三角函数C1 角的概念及任意的三角函数 14．C1，C2，C6[2022·四川卷]设sin2α＝－sinα，α∈，π，则tan2α的值是________．14. [解析]方法一：由已知sin2α＝－sinα，即2sinαcosα＝－sinα，又α∈，故sinα≠0，于是cosα＝－，进而sinα＝，于是tanα＝－，所以tan2α＝＝＝.方法二：同上得cosα＝－，又α∈，可得α＝，所以tan2α＝tan＝.C2 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 2．C2[2022·全国卷]已知α是第二象限角，sinα＝，则cosα＝( )A．－B．－C.D.2．A [解析]cosα＝－＝－.16．C2，C5[2022·广东卷]已知函数f(x)＝cos，x∈R.(1)求f的值；(2)若cosθ＝，θ∈，求f.16．解：14．C1，C2，C6[2022·四川卷]设sin2α＝－sinα，α∈，π，则tan2α的值是________．14. [解析]方法一：由已知sin2α＝－sinα，即2sinαcosα＝－sinα，又α∈，故sinα≠0，于是cosα＝－，进而sinα＝，于是tanα＝－，所以tan2α＝＝＝.方法二：同上得cosα＝－，又α∈，可得α＝，所以tan2α＝tan＝.-23-\nC3 三角函数的图像与性质 1．C3[2022·江苏卷]函数y＝3sin的最小正周期为________．1．π [解析]周期为T＝＝π.17．C3[2022·辽宁卷]设向量a＝(sinx，sinx)，b＝(cosx，sinx)，x∈0，.(1)若|a|＝|b|，求x的值；(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．17．解：(1)由|a|2＝(sinx)2＋(sinx)2＝4sin2x，|b|2＝(cosx)2＋(sinx)2＝1.及|a|＝|b|，得4sin2x＝1.又x∈0，，从而sinx＝，所以x＝.(2)f(x)＝a·b＝sinx·cosx＋sin2x＝sin2x－cos2x＋＝sin2x－＋，当x＝∈0，时，sin2x－取最大值1.所以f(x)的最大值为.9．C3[2022·山东卷]函数y＝xcosx＋sinx的图像大致为( )图1－39．D [解析]∵f(－x)＝－xcos(－x)＋sin(－x)＝－(xcosx＋sinx)＝－f(x)，∴y＝xcosx＋sinx为奇函数，图像关于原点对称，排除选项B，当x＝，y＝1>0，x＝π，y＝－π<0，故选D.16．C3、C5、C9[2022·新课标全国卷Ⅰ]设当x＝θ时，函数f(x)＝sinx－2cosx取得最大值，则cosθ＝________．16．－ [解析]f(x)＝sinx－2cosx＝，令cosα＝，sinα＝，则f(x)＝sin(x－α)．当θ－α＝2kπ＋，即θ＝2kπ＋＋α(上述k为整数)时，-23-\nf(x)取得最大值，此时cosθ＝－sinα＝－.C4 函数 的图象与性质 16．C4[2022·安徽卷]设函数f(x)＝sinx＋sin.(1)求f(x)的最小值，并求使f(x)取最小值的x的集合；(2)不画图，说明函数y＝f(x)的图像可由y＝sinx的图像经过怎样的变化得到．16．解：(1)因为f(x)＝sinx＋sinx＋cosx＝sinx＋cosx＝sinx＋，所以当x＋＝2kπ－(k∈Z)，即x＝2kπ－(k∈Z)时，f(x)取得最小值－.此时x的取值集合为xx＝2kπ－，k∈Z.(2)先将y＝sinx的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的倍(横坐标不变)，得y＝sinx的图像；再将y＝sinx的图像上所有的点向左平移个单位，得y＝f(x)的图像．15．C4，C5，C6，C7[2022·北京卷]已知函数f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋cos4x.(1)求f(x)的最小正周期及最大值；(2)若α∈，且f(α)＝，求α的值．15．解：(1)因为f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋cos4x＝cos2x·sin2x＋cos4x＝(sin4x＋cos4x)＝sin，所以f(x)的最小正周期为，最大值为.(2)因为f(α)＝，所以sin＝1.因为α∈，所以4α＋∈.所以4α＋＝.故α＝.9．C4[2022·全国卷]若函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的部分图像如图1－1所示，则ω＝( )-23-\n图1－1A．5B．4C．3D．29．B [解析]根据对称性可得为已知函数的半个周期，所以＝2×，解得ω＝4.9．C4[2022·福建卷]将函数f(x)＝sin(2x＋θ)的图像向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g(x)的图像．若f(x)，g(x)的图像都经过点P，则φ的值可以是( )A.B.C.D.9．B [解析]g(x)＝f(x－φ)＝sin[2(x－φ)＋θ]，由sinθ＝，－<θ<，得θ＝，又sin(θ－2φ)＝，结合选项，知φ的一个值为，故选B.6．C4[2022·湖北卷]将函数y＝cosx＋sinx(x∈R)的图像向左平移m(m＞0)个单位长度后，所得到的图像关于y轴对称，则m的最小值是( )A.B.C.D.6．B [解析]结合选项，将函数y＝cosx＋sinx＝2sin的图像向左平移个单位得到y＝2sin＝2cosx，它的图像关于y轴对称，选B.13．C4[2022·江西卷]设f(x)＝sin3x＋cos3x，若对任意实数x都有|f(x)|≤a，则实数a的取值范围是________．13．a≥2 [解析]|f(x)|max＝2，则a≥2.16．C4[2022·新课标全国卷Ⅱ]函数y＝cos(2x＋φ)(－π≤φ＜π)的图像向右平移个单位后，与函数y＝sin的图像重合，则φ＝________.16. [解析]由已知，y＝cos(2x＋φ)的图像向右平移得到y＝cos(2x－π＋φ)＝－cos(2x＋φ)．y＝sin＝－cos＝－cos-23-\n，两个函数图像重合，故φ＝π.18．C4，C7[2022·山东卷]设函数f(x)＝－sin2ωx－sinωxcosωx(ω>0)，且y＝f(x)图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为.(1)求ω的值；(2)求f(x)在区间π，上的最大值和最小值．18．解：(1)f(x)＝－sin2ωx－sinωxcosωx＝－·－sin2ωx＝cos2ωx－sin2ωx＝－sin.因为图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，又ω＞0，所以＝4×.因此ω＝1.(2)由(1)知f(x)＝－sin.当π≤x≤时，≤2x－≤.所以－≤sin≤1.因此－1≤f(x)≤.故f(x)在区间上的最大值和最小值分别为，－1.6．C4[2022·天津卷]函数f(x)＝sin2x－在区间0，上的最小值为( )A．－1B．－C.D．06．B [解析]∵x∈，∴2x－∈，当2x－＝－时，f(x)有最小值－.-23-\n图1－36．C4[2022·四川卷]函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)ω>0，－<φ<的部分图像如图1－3所示，则ω，φ的值分别是( )A．2，－B．2，－C．4，－D．4，6．A [解析]由半周期＝－＝，可知周期T＝π，从而ω＝2，于是f(x)＝2sin(2x＋φ)．当x＝时，f＝2，即sin＝1，于是＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，因为－<φ<，取k＝0，得φ＝－.16．F3，C4[2022·陕西卷]已知向量a＝，b＝(sinx，cos2x)，x∈R，设函数f(x)＝a·b.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在上的最大值和最小值．16．解：f(x)＝·(sinx，cos2x)＝cosxsinx－cos2x＝sin2x－cos2x＝cossin2x－sincos2x＝sin.(1)f(x)的最小正周期为T＝＝＝π，即函数f(x)的最小正周期为π.(2)∵0≤x≤，∴－≤2x－≤.由正弦函数的性质，当2x－＝，即x＝时，f(x)取得最大值1.当2x－＝－，即x＝0时，f(0)＝－，-23-\n当2x－＝π，即x＝时，f＝，∴f(x)的最小值为－.因此，f(x)在0，上最大值是1，最小值是－.6．C4[2022·浙江卷]函数f(x)＝sinxcosx＋cos2x的最小正周期和振幅分别是( )A．π，1B．π，2C．2π，1D．2π，26．A [解析]f(x)＝sin2x＋cos2x＝sin2x＋，则最小正周期为π；振幅为1，所以选择A.C5 两角和与差的正弦、余弦、正切 15．C4，C5，C6，C7[2022·北京卷]已知函数f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋cos4x.(1)求f(x)的最小正周期及最大值；(2)若α∈，且f(α)＝，求α的值．15．解：(1)因为f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋cos4x＝cos2x·sin2x＋cos4x＝(sin4x＋cos4x)＝sin，所以f(x)的最小正周期为，最大值为.(2)因为f(α)＝，所以sin＝1.因为α∈，所以4α＋∈.所以4α＋＝.故α＝.16．C2，C5[2022·广东卷]已知函数f(x)＝cos，x∈R.(1)求f的值；-23-\n(2)若cosθ＝，θ∈，求f.16．解：3．C5[2022·江西卷]若sin＝，则cosα＝( )A．－B．－C.D.3．C [解析]cosα＝1－2sin2＝，故选C.17．C5，C8，F1[2022·四川卷]在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos(A－B)cosB－sin(A－B)sin(A＋C)＝－.(1)求sinA的值；(2)若a＝4，b＝5，求向量在方向上的投影．17．解：(1)由cos(A－B)cosB－sin(A－B)sin(A＋C)＝－，得cos(A－B)cosB－sin(A－B)sinB＝－.则cos(A－B＋B)＝－，即cosA＝－.又0<A<π，则sinA＝.(2)由正弦定理，有＝，所以，sinB＝＝.由题知a>b，则A>B，故B＝.根据余弦定理，有(4)2＝52＋c2－2×5c×，解得c＝1或c＝－7(负值舍去)．故向量在方向上的投影为||cosB＝.16．C3、C5、C9[2022·新课标全国卷Ⅰ]设当x＝θ时，函数f(x)＝sinx－2cosx取得最大值，则cosθ＝________．16．－ [解析]f(x)＝sinx－2cosx＝，令cosα＝，sinα＝，-23-\n则f(x)＝sin(x－α)．当θ－α＝2kπ＋，即θ＝2kπ＋＋α(上述k为整数)时，f(x)取得最大值，此时cosθ＝－sinα＝－.18．C5和C8[2022·重庆卷]在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＝b2＋c2＋bc.(1)求A；(2)设a＝，S为△ABC的面积，求S＋3cosBcosC的最大值，并指出此时B的值．18．解：(1)由余弦定理得cosA＝＝＝－.又因为0<A<π，所以A＝.(2)由(1)得sinA＝，又由正弦定理及a＝得S＝bcsinA＝··asinC＝3sinBsinC，因此，S＋3cosBcosC＝3(sinBsinC＋cosBcosC)＝3cos(B－C)．所以，当B＝C，即B＝＝时，S＋3cosBcosC取最大值3.C6 二倍角公式 15．C4，C5，C6，C7[2022·北京卷]已知函数f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋cos4x.(1)求f(x)的最小正周期及最大值；(2)若α∈，且f(α)＝，求α的值．15．解：(1)因为f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋cos4x＝cos2x·sin2x＋cos4x＝(sin4x＋cos4x)＝sin，所以f(x)的最小正周期为，最大值为.(2)因为f(α)＝，所以sin＝1.-23-\n因为α∈，所以4α＋∈.所以4α＋＝.故α＝.6．C6[2022·新课标全国卷Ⅱ]已知sin2α＝，则cos2＝( )A.B.C.D.6．A [解析]cos2＝＝＝，故选A.14．C1，C2，C6[2022·四川卷]设sin2α＝－sinα，α∈，π，则tan2α的值是________．14. [解析]方法一：由已知sin2α＝－sinα，即2sinαcosα＝－sinα，又α∈，故sinα≠0，于是cosα＝－，进而sinα＝，于是tanα＝－，所以tan2α＝＝＝.方法二：同上得cosα＝－，又α∈，可得α＝，所以tan2α＝tan＝.15．C6、E1和E3[2022·重庆卷]设0≤α≤π，不等式8x2－(8sinα)x＋cos2α≥0对x∈R恒成立，则α的取值范围为________．15.∪ [解析]根据二次函数的图像可得Δ＝(8sinα)2－4×8cos2α≤0，即2sin2α－cos2α≤0，转化为2sin2α－(1－2sin2α)≤0，即4sin2α≤1，即－≤sinα≤.因为0≤α≤π，故α∈∪.C7 三角函数的求值、化简与证明 15．C4，C5，C6，C7[2022·北京卷]已知函数f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋cos4x.(1)求f(x)的最小正周期及最大值；(2)若α∈，且f(α)＝，求α的值．15．解：(1)因为f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋cos4x-23-\n＝cos2x·sin2x＋cos4x＝(sin4x＋cos4x)＝sin，所以f(x)的最小正周期为，最大值为.(2)因为f(α)＝，所以sin＝1.因为α∈，所以4α＋∈.所以4α＋＝.故α＝.18．C7、C8[2022·全国卷]设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac.(1)求B；(2)若sinAsinC＝，求C.18．解：(1)因为(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac，所以a2＋c2－b2＝－ac.由余弦定理得cosB＝＝－，因此B＝120°.(2)由(1)知A＋C＝60°，所以cos(A－C)＝cosAcosC＋sinAsinC＝cosAcosC－sinAsinC＋2sinAsinC＝cos(A＋C)＋2sinAsinC＝＋2×＝，故A－C＝30°或A－C＝－30°，因此C＝15°或C＝45°.18．C4，C7[2022·山东卷]设函数f(x)＝－sin2ωx－sinωxcosωx(ω>0)，且y＝f(x)图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为.(1)求ω的值；(2)求f(x)在区间π，上的最大值和最小值．18．解：(1)f(x)＝－sin2ωx－sinωxcosωx-23-\n＝－·－sin2ωx＝cos2ωx－sin2ωx＝－sin.因为图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，又ω＞0，所以＝4×.因此ω＝1.(2)由(1)知f(x)＝－sin.当π≤x≤时，≤2x－≤.所以－≤sin≤1.因此－1≤f(x)≤.故f(x)在区间上的最大值和最小值分别为，－1.16．C7，C8[2022·天津卷]在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知bsinA＝3csinB，a＝3，cosB＝.(1)求b的值；(2)求sin2B－的值．16．解：(1)在△ABC中，由＝，可得bsinA＝asinB，又由bsinA＝3csinB，可得a＝3c，又a＝3，故c＝1.由b2＝a2＋c2－2accosB，cosB＝，可得b＝.(2)由cosB＝，得sinB＝，进而得cos2B＝2cos2B－1＝－，sin2B＝2sinBcosB＝.所以sin2B－＝sin2Bcos－cos2Bsin＝.C8 解三角形 -23-\n9．C8[2022·安徽卷]设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b＋c＝2a，3sinA＝5sinB，则角C＝( )A.B.C.D.9．B [解析]根据正弦定理，3sinA＝5sinB可化为3a＝5b，又b＋c＝2a，解得b＝，c＝.令a＝5t(t>0)，则b＝3t，c＝7t，在△ABC中，由余弦定理得cosC＝＝＝－，所以C＝.5．C8[2022·北京卷]在△ABC中，a＝3，b＝5，sinA＝，则sinB＝( )A.B.C.D．15．B [解析]由正弦定理得＝，即＝，解得sinB＝.18．C7、C8[2022·全国卷]设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac.(1)求B；(2)若sinAsinC＝，求C.18．解：(1)因为(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac，所以a2＋c2－b2＝－ac.由余弦定理得cosB＝＝－，因此B＝120°.(2)由(1)知A＋C＝60°，所以cos(A－C)＝cosAcosC＋sinAsinC＝cosAcosC－sinAsinC＋2sinAsinC＝cos(A＋C)＋2sinAsinC＝＋2×＝，故A－C＝30°或A－C＝－30°，因此C＝15°或C＝45°.21．C8，C9[2022·福建卷]如图1－6，在等腰直角△OPQ中，∠POQ＝90°，OP＝2，点M在线段PQ上．(1)若OM＝，求PM的长；-23-\n(2)若点N在线段MQ上，且∠MON＝30°，问：当∠POM取何值时，△OMN的面积最小？并求出面积的最小值．图1－621．解：(1)在△OMP中，∠OPM＝45°，OM＝，OP＝2，由余弦定理得，OM2＝OP2＋MP2－2OP·MP·cos45°，得MP2－4MP＋3＝0，解得MP＝1或MP＝3.(2)设∠POM＝α，0°≤α≤60°，在△OMP中，由正弦定理，得＝，所以OM＝，同理ON＝.故S△OMN＝OM·ON·sin∠MON＝×＝＝＝＝＝＝.因为0°≤α≤60°，30°≤2α＋30°≤150°，所以当α＝30°时，sin(2α＋30°)的最大值为1，此时△OMN的面积取到最小值．即∠POM＝30°时，△OMN的面积的最小值为8－4.18．C8[2022·湖北卷]在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c.已知cos2A－3cos(B＋C)＝1.(1)求角A的大小；(2)若△ABC的面积S＝5，b＝5，求sinBsinC的值．-23-\n18．解：(1)由cos2A－3cos(B＋C)＝1，得2cos2A＋3cosA－2＝0，即(2cosA－1)(cosA＋2)＝0，解得cosA＝或cosA＝－2(舍去)．因为0＜A＜π，所以A＝.(2)由S＝bcsinA＝bc·＝bc＝5，得bc＝20，又b＝5，知c＝4.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc·cosA＝25＋16－20＝21，故a＝.又由正弦定理得sinBsinC＝sinA·sinA＝sin2A＝×＝.5．C8[2022·湖南卷]在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asinB＝b，则角A等于( )A.B.C.D.5．A [解析]由正弦定理可得2sinAsinB＝sinB．又sinB≠0，所以sinA＝.因为A为锐角，故A＝，选A.17．C8[2022·江西卷]在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinAsinB＋sinBsinC＋cos2B＝1.(1)求证：a，b，c成等差数列；(2)若C＝，求的值．17．解：(1)证明：由题意得sinAsinB＋sinBsinC＝2sin2B，因为sinB≠0，所以sinA＋sinC＝2sinB，由正弦定理，有a＋c＝2b，即a，b，c成等差数列．(2)由C＝，c＝2b－a及余弦定理得(2b－a)2＝a2＋b2＋ab，即有5ab－3b2＝0，所以＝.6．C8[2022·辽宁卷]在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asinBcosC＋csinBcosA＝b，且a>b，则∠B＝( )A.B.C.D.6．A [解析]由正弦定理可以得到sinAsinBcosC＋sinCsinBcosA＝sinB，所以可以得到sinAcosC＋sinCcosA＝，即sin(A＋C)＝sinB＝，则∠B＝，故选A.4．C8[2022·新课标全国卷Ⅱ]-23-\n△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B＝，C＝，则△ABC的面积为( )A．2＋2B.＋1C．2－2D.－14．B [解析]＝c＝2.又A＋B＋C＝π，∴A＝π，∴△ABC的面积为×2×2×sin＝2×＝＋1.7．C8[2022·山东卷]△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若B＝2A，a＝1，b＝，则c＝( )A．2B．2C.D．17．B [解析]由正弦定理＝，即＝＝，解之得cosA＝，∴A＝，B＝，C＝，∴c＝＝＝2.9．C8[2022·陕西卷]设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为( )A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不确定9．A [解析]结合已知bcosC＋ccosB＝asinA，所以由正弦定理可知sinBcosC＋sinCcosB＝sinAsinA，即sin(B＋C)＝sin2AsinA＝sin2AsinA＝1，故A＝90°，故三角形为直角三角形．16．C7，C8[2022·天津卷]在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知bsinA＝3csinB，a＝3，cosB＝.(1)求b的值；(2)求sin2B－的值．16．解：(1)在△ABC中，由＝，可得bsinA＝asinB，又由bsinA＝3csinB，可得a＝3c，又a＝3，故c＝1.由b2＝a2＋c2－2accosB，cosB＝，可得b＝.(2)由cosB＝，得sinB＝，进而得cos2B＝2cos2B－1＝－，sin2B＝2sinBcosB＝.所以sin2B－＝sin2Bcos－cos2Bsin＝.17．C5，C8，F1[2022·四川卷]在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos-23-\n(A－B)cosB－sin(A－B)sin(A＋C)＝－.(1)求sinA的值；(2)若a＝4，b＝5，求向量在方向上的投影．17．解：(1)由cos(A－B)cosB－sin(A－B)sin(A＋C)＝－，得cos(A－B)cosB－sin(A－B)sinB＝－.则cos(A－B＋B)＝－，即cosA＝－.又0<A<π，则sinA＝.(2)由正弦定理，有＝，所以，sinB＝＝.由题知a>b，则A>B，故B＝.根据余弦定理，有(4)2＝52＋c2－2×5c×，解得c＝1或c＝－7(负值舍去)．故向量在方向上的投影为||cosB＝.15．H1，C8，E8[2022·四川卷]在平面直角坐标系内，到点A(1，2)，B(1，5)，C(3，6)，D(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．15．(2，4) [解析]在以A，B，C，D为顶点构成的四边形中，由平面几何知识：三角形两边之和大于第三边，可知当动点落在四边形两条对角线AC，BD交点上时，到四个顶点的距离之和最小．AC所在直线方程为y＝2x，BD所在直线方程为y＝－x＋6，交点坐标为(2，4)，即为所求．10．C8[2022·新课标全国卷Ⅰ]已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，23cos2A＋cos2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝( )A．10B．9C．8D．510．D [解析]由23cos2A＋cos2A＝0，得25cos2A＝1.因为△ABC为锐角三角形，所以cosA＝.在△ABC中，根据余弦定理，得49＝b2＋36－12b×，即b2－b－13＝0，解得b＝5或－(舍去)．18．C8[2022·浙江卷]在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB＝b.(1)求角A的大小；(2)若a＝6，b＋c＝8，求△ABC的面积．-23-\n18．解：(1)由2asinB＝b及正弦定理＝，得sinA＝.因为A是锐角，所以A＝.(2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA得b2＋c2－bc＝36.又b＋c＝8，所以bc＝.由三角形面积公式S＝bcsinA，得△ABC的面积为.18．C5和C8[2022·重庆卷]在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＝b2＋c2＋bc.(1)求A；(2)设a＝，S为△ABC的面积，求S＋3cosBcosC的最大值，并指出此时B的值．18．解：(1)由余弦定理得cosA＝＝＝－.又因为0<A<π，所以A＝.(2)由(1)得sinA＝，又由正弦定理及a＝得S＝bcsinA＝··asinC＝3sinBsinC，因此，S＋3cosBcosC＝3(sinBsinC＋cosBcosC)＝3cos(B－C)．所以，当B＝C，即B＝＝时，S＋3cosBcosC取最大值3.C9 单元综合 21．C8，C9[2022·福建卷]如图1－6，在等腰直角△OPQ中，∠POQ＝90°，OP＝2，点M在线段PQ上．(1)若OM＝，求PM的长；(2)若点N在线段MQ上，且∠MON＝30°，问：当∠POM取何值时，△OMN的面积最小？并求出面积的最小值．图1－621．解：(1)在△OMP中，∠OPM＝45°，OM＝，OP＝2，由余弦定理得，OM2＝OP2＋MP2－2OP·MP·cos45°，得MP2－4MP＋3＝0，解得MP＝1或MP＝3.(2)设∠POM＝α，0°≤α≤60°，-23-\n在△OMP中，由正弦定理，得＝，所以OM＝，同理ON＝.故S△OMN＝OM·ON·sin∠MON＝×＝＝＝＝＝＝.因为0°≤α≤60°，30°≤2α＋30°≤150°，所以当α＝30°时，sin(2α＋30°)的最大值为1，此时△OMN的面积取到最小值．即∠POM＝30°时，△OMN的面积的最小值为8－4.18．C9[2022·江苏卷]如图1－4，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min.在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA＝，cosC＝.(1)求索道AB的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？图1－4-23-\n18．解：(1)在△ABC中，因为cosA＝，cosC＝，所以sinA＝，sinC＝，从而sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝×＋×＝.由正弦定理＝，得AB＝×sinC＝×＝1040(m)．所以索道AB的长为1040m.(2)假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(100＋50t)m，乙距离A处130tm，所以由余弦定理得d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×＝200(37t2－70t＋50)．因为0≤t≤，即0≤t≤8，故当t＝(min)时，甲、乙两游客距离最短．(3)由正弦定理＝，得BC＝×sinA＝×＝500(m)．乙从B出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710m才能到达C.设乙步行的速度为vm/min，由题意得－3≤－≤3，解得≤v≤，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在(单位：m/min)范围内．15．C9[2022·江苏卷]已知a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，0<β<α<π.(1)若|a－b|＝，求证：a⊥b；(2)设c＝(0，1)，若a＋b＝c，求α，β的值．15．解：(1)由题意得|a－b|2＝2，即(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝2.又因为a2＝b2＝|a|2＝|b|2＝1，所以2－2a·b＝2，即a·b＝0，故a⊥b.(2)因为a＋b＝(cosα＋cosβ，sinα＋sinβ)＝(0，1)，所以由此得，cosα＝cos(π－β)，由0<β<π，得0<π－β<π，-23-\n又0<α<π，故α＝π－β.代入sinα＋sinβ＝1得，sinα＝sinβ＝，而α>β，所以α＝，β＝.16．C3、C5、C9[2022·新课标全国卷Ⅰ]设当x＝θ时，函数f(x)＝sinx－2cosx取得最大值，则cosθ＝________．16．－ [解析]f(x)＝sinx－2cosx＝，令cosα＝，sinα＝，则f(x)＝sin(x－α)．当θ－α＝2kπ＋，即θ＝2kπ＋＋α(上述k为整数)时，f(x)取得最大值，此时cosθ＝－sinα＝－.9．C9[2022·新课标全国卷Ⅰ]函数f(x)＝(1－cosx)·sinx在[－π，π]的图像大致为( )图1－29．C [解析]函数f(x)是奇函数，排除选项B.当x∈[0，π]时f(x)≥0，排除选项A.对函数f(x)求导，得f′(x)＝sinxsinx＋(1－cosx)cosx＝－2cos2x＋cosx＋1＝－(cosx－1)(2cosx＋1)，当0<x<π时，若0<x<，则f′(x)>0，若<x<π，则f′(x)<0，即函数在(0，π)上的极大值点是x＝，故只能是选项C中的图像．1．[2022·成都一诊]已知＝3，则tanx的值是( )A．3B．－3C．2D．－21．C [解析]由＝3，可变形为＝3，即＝3，解得tanx＝22．[2022·广安一诊]已知曲线y＝在点M(π，0)处的切线为l，若θ为l的倾斜角，则点P(sinθ，tanθ)在( )A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限-23-\n2．A [解析]由题意得y′＝′＝＝，所以tanθ＝kl＝y′|x＝π＝－＝－<0.又θ为l的倾斜角，则0<θ<π，所以sinθ>0，所以P(sinθ，tanθ)在第四象限．3．[2022·烟台期中]函数y＝sinx的定义域为[a，b]，值域为，则b－a的最大值与最小值之和等于( )A．4πB.C．2πD.3．C [解析]由正弦函数的图像知(b－a)min＝－＝，(b－a)max＝－(－)＝，所以和为2π.故选C.4．[2022·许昌模拟]函数y＝sin的单调递减区间为____________________．4.(k∈Z) [解析]由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，即函数的单调递减区间为(k∈Z)．5．[2022·吉林实验中学二模]把函数y＝sinx(x∈R)的图像上所有点向左平行移动个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到的图像所表示的函数是( )A．y＝sin，x∈RB．y＝sin，x∈RC．y＝sin，x∈RD．y＝sin，x∈R5．C [解析]将函数y＝sinx(x∈R)的图像上所有点向左平移个单位长度可得函数y＝sin的图像，将y＝sin的图像上所有点的横坐标缩小为原来的(纵坐标不变)，可得函数y＝sin的图像，故选C.6．[2022·南昌调研]K13－3图是函数y＝sin(ωx＋φ)(x∈R)的部分图像，为了得到这个函数的图像，只要将y＝sinx(x∈R)的图像上所有点( )A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变-23-\nC．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变6．A [解析]由图像可知原函数的周期为T＝π＋＝π，ω＝＝2，代入x＝－，由五点法得－×2＋φ＝0，解得φ＝，原函数的解析式为y＝sin.将y＝sinx的图像向左平移个单位长度，再把所得图像上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，即可得y＝sin的图像，故选A.-23-
