推理与证明M1 合情推理与演绎推理 图1－317．M1[2022·湖北卷]在平面直角坐标系中，若点P(x，y)的坐标x，y均为整数，则称点P为格点．若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L.例如图1－3中△ABC是格点三角形，对应的S＝1，N＝0，L＝4.(1)图中格点四边形DEFG对应的S，N，L分别是________；(2)已知格点多边形的面积可表示为S＝aN＋bL＋c，其中a，b，c为常数，若某格点多边形对应的N＝71，L＝18，则S＝________(用数值作答)．17．(1)3，1，6 (2)79 [解析] (1)把四边形面积分割，其中四个面积为的三角形，一个面积为1的正方形，故其面积为S＝3；四边形内部只有一个格点；边界上有6个格点，故答案为3，6，1.(2)根据图中的格点三角形和四边形可得1＝4b＋c，3＝a＋6b＋c，再选顶点为(0，0)，(2，0)，(2，2)，(0，2)的格点正方形可得4＝a＋8b＋c，由上述三个方程组解得a＝1，b＝，c＝－1，所以S＝N＋L－1，将已知数据代入得S＝71＋9－1＝79.16．B7，M1[2022·山东卷]定义“正对数”：ln＋x＝现有四个命题：①若a>0，b>0，则ln＋(ab)＝bln＋a；②若a>0，b>0，则ln＋(ab)＝lna＋ln＋b；③若a>0，b>0，则ln＋≥ln＋a－ln＋b；④若a>0，b>0，则ln＋(a＋b)≤ln＋a＋ln＋b＋ln2.其中的真命题有________．(写出所有真命题的编号)16．①③④ [解析]①中，当ab≥1时，∵b>0，∴a≥1，ln＋ab＝lnab＝blna＝bln＋a；当0<ab<1时，∵b>0，∴0<a<1，ln＋ab＝bln＋a＝0，∴①正确．②中，当0<ab<1，且a>1时，左边＝ln＋(ab)＝0，右边＝ln＋a＋ln＋b＝lna＋0＝lna>0，∴②不成立．③中，当≤1，即a≤b时，左边＝0，右边＝ln＋a－ln＋b≤0，左边≥右边，成立；当>1时，左边＝ln＝lna－lnb>0，若a>b>1时，右边＝lna－lnb-5-\n，左边≥右边成立；若0<b<a<1时，右边＝0,左边≥右边成立；若a>1>b>0，左边＝ln＝lna－lnb>lna，右边＝lna，左边≥右边成立，∴③正确．④中，若0<a＋b<1，左边＝ln＋(a＋b)＝0，右边＝ln＋a＋ln＋b＋ln2＝ln2>0，左边≤右边；若a＋b≥1，ln＋(a＋b)－ln2＝ln(a＋b)－ln2＝ln.又∵≤a或≤b，a，b至少有1个大于1，∴ln≤lna或ln≤lnb，即有ln＋(a＋b)－ln2＝ln(a＋b)－ln2＝ln≤ln＋a＋ln＋b，∴④正确．13．M1[2022·陕西卷]观察下列等式(1＋1)＝2×1(2＋1)(2＋2)＝22×1×3(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5……照此规律，第n个等式可为______________．13．(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)[解析]结合已知所给定的几项的特点，可知式子左边共n项，且从(n＋1)一直到(n＋n)，右侧第一项为2n，连乘的第一项为1，最后一项为(2n－1)，故所求表达式为：(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)．M2 直接证明与间接证明 20．M2，D2，D3，D5[2022·北京卷]给定数列a1，a2，…，an，对i＝1，2，…，n－1，该数列前i项的最大值记为Ai，后n－i项ai＋1，ai＋2，…，an的最小值记为Bi，di＝Ai－Bi.(1)设数列{an}为3，4，7，1，写出d1，d2，d3的值；(2)设a1，a2，…，an(n≥4)是公比大于1的等比数列，且a1>0.证明：d1，d2，…，dn－1是等比数列；(3)设d1，d2，…，dn－1是公差大于0的等差数列，且d1>0，证明：a1，a2，…，an－1是等差数列．20．解：(1)d1＝2，d2＝3，d3＝6.(2)证明：因为a1>0，公比q>1，所以a1，a2，…，an是递增数列．因此，对i＝1，2，…，n－1，Ai＝ai，Bi＝ai＋1.于是对i＝1，2，…，n－1，di＝Ai－Bi＝ai－ai＋1＝a1(1－q)qi－1.因此di≠0且＝q(i＝1，2，…，n－2)，即d1，d2，…，dn－1是等比数列．(3)证明：设d为d1，d2，…，dn－1的公差．-5-\n对1≤i≤n－2，因为Bi≤Bi＋1，d>0，所以Ai＋1＝Bi＋1＋di＋1≥Bi＋di＋d>Bi＋di＝Ai.又因为Ai＋1＝max{Ai，ai＋1}，所以ai＋1＝Ai＋1>Ai≥ai.从而a1，a2，…，an－1是递增数列，因此Ai＝ai(i＝1，2，…，n－1)．又因为B1＝A1－d1＝a1－d1<a1，所以B1<a1<a2<…<an－1.因此an＝B1.所以B1＝B2＝…＝Bn－1＝an.所以ai＝Ai＝Bi＋di＝an＋di.因此对i＝1，2，…，n－2都有ai＋1－ai＝di＋1－di＝d，即a1，a2，…，an－1是等差数列．19．M2，H5，H10[2022·北京卷]直线y＝kx＋m(m≠0)与椭圆W：＋y2＝1相交于A，C两点，O是坐标原点．(1)当点B的坐标为(0，1)，且四边形OABC为菱形时，求AC的长；(2)当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形．19．解：(1)因为四边形OABC为菱形，所以AC与OB相互垂直平分．所以可设A，代入椭圆方程得＋＝1，即t＝±.所以|AC|＝2.(2)证明：假设四边形OABC为菱形．因为点B不是W的顶点，且AC⊥OB，所以k≠0.由消y并整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则＝－，＝k·＋m＝.所以AC的中点为M.因为M为AC和OB的交点，且m≠0，k≠0，所以直线OB的斜率为－.因为k·≠－1，所以AC与OB不垂直．所以OABC不是菱形，与假设矛盾．所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能是菱形．10．M2[2022·浙江卷]设a，b∈R，定义运算“∧”和“∨”如下：a∧b＝ a∨b＝若正数a，b，c，d满足ab≥4，c＋d≤4，则( )A．a∧b≥2，c∧d≤2B．a∧b≥2，c∨d≥2C．a∨b≥2，c∧d≤2D．a∨b≥2，c∨d≥210．C [解析]从定义知，a∧b＝min(a，b)，即求a，b中的最小值；a∨b＝max(a，b)，即求a，b中的最大值；假设0<a<2，0<b<2，则ab<4，与已知ab≥4相矛盾，则假设不成立，故max(a，b)≥2，即a∨b≥2；假设c>2，d>2，则c＋d>4，与已知c＋d≤4相矛盾，则-5-\n假设不成立，故min(a，b)≤2，即c∧d≤2.故选择C.M3 数学归纳法 M4 单元综合 1．[2022·陕西安康模拟]已知f1(x)＝cosx，f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，f4(x)＝f3′(x)，…，fn(x)＝fn－1′(x)，则f2022(x)＝( )A．sinxB．－sinxC．cosxD．－cosx1．D [解析]由已知，有f1(x)＝cosx，f2(x)＝－sinx，f3(x)＝－cosx，f4(x)＝sinx，f5(x)＝cosx，…，可以归纳出：f4n(x)＝sinx，f4n＋1(x)＝cosx，f4n＋2(x)＝－sinx，f4n＋3(x)＝－cosx(n∈N*)．所以f2011(x)＝f3(x)＝－cosx.2．[2022·诸城模拟]如图K41－1所示将若干个点摆成三角形图案，每条边(色括两个端点)有n(n>l，n∈N*)个点，相应的图案中总的点数记为an，则＋＋＋…＋＝( )图K41－1A.B.C.D.2．B [解析]由图案的点数可知a2＝3，a3＝6，a4＝9，a5＝12，所以an＝3n－3，n≥2，所以＝＝＝－，所以＋＋＋…＋＝1－＋－＋…＋－＝，选B.3．[2022·绍兴模拟]已知1＋2·3＋3·32＋4·33＋…＋n·3n－1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N*都成立，那么a，b，c的值分别为( )A．a＝，b＝c＝B．a＝b＝c＝C．a＝0，b＝c＝D．不存在这样的a，b，c-5-\n3．A [解析]令n＝1，2，3，得所以a＝，b＝c＝.4．[2022·广东汕头模拟]已知＝2，＝3，＝4，若＝6(a，t均为正实数)，类比以上等式，可推测a，t的值，则a－t＝________．4．－29 [解析]类比等式可推测a＝6，t＝35，则a－t＝－29.5．[2022·江门联考]已知等差数列{an}中，有＝，则在等比数列{bn}中，会有类似的结论：________________________________________________________________________.5.＝ [解析]由等比数列的性质可知，b1b30＝b2b29＝b11b20，所以＝6．[2022·福州模拟]已知点A(x1，ax1)，B(x2，ax2)是函数y＝ax(a>1)的图像上任意不同两点，依据图像可知，线段AB总是位于A，B两点之间函数图像的上方，因此有结论>a成立．运用类比思想方法可知，若点A(x1，sinx1)，B(x2，sinx2)是函数y＝sinx(x∈(0，π))的图像上的不同两点，则类似地有________成立．6.<sin [解析]在函数y＝sinx，x∈(0，π)的图像上任意取不同两点，依据图像可知，线段AB总是位于A，B两点之间函数图像的下方，所以<sin.-5-
