不等式E1 不等式的概念与性质 2．E1[2022·北京卷]设a，b，c∈R，且a>b，则( )A．ac>bcB.<C．a2>b2D．a3>b32．D [解析]∵函数y＝x3在R上是增函数，a>b，∴a3>b3.8．B7，E1[2022·新课标全国卷Ⅱ]设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则( )A．a>c>bB．b>c>aC．c>b>aD．c>a>b8．D [解析]a－b＝log32－log52＝－＝>0a>b，c＝log23>1，a<1，b<1，所以c>a>b，答案为D.15．C6、E1和E3[2022·重庆卷]设0≤α≤π，不等式8x2－(8sinα)x＋cos2α≥0对x∈R恒成立，则α的取值范围为________．15.∪ [解析]根据二次函数的图像可得Δ＝(8sinα)2－4×8cos2α≤0，即2sin2α－cos2α≤0，转化为2sin2α－(1－2sin2α)≤0，即4sin2α≤1，即－≤sinα≤.因为0≤α≤π，故α∈∪.10．E1、H6和H8[2022·重庆卷]设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，使|A1B1|＝|A2B2|，其中A1，B1和A2，B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A.B.C.D.10．A [解析]设双曲线的焦点在x轴上，则由作图易知双曲线的渐近线的斜率必须满足<≤，所以<≤3，<1＋≤4，即有<≤2.又双曲线的离心率为e＝＝，所以<e≤2.E2 绝对值不等式的解法 -12-\n4．E2[2022·全国卷]不等式|x2－2|<2的解集是( )A．(－1，1)B．(－2，2)C．(－1，0)∪(0，1)D．(－2，0)∪(0，2)4．D [解析]|x2－2|<2等价于－2<x2－2<2，即0<x2<4，即0<|x|<2，解得－2<x<0或者0<x<2，故所求的不等式的解集是(－2，0)∪(0，2)．E3 一元二次不等式的解法 20．E3，B12[2022·安徽卷]设函数f(x)＝ax－(1＋a2)x2，其中a>0，区间I＝{x|f(x)>0}．(1)求I的长度(注：区间(α，β)的长度定义为β－α)；(2)给定常数k∈(0，1)，当1－k≤a≤1＋k时，求I长度的最小值．20．解：(1)因为方程ax－(1＋a2)x2＝0(a>0)有两个实根x1＝0，x2＝，故f(x)>0的解集为{x|x1<x<x2}，因此区间I＝0，，区间长度为.(2)设d(a)＝，则d′(a)＝，令d′(a)＝0，得a＝1，由于0<k<1，故当1－k≤a<1时，d′(a)>0，d(a)单调递增；当1<a≤1＋k时，d′(a)<0，d(a)单调递减；因此当1－k≤a≤1＋k时，d(a)的最小值必定在a＝1－k或a＝1＋k处取得．而＝＝<1，故d(1－k)<d(1＋k)．因此当a＝1－k时，d(a)在区间[1－k，1＋k]上取得最小值.11．B1，E3[2022·安徽卷]函数y＝ln1＋＋的定义域为________．11．(0，1] [解析]实数x满足1＋>0且1－x2≥0.不等式1＋>0，即>0，解得x>0或x<－1；不等式1－x2≥0的解为－1≤x≤1.故所求函数的定义域是(0，1]．15．C6、E1和E3[2022·重庆卷]设0≤α≤π，不等式8x2－(8sinα)x＋cos2α≥0对x∈R恒成立，则α的取值范围为________．15.∪ [解析]根据二次函数的图像可得Δ＝(8sinα)2－4×8cos2α≤0，即2sin2α－cos2α≤0，转化为2sin2α－(1－2sin2α)≤0，即4sin2α≤1，即－≤sinα≤.因为0≤α≤π，故α∈∪.7．E3[2022·重庆卷]关于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a＝( )-12-\nA.B.C.D.7．A [解析]由条件知x1，x2为方程x2－2ax－8a2＝0的两根，则x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2，由(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2a)2－4×(－8a2)＝36a2＝152，解得a＝(负值舍去)，故选A.E4 简单的一元高次不等式的解法 13．E4[2022·湖南卷]若变量x，y满足约束条件则x＋y的最大值为________．13．6 [解析]根据题意，画出x，y满足的可行域，如图，可知在点B(4，2)处x＋y取最大值为6.6．E4[2022·江西卷]下列选项中，使不等式x<<x2成立的x的取值范围是( )A．(－∞，－1)B．(－1，0)C．(0，1)D．(1，＋∞)6．A [解析]x－<0<0x<－1或0<x<1，x2－>0x<0或x>1，求交集得x<－1，故选A.14．E4[2022·新课标全国卷Ⅰ]设x，y满足约束条件则z＝2x－y的最大值为________．14．3 [解析]点(x，y)是平面内平行线x＝1，x＝3与平行线x－y＝－1，x－y＝0围成的平行四边形区域，区域的四个顶点坐标分别为(1，2)，(1，1)，(3，4)，(3，3)，分别代入得z＝0，1，2，3，所以z＝2x－y的最大值为3.E5 简单的线性规划问题 2．E5[2022·天津卷]设变量x，y满足约束条件-12-\n则目标函数z＝y－2x的最小值为( )A．－7B．－4C．1D．22．A [解析]可行域如图：联立得A(5，3)，当目标函数线过可行域内A点时，目标函数有最小值z＝3－2×5＝－7.8．E5[2022·四川卷]若变量x，y满足约束条件且z＝5y－x的最大值为a，最小值为b，则a－b的值是( )A．48B．30C．24D．168．C [解析]画出约束条件表示的可行域，如图，由于目标函数z＝5y－x的斜率为，可知在点A(8，0)处，z取得最小值b＝－8，在点B(4，4)处，z取得最大值a＝16.故a－b＝24.7．E5[2022·陕西卷]若点(x，y)位于曲线y＝|x|与y＝2所围成的封闭区域，则2x－y的最小值是( )A．－6B．－2C．0D．27．A [解析]结合题目可以作出y＝∣x∣与y＝2所表示的平面区域，令2x－y＝z，即y＝2x－z，作出直线y＝2x，在封闭区域内平移直线y＝2x，当经过点A(－2，2)时，z取最小值，为2×(－2)－2＝－6.14．E5[2022·山东卷]在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则|OM|的最小值是________．14. [解析]可行域如图，当OM垂直于直线x＋y－2＝0时，|OM|最小，故|OM|＝-12-\n＝.图1－53．E5[2022·新课标全国卷Ⅱ]设x，y满足约束条件则z＝2x－3y的最小值是( )A．－7B．－6C．－5D．－33．B [解析]画出可行域如图△ABC，易得A(3，－2)，B(3，4)，C(0，1)，作出直线y＝x，平移易知直线过B点时直线在y轴上的截距最大，此时z最小．故选B.图1－17．E5[2022·新课标全国卷Ⅱ]执行右面的程序框图1－2，如果输入的N＝4，那么输出的S＝( )A．1＋＋＋B．1＋＋＋C．1＋＋＋＋D．1＋＋＋＋-12-\n图1－27．B [解析]k＝1，T＝1，S＝1；k＝2，T＝，S＝1＋；k＝3，T＝，S＝1＋＋；k＝4，T＝，S＝1＋＋＋，k＝5>4成立，输出S，答案为B.9．E5[2022·江苏卷]抛物线y＝x2在x＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D(包含三角形内部与边界)．若点P(x，y)是区域D内的任意一点，则x＋2y的取值范围是________．9. [解析]由y＝x2得y′＝2x，则在点x＝1处的切线斜率k＝2×1＝2，切线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.在平面直角坐标系中作出可行域，如图阴影部分所示，则A(0，－1)，B.作直线l0：x＋2y＝0.当平移直线l0至点A时，zmin＝0＋2(－1)＝－2；当平移直线l0至点B时，zmax＝＋2×0＝.故x＋2y的取值范围是.9．E5[2022·湖北卷]某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为( )A．31200元B．36000元C．36800元D．38400元9．C [解析]由题意知其可行域如图中阴影部分，令z＝1600A＋2-12-\n400BB＝－A＋，过点M(5，12)时，zmin＝1600×5＋2400×12＝36800.13．E5[2022·广东卷]已知变量x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值是________．13．5 [解析]根据图知，线性目标函数z＝x＋y在点C处取得最大值，易求点C(1，4)，故zmax＝5.6．E5[2022·福建卷]若变量x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最大值和最小值分别为( )A．4和3B．4和2C．3和2D．2和06．B [解析]可行域如图所示，直线z＝2x＋y过点A(1，0)时，zmin＝2，过点B(2，0)时，zmax＝4，故选B.12．E5[2022·北京卷]设D为不等式组表示的平面区域，区域D上的点与点(1，0)之间的距离的最小值为________．12.-12-\n [解析]在平面直角坐标系中画出可行域，如图所示．根据可行域可知，区域D内的点到点(1，0)的距离最小值为点(1，0)到直线2x－y＝0的距离，即d＝＝.12．E5[2022·安徽卷]若非负变量x，y满足约束条件则x＋y的最大值为________．12．4 [解析]已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分，设z＝x＋y，则z的几何意义是直线y＝－x＋z在y轴上的截距，结合图形，可知当直线y＝－x＋z通过点A(4，0)时z最大，此时z＝4.15．E5[2022·浙江卷]设z＝kx＋y，其中实数x，y满足若z的最大值为12，则实数k＝________．15．2 [解析]不等式组表示的可行区域为如图所示的三角形ABC及其内部，A(2，0)，B(4，4)，C(2，3)，要使z的最大值为12，只能经过B点，此时12＝4k＋4，k＝2.E6 基本不等式 7．E6[2022·福建卷]若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是( )A．[0，2]B．[－2，0]C．[－2，＋∞)D．(－∞，－2]7．D [解析]1＝2x＋2y≥22x＋y≤2－2x＋y≤－2，当且仅当x＝y＝－1时，等号成立，故选D.-12-\n14．E6[2022·陕西卷]在如图1－3所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为______(m)．图1－314．20 [解析]利用所给的图形关系，由图形关系可知三角形相似，设矩形的另一边长为y，则＝，所以y＝40－x，又有xy≤＝400，当且仅当x＝y时等号成立，则x＝40－x，即x＝20，故矩形面积最大时x的值为20.13．E6[2022·四川卷]已知函数f(x)＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝________.3．36 [解析]由基本不等式性质，f(x)＝4x＋(x>0，a>0)在4x＝，即x2＝时取得最小值，由于x＞0，a＞0，再根据已知可得＝32，故a＝36.E7 不等式的证明方法 E8 不等式的综合应用 12．E8[2022·山东卷]设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最小值时，x＋2y－z的最大值为( )A．0B.C．2D.12．C [解析]由题意得z＝x2－3xy＋4y2，∴＝＝＋－3≥2－3＝1，当且仅当＝，即x＝2y时，等号成立，∴x＋2y－z＝2y＋2y－＝－2(y－1)2＋2≤2.20．H4，E8，B1[2022·四川卷]已知圆C的方程为x2＋(y－4)2＝4，点O是坐标原点．直线l：y＝kx与圆C交于M，N两点．(1)求k的取值范围；-12-\n(2)设Q(m，n)是线段MN上的点，且＝＋.请将n表示为m的函数．20．解：(1)将y＝kx代入x2＋(y－4)2＝4，得(1＋k2)x2－8kx＋12＝0.(*)由Δ＝(－8k)2－4(1＋k2)×12>0，得k2>3.所以，k的取值范围是(－∞，－)∪(＋∞)．(2)因为M，N在直线l上，可设点M，N的坐标分别为(x1，kx1)，(x2，kx2)，则|OM|2＝(1＋k2)x，|ON|2＝(1＋k2)x.又|OQ|2＝m2＋n2＝(1＋k2)m2，由＝＋，得＝＋，即＝＋＝.由(*)式可知，x1＋x2＝，x1x2＝，所以m2＝.因为点Q在直线y＝kx上，所以k＝，代入m2＝中并化简，得5n2－3m2＝36.由m2＝及k2>3，可知0<m2<3，即m∈(－，0)∪(0，)．根据题意，点Q在圆C内，则n>0，所以n＝＝.于是，n与m的函数关系为n＝(m∈(－，0)∪(0，))．15．H1，C8，E8[2022·四川卷]在平面直角坐标系内，到点A(1，2)，B(1，5)，C(3，6)，D(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．15．(2，4) [解析]在以A，B，C，D为顶点构成的四边形中，由平面几何知识：三角形两边之和大于第三边，可知当动点落在四边形两条对角线AC，BD交点上时，到四个顶点的距离之和最小．AC所在直线方程为y＝2x，BD所在直线方程为y＝－x＋6，交点坐标为(2，4)，即为所求．E9 单元综合 19．D5，E9[2022·广东卷]设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足4Sn＝a－4n－1，n∈N*，且a2，a5，a14构成等比数列．(1)证明：a2＝；(2)求数列{an}的通项公式；-12-\n(3)证明：对一切正整数n，有＋＋…＋<.19．解：1．[2022·恩施月考]“x>0”是“x＋≥2”的( )A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充分且必要条件D．既不充分也不必要条件1．C [解析]当x>0时，x＋≥2＝2.因为x，同号，所以若x＋≥2，则x>0，>0，所以x>0是x＋≥2成立的充要条件，选C.2．[2022·烟台一模]下列命题中，正确的是( )A．若a>b，c>d，则ac>bdB．若ac>bc，则a>bC．若<，则a<bD．若a>b，c>d，则a－c>b－d2．C [解析]对于A，如果在正数条件下正确，但此时不知道它们的正负，所以推理错误；对于B，因为不知道c的具体符号，例如c<0，则ac>bc⇒a<b，所以推理错误；由不等式的性质知C正确；同向不等式作差一般不成立，例如特殊的c＝a，d＝b，a－c>b－d不成立，故选C.3．[2022·银川高三联考]一元二次不等式ax2＋bx＋1＞0的解集为)，则ab的值为( )A．－6B．6C．－5D．53．A [解析]∵ax2＋bx＋1＞0的解集是，∴－1，是方程ax2＋bx＋1＝0的两根，∴⇒∴ab＝－3×2＝－6.4．[2022·云南师大附中月考(三)]已知条件p：x2－3x－4≤0；条件q：x2－6x＋9－m2≤0，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是( )A．[－1，1]B．[－4，4]C．(－∞，－4]∪[4，＋∞)D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)4．C [解析]对于p：－1≤x≤4，对于m讨论如下：当m>0时，q：3－m≤x≤3＋m；当m<0时，q：3＋m≤x≤3－m.若p是q的充分不必要条件，只需要或-12-\n解得m≤－4或m≥4，选C.5．[2022·浙江卷]设a，b∈R，若x≥0时恒有0≤x4－x3＋ax＋b≤(x2－1)2，则ab＝________．5．－1 [解析]当x＝1时，0≤a＋b≤0，则a＋b＝0，b＝－a，令f(x)＝(x2－1)2－(x4－x3＋ax－a)＝x3－2x2－ax＋a＋1，则f(x)≥0在x≥0时恒成立，f(1)＝1－2－a＋a＋1＝0，则x＝1应为极小值点，f′(x)＝3x2－4x－a，故f′(1)＝0，a＝－1，b＝1，ab＝－1.-12-
