ⅰ)，令；①时，则（当且仅当时取等号）在上为减函数；②当时，则在上为减函数；在上为增函数；4．【2022陕西省西安市长安区第一中学4月模考（理）】已知函数，，其中函数的图象在点处的切线平行于轴．（1）确定与的关系；若，并试讨论函数的单调性；（2）设斜率为的直线与函数的图象交于两点，求证：．【答案】(1)，单调性见解析；(2)证明见解析.【解析】试题分析：(1)求导，利用导数的几何意义确定与的关系，再利用导函数的符号变换和分类讨论思想确定函数的单调性；(2)先利用直线的斜率公式确定不等关系，再构造函数，利用导数求函数的最值即可求解.试题解析：（1），，由题意得，；，①当时，，当时，，函数在单调减；17\n当时，，函数在单调增；④当时．即，，函数在单调减区间；函数在和单调增；（2）由题设，①令，则，时，，函数在是减函数，而，时，，，，即，②17\n令，则，时，，在是增函数，时，，，即③由①②③得．5．【2022陕西省西安市铁一中学高三上学期第五次模拟考试（理）】已知函数，其中常数.（Ⅰ）讨论在上的单调性；【答案】（Ⅰ）见解析;【解析】试题分析：（1）求导数，对分类讨论，利用导数的正负，即可得到在区间上的单调性；试题解析：（Ⅰ）由已知得，的定义域为，且，①当时，，且，所以时，；时，.所以，函数在上是减函数，在上是增函数；②当时，，在区间内恒成立，所以在上是减函数；③当时，，所以时，；时，17\n所以函数在上是减函数，在上是增函数.6．函数.（Ⅰ）讨论的单调性；【答案】（Ⅰ）当时，时，单调递减；当时，单调递增；当时，时，单调递增；当时，单调递减；【解析】试题分析：（1）求出，讨论两种情况分别令可得增区间，可得得减区间；7．【2022河北省石家庄二中八月高三模拟数学（文科）】已知函数.（Ⅰ）若，讨论的单调性；【答案】（Ⅰ）当时，的减区间是，无增区间，当时，的增区间是，减区间是，当时，17\n的增区间是，减区间是.【解析】（Ⅰ）的定义域为，当时，，（ⅲ）若，即，时，，是增函数，时，，是减函数，时，，是减函数；综上可得，当时，的减区间是，无增区间，当时，的增区间是，减区间是，当时，的增区间是，减区间是.8．【2022湖北省浠水县实验高级中学测试题（文）】已知函数，其中常数.17\n（1）当时，求的极大值；（2）试讨论在区间上的单调性.【答案】（1）；（2）当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.【解析】试题分析：（1）借助题设条件将代入函数解析式可得，进而求导，运用导数与函数的单调性之间的关系求解；（2）先对函数求导，再借助分类整合思想及导数与函数的单调性之间的关系进行分类求其单调区间：（2），当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减；17\n当时，在上单调递减，在上单调递增.9．【2022湖北省浠水县实验高级中学测试题（文）】已知函数.（Ⅰ）讨论的单调性；【答案】（Ⅰ）见解析；【解析】试题分析：（Ⅰ）求出的定义域为，求导数，若，若，判断导函数的符号，然后推出函数的单调性；试题解析：（Ⅰ）的定义域为，求导数，得.若，则，此时在上单调递增，若，则由，得.当时，；但时，，此时在上单调递减，在上单调递增.10．【2022河北省唐山市三模（理）改编】已知函数，.（1）讨论函数的单调性；【答案】（Ⅰ）见解析【解析】试题分析：（Ⅰ）求导得，分，，，三种情况讨论可得单调区间.试题解析：（Ⅰ），，令，，若，即，则，当时，，单调递增，17\n若，即，则，仅当时，等号成立，当时，，单调递增.若，即，则有两个零点，，由，得，当时，，，单调递增；当时，，，单调递减；当时，，，单调递增.综上所述，当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减.11．【2022河北省武邑中学第一次月考（理）改编】已知函数（，为自然对数的底数）.（1）讨论函数的单调性；【答案】（1）见解析【解析】试题分析：（1）求函数的导数通过和两种情况分类讨论，分别判断函数的单调性．17\n12．【2022湖南省岳阳市一中第一次月考（理）改编】已知函数.（1）讨论的单调性；【答案】(1)当时，在上单调递减；当，的单调递增区间为；单调递减区间是和；当，的单调递增区间为，单调递减区间是和；【解析】试题分析：（1）求出的导数，通过的讨论，分别令得增区间，得减区间；试题解析：（1），，①当时，，∴在上单调递减；②当，由解得，∴的单调递增区间为，单调递减区间是和；③当，同理可得的单调递增区间为，单调递减区间是和.17
