统计I1 随机抽样 17．I1，I2[2022·安徽卷]为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取30名高三年级学生，以他们的数学成绩(百分制)作为样本，样本数据的茎叶图如下：甲乙745533253385543331006000112233586622110070022233669754428115582090图1－4(1)若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率(60分及60分以上为及格)；(2)设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为x1，x2，估计x1－x2的值．17．解：(1)设甲校高三年级学生总人数为n，由题意知，＝0.05，即n＝600.样本中甲校高三年级学生数学成绩不及格人数为5，据此估计甲校高三年级此次联考数学成绩及格率为1－＝.(2)设甲、乙两校样本平均数分别为x1′，x2′，根据样本茎叶图可知，30(x1′－x2′)＝30x1′－30x2′＝(7－5)＋(55＋8－14)＋(24－12－65)＋(26－24－79)＋(22－20)＋92＝2＋49－53－77＋2＋92＝15.因此x1′－x2′＝0.5，故x1－x2的估计值为0.5分．3．I1[2022·湖南卷]某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差别，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n＝( )A．9B．10C．12D．133．D [解析]根据抽样比例可得＝，解得n＝13，选D.5．I1[2022·江西卷]总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为( )-12-\n7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 01983204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481A.08B．07C．02D．015．D [解析]选出来的5个个体编号依次为：08，02，14，07，01.故选D.7．I1，I4[2022·四川卷]某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图1－4所示．以组距为5将数据分组成[0，5)，[5，10)，…，[30，35)，[35，40]时，所作的频率分布直方图是( )图1－4图1－57．A [解析]首先注意，组距为5，排除C，D，然后注意到在[0，5)组和[5，10)组中分别只有3和7各一个值，可知排除B.选A.I2 用样本估计总体 17．I1，I2[2022·安徽卷]为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取30名高三年级学生，以他们的数学成绩(百分制)作为样本，样本数据的茎叶图如下：甲乙745533253385543331006000112233586622110070022233669754428115582090-12-\n图1－4(1)若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率(60分及60分以上为及格)；(2)设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为x1，x2，估计x1－x2的值．17．解：(1)设甲校高三年级学生总人数为n，由题意知，＝0.05，即n＝600.样本中甲校高三年级学生数学成绩不及格人数为5，据此估计甲校高三年级此次联考数学成绩及格率为1－＝.(2)设甲、乙两校样本平均数分别为x1′，x2′，根据样本茎叶图可知，30(x1′－x2′)＝30x1′－30x2′＝(7－5)＋(55＋8－14)＋(24－12－65)＋(26－24－79)＋(22－20)＋92＝2＋49－53－77＋2＋92＝15.因此x1′－x2′＝0.5，故x1－x2的估计值为0.5分．16．I2，K1，K2[2022·北京卷]图1－4是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．图1－4(1)求此人到达当日空气质量优良的概率；(2)求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率；(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)16．解：(1)在3月1日至3月13日这13天中，1日、2日、3日、7日、12日、13日共6天的空气质量优良，所以此人到达当日空气质量优良的概率是.(2)根据题意，事件“此人在该市停留期间只有1天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是4日，或5日，或7日，或8日”．所以此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率为.(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．12．I2[2022·湖北卷]某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4则(1)平均命中环数为________；-12-\n(2)命中环数的标准差为________．12．(1)7 (2)2 [解析]＝＝7，标准差σ＝＝2.16．I2[2022·辽宁卷]为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为________．16．10 [解析]由已知可设5个班级参加的人数分别为x1，x2，x3，x4，x5，又S2＝4，x＝7，所以＝4，所以(x1－7)2＋(x2－7)2＋(x3－7)2＋(x4－7)2＋(x5－7)2＝20，即五个完全平方数之和为20，要使其中一个达到最大，之五个数必须是关于0对称分布的，而9＋1＋0＋1＋9＝20，也就是(－3)2＋(－1)2＋02＋12＋32＝20，所以五个班级参加的人数分别为4，6，7，8，10，最大数字为10.5．I2[2022·辽宁卷]某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图1－1，数据的分组依次为：[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是( )图1－1A．45 B．50 C．55 D．605．B [解析]由成绩的频率分布直方图可以得到低于60分的频率为0.3，而低于60分的人数为15人，所以该班的总人数为＝50人．图1－919．B1，I2[2022·新课标全国卷Ⅱ]经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图1－9所示．经销商为下一个销售季度购进了130t该产品．以X(单位：t，100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．(1)将T表示为X的函数；(2)根据直方图估计利润T不少于57000元的概率．-12-\n19．解：(1)当X∈[100，130)时，T＝500X－300(130－X)＝800X－39000.当X∈[130，150]时，T＝500×130＝65000.所以T＝(2)由(1)知利润T不少于57000元当且仅当120≤X≤150.由直方图知需求量X∈[120，150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57000元的概率的估计值为0.7.10．I2[2022·山东卷]将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示．则7个剩余分数的方差为( )87794010x91图1－4A.B.C．36D.10．B [解析]由题得91×7＝87＋90×2＋91×2＋94＋90＋x，解得x＝4，剩余7个数的方差s2＝[(87－91)2＋2(90－91)2＋2(91－91)2＋2(94－91)2]＝.5．I2，K2[2022·陕西卷]对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，图1－1为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20，25)上为一等品，在区间[15，20)和[25，30)上为二等品，在区间[10，15)和[30，35]上为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是( )图1－1A．0.09B．0.20C．0.25D．0.455．D [解析]利用统计图表可知在区间[25，30)上的频率为：1－(0.02＋0.04＋0.06＋0.03)×5＝0.25，在区间[15，20)上的频率为：0.04×5＝0.2，故所抽产品为二等品的概率为0.25＋0.2＝0.45.15．I2，K2[2022·天津卷]某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S＝x＋y＋z评价该产品的等级，若S≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：产品编号A1A2A3A4A5质量指标(1，1，2)(2，1，1)(2，2，2)(1，1，1)(1，2，1)-12-\n(x，y，z)产品编号A6A7A8A9A10质量指标(x，y，z)(1，2，2)(2，1，1)(2，2，1)(1，1，1)(2，1，2)(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；(2)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品，(i)用产品编号列出所有可能的结果；(ii)设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”．求事件B发生的概率．15．解：(1)计算10件产品的综合指标S，如下表：产品编号A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10S4463454535其中S≤4的有A1，A2，A4，A5，A7，A9，共6件，故该样本的一等品率为＝0.6.从而可估计该批产品的一等品率为0.6.(2)(i)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A1，A9}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A2，A9}，{A4，A5}，{A4，A7}，{A4，A9}，{A5，A7}，{A5，A9}，{A7，A9}，共15种．(ii)在该样本的一等品中，综合指标S等于4的产品编号分别为A1，A2，A5，A7，则事件B发生的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A5，A7},共6种．所以P(B)＝＝.18．I2、I5[2022·新课标全国卷Ⅰ]为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药，B药)的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)．试验的观测结果如下：服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：0．6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.52．5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：3．2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.41．6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？(2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？图1－418．解：(1)设A药观测数据的平均数为x，B药观测数据的平均数为y.由观测结果可得x＝(0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9＋3.0＋3.1＋3.2＋3.5)＝2.3，-12-\ny＝(0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8＋1.9＋2.1＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋3.2)＝1.6.由以上计算结果可得x>y,因此可看出A药的疗效更好．(2)由观测结果可绘制如下茎叶图：A药B药60.55689855221.12234678998776543322.1456752103.2从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有的叶集中在茎2，3上，而B药疗效的试验结果有的叶集中在茎0，1上，由此可看出A药的疗效更好．6．I2[2022·重庆卷]图1－2是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间[22，30)内的频率为( )1892122793003图1－2A．0.2B．0.4C．0.5D．0.66．B [解析]由茎叶图可知数据落在区间[22，30)内的频数为4，所以数据落在区间[22，30)内的频率为＝0.4，故选B.I3 正态分布 I4 变量的相关性与统计案例 19．K1，I4[2022·福建卷]某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分别加以统计，得到如图1－4所示的频率分布直方图．-12-\n图1－4(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？附：χ2＝P(χ2≥k)0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.82819．解：(1)由已知得，样本中有“25周岁以上组”工人60名，“25周岁以下组”工人40名．所以，样本中日平均生产件数不足60件的工人中，“25周岁以上组”工人有60×0.05＝3(人)，记为A1，A2，A3；“25周岁以下组”工人有40×0.05＝2(人)，记为B1，B2.从中随机抽取2名工人，所有的可能结果共有10种，它们是：(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)．其中，至少有1名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7种，它们是：(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)．故所求的概率P＝.(2)由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手有60×0.25＝15(人)，“25周岁以下组”中的生产能手有40×0.375＝15(人)，据此可得2×2列联表如下：生产能手非生产能手合计25周岁以上组15456025周岁以下组152540合计3070100所以得K2＝＝＝≈1.79.因为1.79<2.706.所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．11．I4[2022·福建卷]已知x与y之间的几组数据如下表：x123456-12-\ny021334假设根据上表数据所得线性回归直线方程为＝x＋.若某同学根据上表中的前两组数据(1，0)和(2，2)求得的直线方程为y＝b′x＋a′，则以下结论正确的是( )A.>b′，>a′B.>b′，<a′C.<b′，>a′D.<b′，<a′11．C [解析]画出散点图即可，选C.4．I4[2022·湖北卷]四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y与x负相关且＝2.347x－6.423；②y与x负相关且＝－3.476x＋5.648；③y与x正相关且＝5.437x＋8.493；④y与x正相关且＝－4.326x－4.578.其中一定不正确的结论的序号是( )A．①②B．②③C．③④D．①④4．D [解析]r为正时正相关，r为负时负相关，r与k符号相同，故k>0时正相关，k<0时负相关．7.I1，I4[2022·四川卷]某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图1－4所示．以组距为5将数据分组成[0，5)，[5，10)，…，[30，35)，[35，40]时，所作的频率分布直方图是( )图1－4图1－57．A [解析]首先注意，组距为5，排除C，D，然后注意到在[0，5)组和[5，10)组中分别只有3和7各一个值，可知排除B.选A.17．I4[2022·重庆卷]从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi-12-\n(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，算得，a＝y－bx，其中x，y为样本平均值．线性回归方程也可写为＝x＋.17．解：(1)由题意知n＝10，x＝i＝＝8，y＝i＝＝2，又lxx＝iyi－nxy＝184－10×8×2＝24，由此得b＝＝＝0.3，a＝y－bx＝2－0.3×8＝－0.4，故所求回归方程为y＝0.3x－0.4.(2)由于变量y的值随x的值增加而增加(b＝0.3>0)，故x与y之间是正相关．(3)将x＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．I5 单元综合 17．I5[2022·广东卷]从一批苹果中，随机抽取50个，其重量(单位：克)的频数分布表如下：分组(重量)[80，85)[85，90)[90，95)[95，100)频数(个)5102015(1)根据频数分布表计算苹果的重量在[90，95)的频率；(2)用分层抽样的方法从重量在[80，85)和[95，100)的苹果中共抽取4个，其中重量在[80，85)的有几个？(3)在(2)中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80，85)和[95，100)中各有1个的概率．17．解：18．I2、I5[2022·新课标全国卷Ⅰ]为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药，B药)的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)．试验的观测结果如下：服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：0．6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.52．5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：3．2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.41．6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？(2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？-12-\n图1－418．解：(1)设A药观测数据的平均数为x，B药观测数据的平均数为y.由观测结果可得x＝(0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9＋3.0＋3.1＋3.2＋3.5)＝2.3，y＝(0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8＋1.9＋2.1＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋3.2)＝1.6.由以上计算结果可得x>y,因此可看出A药的疗效更好．(2)由观测结果可绘制如下茎叶图：A药B药60.55689855221.12234678998776543322.1456752103.2从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有的叶集中在茎2，3上，而B药疗效的试验结果有的叶集中在茎0，1上，由此可看出A药的疗效更好．1．[2022·宝鸡检测]在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居民显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各选项中，一定符合上述指标的是( )①平均数x≤3；②标准差s≤2；③平均数x≤3且标准差s≤2；④平均数x≤3且极差小于或等于2；⑤众数等于1且极差小于或等于4.A．①②B．③④C．③④⑤D．④⑤1．D [解析]①②③错，④对．若极差等于0或1，在x≤3的条件下显然符合指标，若极差等于2，则有下列可能，(1)0，1，2，(2)1，2，3，(3)2，3，4，(4)3，4，5，(5)4，5，6.在x≤3的条件下，只有(1)(2)(3)成立，符合标准．⑤正确，若众数等于1且极差小于等于4，则最大数不超过5，符合指标，故选D.2．[2022·惠州三调]某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们每场比赛得分的情况用如图K39－1所示的茎叶图表示，则甲、乙两名运动员的中位数分别为( )A．19，13B．13，19C．20，18D．18，20图K39－1-12-\n 图K39－22．A [解析]甲的中位数为19，乙的中位数为13.故选A.3．[2022·青岛一中1月调研]某学生四次模拟考试时，其英语作文的减分情况如下表：考试次数x1234所减分数y4.5432.5显然所减分数y与模拟考试次数x之间有较好的线性相关关系，则其线性回归方程为( )A．y＝0.7x＋5.25B．y＝－0.6x＋5.25C．y＝－0.7x＋6.25D．y＝－0.7x＋5.253．D [解析]由题意可知，所减分数y与模拟考试次数x之间为负相关，所以排除A.考试次数的平均数为x＝(1＋2＋3＋4)＝2.5，所减分数的平均数为y＝(4.5＋4＋3＋2.5)＝3.5，即直线应该过点(2.5，3.5)，代入验证可知直线y＝－0.7x＋5.25成立，选D.[规律解读]线性回归直线方程过点(x，y)是解决此类问题的关键．4．[2022·长治二中月考]在第29届奥运会上，中国运动员取得了51金、21银、28铜的好成绩，稳居世界金牌榜榜首，由此许多人认为中国进入了世界体育强国之列，也有许多人持反对意见，有网友为此进行了调查，在参加调查的2548名男性公民中有1560名持反对意见，2452名女性公民中有1200人持反对意见，在运用这些数据说明中国的奖牌数与中国进入体育强国有无关系时，用什么方法最有说服力( )A．平均数与方差B．回归直线方程C．独立性检验D．概率4．C [解析]根据题意，可以列出列联表，计算K2的值，说明金牌数与体育强国的关系，故用独立性检验最有说服力．5．[2022·乌鲁木齐一诊]某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归直线方程＝0.67x＋54.9.零件数x(个)1020304050加工时间y(min)62758189表中有一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值为________．5．68 [解析]设遮住部分的数据为m，x＝＝30，由＝0.67x＋54.9过点(x，y)，得y＝0.67×30＋54.9＝75，∴＝75，故m＝68.-12-
