概率K1 随事件的概率 16．I2，K1，K2[2022·北京卷]图1－4是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．图1－4(1)求此人到达当日空气质量优良的概率；(2)求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率；(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)16．解：(1)在3月1日至3月13日这13天中，1日、2日、3日、7日、12日、13日共6天的空气质量优良，所以此人到达当日空气质量优良的概率是.(2)根据题意，事件“此人在该市停留期间只有1天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是4日，或5日，或7日，或8日”．所以此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率为.(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．19．K1，I4[2022·福建卷]某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分别加以统计，得到如图1－4所示的频率分布直方图．图1－4(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？-13-\n附：χ2＝P(χ2≥k)0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.82819．解：(1)由已知得，样本中有“25周岁以上组”工人60名，“25周岁以下组”工人40名．所以，样本中日平均生产件数不足60件的工人中，“25周岁以上组”工人有60×0.05＝3(人)，记为A1，A2，A3；“25周岁以下组”工人有40×0.05＝2(人)，记为B1，B2.从中随机抽取2名工人，所有的可能结果共有10种，它们是：(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)．其中，至少有1名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7种，它们是：(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)．故所求的概率P＝.(2)由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手有60×0.25＝15(人)，“25周岁以下组”中的生产能手有40×0.375＝15(人)，据此可得2×2列联表如下：生产能手非生产能手合计25周岁以上组15456025周岁以下组152540合计3070100所以得K2＝＝＝≈1.79.因为1.79<2.706.所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．K2 古典概型 5．K2，K5[2022·安徽卷]若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为( )A.B.C.D.5．D [解析]五人中选用三人，列举可得基本事件个数是10个，“甲或乙被录用”的对应事件是“甲乙都没有被录用”，即录用的是其余三人，只含有一个基本事件，故所求概率是1－＝.16．I2，K1，K2[2022·北京卷]图1－4是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于-13-\n200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．图1－4(1)求此人到达当日空气质量优良的概率；(2)求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率；(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)16．解：(1)在3月1日至3月13日这13天中，1日、2日、3日、7日、12日、13日共6天的空气质量优良，所以此人到达当日空气质量优良的概率是.(2)根据题意，事件“此人在该市停留期间只有1天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是4日，或5日，或7日，或8日”．所以此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率为.(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．7．K2[2022·江苏卷]现有某类病毒记作XmYn，其中正整数m，n(m≤7，n≤9)可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为________．7. [解析]基本事件共有7×9＝63种，m可以取1，3，5，7，n可以取1，3，5，7，9.所以m，n都取到奇数共有20种，故所求概率为.18．K2[2022·江西卷]小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为：以O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6(如图1－6)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X，若X>0就去打球，若X＝0就去唱歌，若X<0就去下棋．(1)写出数量积X的所有可能取值；(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．图1－618．解：(1)X的所有可能取值为－2，－1，0，1.(2)数量积为－2的有·，共1种；数量积为－1的有·，·，·，·，·，·，共6种；-13-\n数量积为0的有·，·，·，·，共4种；数量积为1的有·，·，·，·，共4种．故所有可能的情况共有15种．所以小波去下棋的概率为P1＝；因为去唱歌的概率为P2＝，所以小波不去唱歌的概率P＝1－P2＝1－＝.4．K2[2022·江西卷]集合A＝{2，3}，B＝{1，2，3},从A，B中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是( )A.B.C.D.4．C [解析]从A，B中任取一个数，共有6种取法，其中两数之和为4的是(2，2)，(3，1)，故P＝＝，故选C.13．K2[2022·新课标全国卷Ⅱ]从1，2，3，4，5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是________．13．0.2 [解析]任取两个数有10种取法，和为5的取法有2种，故概率为＝0.2.17．K2[2022·山东卷]某小组共有A，B，C，D，E五位同学，他们的身高(单位：米)及体重指标(单位：千克/米2)如下表所示：ABCDE身高1.691.731.751.791.82体重指标19.225.118.523.320.9(1)从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率；(2)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9)中的概率．17．解：(1)从身高低于1.80的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共6个．由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．选到的2人身高都在1.78以下的事件有：(A，B)，(A，C)，(B，C)，共3个．因此选到的2人身高都在1.78以下的概率为P＝＝.(2)从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共10个．由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．选到的2人身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9)中的事件有：(C，D)，(C，E)，(D，E)，共3个．-13-\n因此选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9)中的概率为P1＝.19．K2[2022·陕西卷]有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次．根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：组别ABCDE人数5010015015050(1)为了调查评委对7位歌手的支持情况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B组抽取了6人，请将其余各组抽取的人数填入下表；组别ABCDE人数5010015015050抽取人数6(2)在(1)中，若A，B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率．19．解：(1)由题设知，分层抽样的抽取比例为6%，所以各组抽取的人数如下表：组别ABCDE人数5010015015050抽取人数36993(2)记从A组抽到的3个评委为a1，a2，a3，其中a1，a2支持1号歌手；从B组抽到的6个评委为b1，b2，b3，b4，b5，b6，其中b1，b2支持1号歌手．从和中各抽取1人的所有结果为：图1－6由以上树状图知所有结果共18种，其中2人都支持1号歌手的有a1b1，a1b2，a2b1，a2b2共4种，故所求概率P＝＝.5．I2，K2[2022·陕西卷]对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，图1－1为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20，25)上为一等品，在区间[15，20)和[25，30)上为二等品，在区间[10，15)和[30，35]上为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是( )图1－1A．0.09B．0.20C．0.25D．0.455．D [解析]-13-\n利用统计图表可知在区间[25，30)上的频率为：1－(0.02＋0.04＋0.06＋0.03)×5＝0.25，在区间[15，20)上的频率为：0.04×5＝0.2，故所抽产品为二等品的概率为0.25＋0.2＝0.45.15．I2，K2[2022·天津卷]某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S＝x＋y＋z评价该产品的等级，若S≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：产品编号A1A2A3A4A5质量指标(x，y，z)(1，1，2)(2，1，1)(2，2，2)(1，1，1)(1，2，1)产品编号A6A7A8A9A10质量指标(x，y，z)(1，2，2)(2，1，1)(2，2，1)(1，1，1)(2，1，2)(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；(2)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品，(i)用产品编号列出所有可能的结果；(ii)设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”．求事件B发生的概率．15．解：(1)计算10件产品的综合指标S，如下表：产品编号A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10S4463454535其中S≤4的有A1，A2，A4，A5，A7，A9，共6件，故该样本的一等品率为＝0.6.从而可估计该批产品的一等品率为0.6.(2)(i)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A1，A9}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A2，A9}，{A4，A5}，{A4，A7}，{A4，A9}，{A5，A7}，{A5，A9}，{A7，A9}，共15种．(ii)在该样本的一等品中，综合指标S等于4的产品编号分别为A1，A2，A5，A7，则事件B发生的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A5，A7},共6种．所以P(B)＝＝.3．K2[2022·新课标全国卷Ⅰ]从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )A.B.C.D.3．B [解析]基本事件是(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共6个，其中两数之差的绝对值为2的基本事件是(1，3)，(2，4)，共2个，根据古典概型公式得所求的概率是＝.12．K2[2022·浙江卷]从3男3女共6名同学中任选2名(每名同学被选中的机会均等)，这2名都是女同学的概率等于________．12. [解析]设选2名都是女同学的事件为A-13-\n，从6名同学中选2名，共有15种情况，而从3名女生中选2名，有3种情况，所以P(A)＝＝.13．K2[2022·重庆卷]若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为________．13. [解析]三人站成一排的情况包括甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲，共6种，其中甲、乙相邻的排法有4种，所以甲、乙相邻而站的概率为＝.K3 几何概型 14．K3[2022·福建卷]利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a－1<0”发生的概率为________．14. [解析]0<a<，概率P＝＝.15．K3[2022·湖北卷]在区间[－2，4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则m＝________．15．3 [解析]由题意知m>0，当0<m<2时，－m≤x≤m，此时所求概率为＝，得m＝(舍去)；当2≤m<4时，所求概率为＝，得m＝3；当m≥4时，概率为1，不合题意，故m＝3.9．K3[2022·湖南卷]已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为，则＝( )A.B.C.D.9．D [解析]依题可知，E，F是CD上的四等分点，P只能在线段EF上，则BF＝AB，不妨设CD＝AB＝a，BC＝b，则有b2＋＝a2，即b2＝a2，故＝，选D.19．K3[2022·辽宁卷]现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．试求：(1)所取的2道题都是甲类题的概率；(2)所取的2道题不是同一类题的概率．19．解：(1)将4道甲类题依次编号为1，2，3，4；2道乙类题依次编号为5，6，任取2道题，基本事件为：{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{1，6}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{2，6}，{3，4}，{3，5}，{3，6}，{4，5}，{4，6}，{5，6}，共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的．-13-\n用A表示“都是甲类题”这一事件，则A包含的基本事件有{1，2}，{1，3}，{1，4}，{2，3}，{2，4}，{3，4}，共6个，所以P(A)＝＝.(2)基本事件同(1)，用B表示“不是同一类题”这一事件，则B包含的基本事件有{1，5}，{1，6}，{2，5}，{2，6}，{3，5}，{3，6}，{4，5}，{4，6}，共8个．所以P(B)＝.K4 互斥事件有一个发生的概率 K5 相互对立事件同时发生的概率 5．K2，K5[2022·安徽卷]若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为( )A.B.C.D.5．D [解析]五人中选用三人，列举可得基本事件个数是10个，“甲或乙被录用”的对应事件是“甲乙都没有被录用”，即录用的是其余三人，只含有一个基本事件，故所求概率是1－＝.20．K4、K5、K7[2022·全国卷]甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．(1)求第4局甲当裁判的概率；(2)求前4局中乙恰好当1次裁判的概率．20．解：(1)记A1表示事件“第2局结果为甲胜”，A2表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，A表示事件“第4局甲当裁判”．则A＝A1·A2，P(A)＝P(A1·A2)＝P(A1)P(A2)＝.(2)记B1表示事件“第1局比赛结果为乙胜”，B2表示事件“第2局乙参加比赛时，结果为乙胜”，B3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙胜”，B表示事件“前4局中乙恰好当1次裁判”．则B＝B1·B3＋B1·B2·B3＋B1·B2，P(B)＝P(B1·B3＋B1·B2·B3＋B1·B2)＝P(B1·B3)＋P(B1·B2·B3)＋P(B1·B2)＝P(B1)P(B3)＋P(B1)P(B2)P(B3)＋P(B1)P(B2)＝＋＋-13-\n＝.K6 离散型随机变量及其分布列 4．K6[2022·广东卷]已知sin＝，那么cosα＝( )A．－B．－C.D.4．C [解析]sin＝sin＝cosα＝，选C.图1－718．L1，K6[2022·四川卷]某算法的程序框图如图1－7所示，其中输入的变量x在1，2，3，…，24这24个整数中等可能随机产生．(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率Pi(i＝1，2，3)；(2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为i(i＝1，2，3)的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．甲的频数统计表(部分)运行次数n输出y的值为1的频数输出y的值为2的频数输出y的值为3的频数3014610…………21001027376697乙的频数统计表(部分)运行次数n输出y的值为1的频数输出y的值为2的频数输出y的值为3的频数3012117…………21001051696353当n＝2100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i＝1，2，3)的频率(用分数表示)，并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大．-13-\n18．解：(1)变量x是在1，2，3，…，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能．当x从1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23这12个数中产生时，输出y的值为1，故P1＝；当x从2，4，8，10，14，16，20，22这8个数中产生时，输出y的值为2，故P2＝；当x从6，12，18，24这4个数中产生时，输出y的值为3，故P3＝.所以，输出y的值为1的概率为，输出y的值为2的概率为，输出y的值为3的概率为.(2)当n＝2100时，甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i＝1，2，3)的频率如下：输出y的值为1的频率输出y的值为2的频率输出y的值为3的频率甲乙比较频率趋势与(1)中所求的概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大．K7 条件概率与事件的独立性 20．K4、K5、K7[2022·全国卷]甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．(1)求第4局甲当裁判的概率；(2)求前4局中乙恰好当1次裁判的概率．20．解：(1)记A1表示事件“第2局结果为甲胜”，A2表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，A表示事件“第4局甲当裁判”．则A＝A1·A2，P(A)＝P(A1·A2)＝P(A1)P(A2)＝.(2)记B1表示事件“第1局比赛结果为乙胜”，B2表示事件“第2局乙参加比赛时，结果为乙胜”，B3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙胜”，B表示事件“前4局中乙恰好当1次裁判”．则B＝B1·B3＋B1·B2·B3＋B1·B2，P(B)＝P(B1·B3＋B1·B2·B3＋B1·B2)＝P(B1·B3)＋P(B1·B2·B3)＋P(B1·B2)-13-\n＝P(B1)P(B3)＋P(B1)P(B2)P(B3)＋P(B1)P(B2)＝＋＋＝.6．K7[2022·江苏卷]抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：运动员第1次第2次第3次第4次第5次甲8791908993乙8990918892则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为________．6．2 [解析]由题知x甲＝(87＋91＋90＋89＋93)＝90，s＝(9＋1＋0＋1＋9)＝4；x乙＝(89＋90＋91＋88＋92)＝90，s＝(1＋0＋1＋4＋4)＝2，所以s>s，故答案为2.K8 离散型随机变量的数学特征与正态分布 20．K4、K5、K7[2022·全国卷]甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．(1)求第4局甲当裁判的概率；(2)求前4局中乙恰好当1次裁判的概率．20．解：(1)记A1表示事件“第2局结果为甲胜”，A2表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，A表示事件“第4局甲当裁判”．则A＝A1·A2，P(A)＝P(A1·A2)＝P(A1)P(A2)＝.(2)记B1表示事件“第1局比赛结果为乙胜”，B2表示事件“第2局乙参加比赛时，结果为乙胜”，B3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙胜”，B表示事件“前4局中乙恰好当1次裁判”．则B＝B1·B3＋B1·B2·B3＋B1·B2，P(B)＝P(B1·B3＋B1·B2·B3＋B1·B2)＝P(B1·B3)＋P(B1·B2·B3)＋P(B1·B2)＝P(B1)P(B3)＋P(B1)P(B2)P(B3)＋P(B1)P(B2)＝＋＋＝.K9 单元综合 -13-\n1．[2022·武汉市部分学校联考]投掷两颗骰子，其向上的点数分别为m和n，则复数(m＋ni)2为纯虚数的概率为( )A.B.C.D.1．C [解析]投掷两颗骰子共有36种结果，因为(m＋ni)2＝m2－n2＋2mni，所以要使复数(m＋ni)2为纯虚数，则m2－n2＝0，即m＝n，共有6种结果，所以复数(m＋ni)2为纯虚数的概率为＝，选C.2．[2022·杭州模拟]记集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤16}和集合B＝{(x，y)|x＋y－4≤0，x≥0，y≥0}表示的平面区域分别为Ω1，Ω2，若在区域Ω1内任取一点M(x，y)，则点M落在区域Ω2的概率为( )A.B.C.D.2．A [解析]区域Ω1为圆心在原点，半径为4的圆，区域Ω2为等腰直角三角形，两腰长为4，所以P＝＝＝，故选A.3．[2022·衡水调研]将一颗骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为( )A.B.C.D.3．B [解析]基本事件总数为216，点数构成等差数列包含的基本事件有(1，1，1)，(2，2，2)，(3，3，3)，(4，4，4)，(5，5，5)，(6，6，6)，(1，2，3)，(1，3，5)，(2，3，4)，(2，4，6)，(3，2，1)，(3，4，5)，(4，3，2)，(4，5，6)，(5，4，3)，(5，3，1)，(6，5，4)，(6，4，2)共18个，故求概率为P＝＝.4．[2022·广州调研]在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a，b，则方程＋＝1表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为( )A.B.C.D.4．B [解析]依题意可以应用几何概型解决问题．方程＋＝1表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆时有即化简得又a∈[1，5]，b∈[2，4]，画出满足不等式组的平面区域，-13-\n如图阴影部分所示，求得阴影部分的面积为，故P＝＝.5．[2022·丹东四校协作体零诊]在长为10cm的线段AB上任取一点C，并以线段AC为边作正方形，这个正方形的面积介于25cm2与49cm2之间的概率为________．5. [解析]依题意知属于几何概型：因以线段AC为边的正方形的面积介于25cm2与49cm2之间满足条件的C点对应的线段长2cm，而线段AB总长为10cm，故正方形的面积介于25cm2与49cm2之间的概率P＝＝，故答案为.6．[2022·湛江模拟]在圆(x－2)2＋(y－2)2＝8内有一平面区域E：点P是圆内的任意一点，而且出现任何一个点是等可能的．若使点P落在平面区域E内的概率最大，则m＝________.6．0 [解析]如图所示，当m＝0时，平面区域E的面积最大，则点P落在平面区域E内的概率最大．-13-
