立体几何G1 空间几何体的结构 8．G1，G6[2022·北京卷]如图1－2，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为对角线BD1的三等分点，P到各顶点的距离的不同取值有( )图1－2A．3个B．4个C．5个D．6个8．B [解析]设棱长为1，∵BD1＝，∴BP＝，D1P＝.联结AD1，B1D1，CD1，得△ABD1≌△CBD1≌△B1BD1，∴∠ABD1＝∠CBD1＝∠B1BD1，且cos∠ABD1＝，联结AP，PC，PB1，则有△ABP≌△CBP≌△B1BP，∴AP＝CP＝B1P＝，同理DP＝A1P＝C1P＝1，∴P到各顶点的距离的不同取值有4个．18．G1，G4，G5[2022·广东卷]如图1－4(1)，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF折起，得到如图1－4(2)所示的三棱锥A－BCF，其中BC＝.图1－4(1)证明：DE∥平面BCF；(2)证明：CF⊥平面ABF；(3)当AD＝时，求三棱锥F－DEG的体积．18．解：-48-\nG2 空间几何体的三视图和直观图 10．G2，G7[2022·北京卷]某四棱锥的三视图如图1－3所示，该四棱锥的体积为________．图1－310．3 [解析]正视图的长为3，侧视图的长为3，因此，该四棱锥底面是边长为3的正方形，且高为1，因此V＝×(3×3)×1＝3.18．G2，G4[2022·福建卷]如图1－3，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，BC＝5，DC＝3，AD＝4，∠PAD＝60°.(1)当正视方向与向量的方向相同时，画出四棱锥P－ABCD的正视图(要求标出尺寸，并写出演算过程)；(2)若M为PA的中点，求证：DM∥平面PBC；(3)求三棱锥D－PBC的体积．图1－318．解：(1)在梯形ABCD中，过点C作CE⊥AB，垂足为E.由已知得，四边形ADCE为矩形，AE＝CD＝3，在Rt△BEC中，由BC＝5，CE＝4，依勾股定理得BE＝3，从而AB＝6.又由PD⊥平面ABCD得，PD⊥AD.-48-\n从而在Rt△PDA中，由AD＝4，∠PAD＝60°，得PD＝4.正视图如图所示．(2)方法一：取PB中点N，联结MN，CN.在△PAB中，∵M是PA中点，∴MN∥AB，MN＝AB＝3.又CD∥AB，CD＝3，∴MN∥CD，MN＝CD，∴四边形MNCD为平行四边形，∴DM∥CN.又DM平面PBC，CN平面PBC，∴DM∥平面PBC.方法二：取AB的中点E，联结ME，DE.在梯形ABCD中，BE∥CD，且BE＝CD，∴四边形BCDE为平行四边形，∴DE∥BC.又DE平面PBC，BC平面PBC，∴DE∥平面PBC.又在△PAB中，ME∥PB，ME平面PBC，PB平面PBC，∴ME∥平面PBC.又DE∩ME＝E，∴平面DME∥平面PBC.又DM平面DME，∴DM∥平面PBC.(3)VD－PBC＝VP－DBC＝S△DBC·PD，又S△DBC＝6，PD＝4，所以VD－PBC＝8.6．G2[2022·广东卷]某三棱锥的三视图如图1－2所示，则该三棱锥的体积是( )-48-\n图1－2A.B.C.D．16．B [解析]由三视图得三棱锥的高是2，底面是一个腰为1的等腰直角三角形，故体积是××1×1×2＝，选B.5．G2[2022·广东卷]执行如图1－1所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出s的值是( )图1－1A．1B．2C．4D．75．C [解析]1≤3，s＝1＋0＝1，i＝2；2≤3，s＝1＋1＝2，i＝3；s＝2＋2＝4，i＝4；4>3，故输出s＝4，选C.7．G2[2022·湖南卷]已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为的矩形，则该正方体的正视图的面积等于( )A.B．1C.D.7．D [解析]由题可知，其俯视图恰好是正方形，而侧视图和正视图则应该都是正方体的对角面，故面积为，选D.8．G2[2022·江西卷]一几何体的三视图如图1－2所示，则该几何体的体积为( )-48-\n图1－2A．200＋9πB．200＋18πC．140＋9πD．140＋18π8．A [解析]该几何体上面是半圆柱，下面是长方体，半圆柱体积为π·32·2＝9π，长方体体积为10×5×4＝200.故选A.13．G2[2022·辽宁卷]某几何体的三视图如图1－3所示，则该几何体的体积是________．图1－313．16π－16 [解析]由三视图可知该几何体是一个圆柱里面挖去了一个长方体，所以该几何体的体积为V＝4π×4－16＝16π－16.9．G2[2022·新课标全国卷Ⅱ]一个四面体的顶点在空间直角坐标系O－xyz中的坐标分别是(1，0，1)，(1，1，0)，(0，1，1)，(0，0，0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为( )图1－39．A [解析]在空间直角坐标系O－xyz中画出三棱锥，由已知可知三棱锥O－ABC为题中所描叙的四面体，而其在zOx平面上的投影为正方形EBDO，故选A.图1－44．G2[2022·山东卷]-48-\n一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正(主)视图如图1－1所示，则该四棱锥侧面积和体积分别是( )图1－1A．4，8B．4，C．4(＋1)，D．8，84．B [解析]由正视图知该几何体的高为2，底面边长为2，斜高为＝，∴侧面积＝4××2×＝4，体积为×2×2×2＝.12．G2[2022·陕西卷]某几何体的三视图如图1－2所示，则其表面积为________．图1－212．3π [解析]由三视图得该几何体为半径为1的半个球，则表面积为半球面＋底面圆，代入数据计算为S＝×4π×12＋π×12＝3π.11．G2[2022·新课标全国卷Ⅰ]某几何体的三视图如图1－3所示，则该几何体的体积为( )图1－3A．16＋8πB．8＋8πC．16＋16πD．8＋16π11．A [解析]该空间几何体的下半部分是一个底面半径为2，母线长为4的半圆柱，上半部分是一个底面边长为2、高为4的正四棱柱．这个空间几何体的体积是×π×4×4＋2×2×4＝16＋8π.5．G2[2022·浙江卷]已知某几何体的三视图(单位：cm)如图1－1所示，则该几何体的体积是( )-48-\n图1－1A．108cm3B．100cm3C．92cm3D．84cm35．B [解析]此直观图是由一个长方体挖去一个三棱锥而得，如图所示其体积为3×6×6－××3×4×4＝108－8＝100(cm3)．所以选择B.19．G2和G5[2022·重庆卷]如图1－4所示，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝2，BC＝CD＝2，∠ACB＝∠ACD＝.(1)求证：BD⊥平面PAC；(2)若侧棱PC上的点F满足PF＝7FC，求三棱锥P－BDF的体积．图1－419．解：(1)证明：因为BC＝CD，即△BCD为等腰三角形，又∠ACB＝∠ACD，故BD⊥AC.因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥BD，从而BD与平面PAC内两条相交直线PA，AC都垂直，所以BD⊥平面PAC.(2)三棱锥P－BCD的底面BCD的面积S△BCD＝BC·CD·sin∠BCD＝·2·2·sin＝.由PA⊥底面ABCD，得VP－BCD＝·S△BCD·PA＝××2＝2.由PF＝7FC，得三棱锥F－BCD的高为PA，故VF－BCD＝·S△BCD·PA＝×××2＝-48-\n，所以VP－BDF＝VP－BCD－VF－BCD＝2－＝.8．G2和G7[2022·重庆卷]某几何体的三视图如图1－3所示，则该几何体的表面积为( )图1－3A．180B．200C．220D．2408．D [解析]该几何体为直四棱柱，其高为10，底面是上底为2，下底为8，高为4，其腰为5的等腰梯形，所以底面面积和为(2＋8)×4×2＝40.四个侧面的面积和为(2＋8＋5×2)×10＝200，所以该直四棱柱的表面积为S＝40＋200＝240，故选D.G3 平面的基本性质、空间两条直线 G4 空间中的平行关系 17．G4，G5，G7[2022·北京卷]如图1－5，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点．求证：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.图1－517．证明：(1)因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA⊥底面ABCD.-48-\n(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE，且AB＝DE，所以ABED为平行四边形，所以BE∥AD.又因为BE平面PAD，AD平面PAD，所以BE∥平面PAD.(3)因为AB⊥AD，而且ABED为平行四边形，所以BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD.又因为AD∩PA＝A，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PD∥EF，所以CD⊥EF，所以CD⊥平面BEF，所以平面BEF⊥平面PCD.18．G2，G4[2022·福建卷]如图1－3，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，BC＝5，DC＝3，AD＝4，∠PAD＝60°.(1)当正视方向与向量的方向相同时，画出四棱锥P－ABCD的正视图(要求标出尺寸，并写出演算过程)；(2)若M为PA的中点，求证：DM∥平面PBC；(3)求三棱锥D－PBC的体积．图1－318．解：(1)在梯形ABCD中，过点C作CE⊥AB，垂足为E.由已知得，四边形ADCE为矩形，AE＝CD＝3，在Rt△BEC中，由BC＝5，CE＝4，依勾股定理得BE＝3，从而AB＝6.又由PD⊥平面ABCD得，PD⊥AD.从而在Rt△PDA中，由AD＝4，∠PAD＝60°，得PD＝4.-48-\n正视图如图所示．(2)方法一：取PB中点N，联结MN，CN.在△PAB中，∵M是PA中点，∴MN∥AB，MN＝AB＝3.又CD∥AB，CD＝3，∴MN∥CD，MN＝CD，∴四边形MNCD为平行四边形，∴DM∥CN.又DM平面PBC，CN平面PBC，∴DM∥平面PBC.方法二：取AB的中点E，联结ME，DE.在梯形ABCD中，BE∥CD，且BE＝CD，∴四边形BCDE为平行四边形，∴DE∥BC.又DE平面PBC，BC平面PBC，∴DE∥平面PBC.又在△PAB中，ME∥PB，ME平面PBC，PB平面PBC，∴ME∥平面PBC.又DE∩ME＝E，∴平面DME∥平面PBC.又DM平面DME，∴DM∥平面PBC.(3)VD－PBC＝VP－DBC＝S△DBC·PD，又S△DBC＝6，PD＝4，所以VD－PBC＝8.18．G1，G4，G5[2022·广东卷]如图1－4(1)，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF折起，得到如图-48-\n1－4(2)所示的三棱锥A－BCF，其中BC＝.图1－4(1)证明：DE∥平面BCF；(2)证明：CF⊥平面ABF；(3)当AD＝时，求三棱锥F－DEG的体积．18．解：8．G4、G5[2022·广东卷]设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β8．B [解析]根据空间平行、垂直关系的判定和性质，易知选B.16．G4，G5[2022·江苏卷]如图1－2，在三棱锥S－ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB.过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：(1)平面EFG∥平面ABC；(2)BC⊥SA.图1－216．证明：(1)因为AS＝AB，AF⊥SB，垂足为F，所以F是SB的中点．又因为E是SA的中点，所以EF∥AB.因为EF平面ABC，AB平面ABC，所以EF∥平面ABC.同理EG∥平面ABC.又EF∩EG＝E，所以平面EFG∥平面ABC.-48-\n(2)因为平面SAB⊥平面SBC，且交线为SB，又AF平面SAB，AF⊥SB，所以AF⊥平面SBC.因为BC平面SBC，所以AF⊥BC.又因为AB⊥BC，AF∩AB＝A，AF，AB平面SAB，所以BC⊥平面SAB.因为SA平面SAB，所以BC⊥SA.15．G4[2022·江西卷]如图1－5所示，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________．图1－515．4 [解析]直线EF与正方体左右两个面平行，与其他四个面相交．图1－418．G4，G5[2022·辽宁卷]如图1－4，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点．(1)求证：BC⊥平面PAC；(2)设Q为PA的中点，G为△AOC的重心，求证：QG∥平面PBC.18．证明：(1)由AB是圆O的直径，得AC⊥BC.由PA⊥平面ABC，BC平面ABC，得PA⊥BC.又PA∩AC＝A，PA平面PAC，AC平面PAC，所以BC⊥平面PAC.(2)联结OG并延长交AC于M，联结QM，QO，由G为△AOC的重心，得M为AC中点，由Q为PA中点，得QM∥PC.又O为AB中点，得OM∥BC.因为QM∩MO＝M，QM平面QMO.MO平面QMO，BC∩PC＝C，BC平面PBC，PC平面PBC，所以平面QMO∥平面PBC.因为QG平面QMO，所以QG∥平面PBC.-48-\n18．G4，G7，G11[2022·新课标全国卷Ⅱ]如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点．(1)证明：BC1∥平面A1CD；(2)设AA1＝AC＝CB＝2，AB＝2，求三棱锥C－A1DE的体积．图1－718．解：(1)证明：联结AC1交A1C于点F，则F为AC1中点．又D是AB中点，联结DF，则BC1∥DF.因为DF平面A1CD，BC1平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.图1－8(2)因为ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥CD.由已知AC＝CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB.又AA1∩AB＝A，于是CD⊥平面ABB1A1.由AA1＝AC＝CB＝2，AB＝2得∠ACB＝90°，CD＝，A1D＝，DE＝，A1E＝3，故A1D2＋DE2＝A1E2，即DE⊥A1D.所以VC－A1DE＝××××＝1.19．G4，G5[2022·山东卷]如图1－5，四棱锥P—ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．(1)求证：CE∥平面PAD；(2)求证：平面EFG⊥平面EMN.图1－6-48-\n19．证明：(1)证法一：取PA的中点H，联结EH，DH.因为E为PB的中点，所以EH∥AB，EH＝AB.又AB∥CD，CD＝AB，所以EH∥CD，EH＝CD.因此四边形DCEH是平行四边形．所以CE∥DH.又DH平面PAD，CE平面PAD，因此CE∥平面PAD.证法二：联结CF.因为F为AB的中点，所以AF＝AB.又CD＝AB，所以AF＝CD.又AF∥CD，所以四边形AFCD为平行四边形．因此CF∥AD.又CF平面PAD，所以CF∥平面PAD.因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥PA.又EF平面PAD，所以EF∥平面PAD.因为CF∩EF＝F，故平面CEF∥平面PAD.又CE平面CEF，所以CE∥平面PAD.(2)因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥PA.又AB⊥PA，所以AB⊥EF.同理可证AB⊥FG.又EF∩FG＝F，EF平面EFG，FG平面EFG，因此AB⊥平面EFG.又M，N分别为PD，PC的中点，-48-\n所以MN∥CD.又AB∥CD，所以MN∥AB，因此MN⊥平面EFG.又MN平面EMN，所以平面EFG⊥平面EMN.18．G4，G11[2022·陕西卷]如图1－5，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O⊥底面ABCD，AB＝AA1＝.图1－5(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；(2)求三棱柱ABD－A1B1D1的体积．18．解：(1)证明：由题设知，BB1-48-\n瘙綊DD1，∴四边形BB1D1D是平行四边形，∴BD∥B1D1.又BD平面CD1B1，∴BD∥平面CD1B1.∵A1D1-48-\n瘙綊B1C1-48-\n瘙綊BC，∴四边形A1BCD1是平行四边形，∴A1B∥D1C.又A1B平面CD1B1，∴A1B∥平面CD1B1.又∵BD∩A1B＝B，∴平面A1BD∥平面CD1B1.(2)∵A1O⊥平面ABCD，∴A1O是三棱柱ABD－A1B1D1的高．又∵AO＝AC＝1，AA1＝，∴A1O＝＝1，又∵S△ABD＝××＝1，∴VABD－A1B1D1＝S△ABD·A1O＝1.19．G4，G5，G7，G11[2022·四川卷]图1－8如图1－8，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝2AA1＝2，∠BAC＝120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD上异于端点的点．(1)在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD1A1；(2)设(1)中的直线l交AC于点Q，求三棱锥A1－QC1D的体积．(锥体体积公式：V＝Sh，其中S为底面面积，h为高)19．解：(1)如图，在平面ABC内，过点P作直线l∥BC，因为l在平面A1BC外，BC在平面A1BC内，由直线与平面平行的判定定理可知，l∥平面A1BC.由已知，AB＝AC，D是BC的中点，所以，BC⊥AD，则直线l⊥AD.因此AA1⊥平面ABC，所以AA1⊥直线l.又因为AD，AA1在平面ADD1A1内，且AD与AA1相交，所以直线l⊥平面ADD1A1.(2)过D作DE⊥AC于E.因为AA1⊥平面ABC，所以DE⊥AA1.又因为AC，AA1在平面AA1C1C内，且AC与AA1相交，所以DE⊥平面AA1C1C.由AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，有AD＝1，∠DAC＝60°，-48-\n所以在△ACD中，DE＝AD＝.又S△A1QC1＝A1C1·AA1＝1，所以VA1－QC1D＝VD－A1QC1＝DE·S△A1QC1＝××1＝.因此三棱锥A1－QC1D的体积是.17．G4，G5、G11[2022·天津卷]如图1－3所示，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱A1A⊥底面ABC，且各棱长均相等，D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点．(1)证明EF∥平面A1CD；(2)证明平面A1CD⊥平面A1ABB1；(3)求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值．图1－317．解：(1)证明：如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AC∥A1C1，且AC＝A1C1，联结ED，在△ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，所以DE＝AC且DE∥AC，又因为F为A1C1的中点，可得A1F＝DE，且A1F∥DE，即四边形A1DEF为平行四边形，所以EF∥DA1.又EF平面A1CD，DA1平面A1CD，所以，EF∥平面A1CD.(2)证明：由于底面ABC是正三角形，D为AB的中点，故CD⊥AB，又由于侧棱AA1⊥底面ABC，CD平面ABC，所以A1A⊥CD，又A1A∩AB＝A，因此CD⊥平面A1ABB1，而CD平面A1CD，所以平面A1CD⊥平面A1ABB1.(3)在平面A1ABB1内，过点B作BG⊥A1D交直线A1D于点G，联结CG，由于平面A1CD⊥平面A1ABB1，而直线A1D是平面A1CD与平面A1ABB1的交线，故BG⊥平面A1CD，由此得∠BCG为直线BC与平面A1CD所成的角．设三棱柱各棱长为a，可得A1D＝，由△A1AD∽△BGD，易得BG＝.在Rt△BGC中，sin∠BCG＝＝.所以直线BC与平面A1CD所成角的正弦值为.4．G4，G5[2022·浙江卷]设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面( )-48-\nA．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β4．C [解析]对于选项C，若m∥n，m⊥α，易得n⊥α.所以选择C.G5 空间中的垂直关系 图1－518．G5[2022·安徽卷]如图1－5，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，已知PB＝PD＝2，PA＝.(1)证明：PC⊥BD；(2)若E为PA的中点，求三棱锥P－BCE的体积．18．解：(1)证明：联结AC，交BD于O点，联结PO.因为底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD，BO＝DO.由PB＝PD知，PO⊥BD.再由PO∩AC＝O知，BD⊥面APC，又PC平面APC，因此BD⊥PC.(2)因为E是PA的中点，所以VP－BCE＝VC－PEB＝VC－PAB＝VB－APC.由PB＝PD＝AB＝AD＝2知，△ABD≌△PBD.因为∠BAD＝60°，所以PO＝AO＝，AC＝2，BO＝1.又PA＝，故PO2＋AO2＝PA2，即PO⊥AC.故S△APC＝PO·AC＝3.由(1)知，BO⊥面APC，因此VP－BCE＝VB－APC＝··S△APC·BO＝.17．G4，G5，G7[2022·北京卷]如图1－5，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点．求证：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.-48-\n图1－517．证明：(1)因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA⊥底面ABCD.(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE，且AB＝DE，所以ABED为平行四边形，所以BE∥AD.又因为BE平面PAD，AD平面PAD，所以BE∥平面PAD.(3)因为AB⊥AD，而且ABED为平行四边形，所以BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD.又因为AD∩PA＝A，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PD∥EF，所以CD⊥EF，所以CD⊥平面BEF，所以平面BEF⊥平面PCD.19．G5、G11[2022·全国卷]如图1－3所示，四棱锥P—ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，△PAB和△PAD都是边长为2的等边三角形．图1－3(1)证明：PB⊥CD；(2)求点A到平面PCD的距离．19．解：(1)证明：取BC的中点E，联结DE，则四边形ABED为正方形．过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O.联结OA，OB，OD，OE.由△PAB和△PAD都是等边三角形知PA＝PB＝PD，所以OA＝OB＝OD，即点O为正方形ABED对角线的交点．故OE⊥BD，从而PB⊥OE.因为O是BD的中点，E是BC的中点，所以OE∥CD.因此PB⊥CD.-48-\n(2)取PD的中点F，联结OF，则OF∥PB.由(1)知，PB⊥CD，故OF⊥CD.又OD＝BD＝，OP＝＝，故△POD为等腰三角形，因此OF⊥PD.又PD∩CD＝D，所以OF⊥平面PCD.因为AE∥CD，CD平面PCD，AE平面PCD，所以AE∥平面PCD.因此O到平面PCD的距离OF就是A到平面PCD的距离，而OF＝PB＝1，所以点A到平面PCD的距离为1.18．G1，G4，G5[2022·广东卷]如图1－4(1)，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF折起，得到如图1－4(2)所示的三棱锥A－BCF，其中BC＝.图1－4(1)证明：DE∥平面BCF；(2)证明：CF⊥平面ABF；(3)当AD＝时，求三棱锥F－DEG的体积．18．解：8．G4、G5[2022·广东卷]设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β8．B [解析]根据空间平行、垂直关系的判定和性质，易知选B.16．G4，G5[2022·江苏卷]如图1－2，在三棱锥S－ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB.过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：(1)平面EFG∥平面ABC；(2)BC⊥SA.-48-\n图1－216．证明：(1)因为AS＝AB，AF⊥SB，垂足为F，所以F是SB的中点．又因为E是SA的中点，所以EF∥AB.因为EF平面ABC，AB平面ABC，所以EF∥平面ABC.同理EG∥平面ABC.又EF∩EG＝E，所以平面EFG∥平面ABC.(2)因为平面SAB⊥平面SBC，且交线为SB，又AF平面SAB，AF⊥SB，所以AF⊥平面SBC.因为BC平面SBC，所以AF⊥BC.又因为AB⊥BC，AF∩AB＝A，AF，AB平面SAB，所以BC⊥平面SAB.因为SA平面SAB，所以BC⊥SA.19．G5，G7[2022·江西卷]如图1－7所示，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝2，AD＝，AA1＝3，E为CD上一点，DE＝1，EC＝3.(1)证明：BE⊥平面BB1C1C；(2)求点B1到平面EA1C1的距离．图1－719．解：(1)证明：过B作CD的垂线交CD于F，则BF＝AD＝，EF＝AB－DE＝1，FC＝2.在Rt△BEF中，BE＝.在Rt△CFB中，BC＝.在△BEC中，因为BE2＋BC2＝9＝EC2，故BE⊥BC.由BB1⊥平面ABCD得BE⊥BB1.-48-\n所以BE⊥平面BB1C1C.(2)三棱锥E－A1B1C1的体积V＝·AA1·S△A1B1C1＝.在Rt△A1D1C1中，A1C1＝＝3.同理，EC1＝＝3，A1E＝＝2.故S△A1C1E＝3.设点B1到平面EA1C1的距离为d，则三棱锥B1－A1C1E的体积V＝·d·S△A1C1E＝d，从而d＝，d＝.图1－418．G4，G5[2022·辽宁卷]如图1－4，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点．(1)求证：BC⊥平面PAC；(2)设Q为PA的中点，G为△AOC的重心，求证：QG∥平面PBC.18．证明：(1)由AB是圆O的直径，得AC⊥BC.由PA⊥平面ABC，BC平面ABC，得PA⊥BC.又PA∩AC＝A，PA平面PAC，AC平面PAC，所以BC⊥平面PAC.(2)联结OG并延长交AC于M，联结QM，QO，由G为△AOC的重心，得M为AC中点，由Q为PA中点，得QM∥PC.又O为AB中点，得OM∥BC.因为QM∩MO＝M，QM平面QMO.MO平面QMO，BC∩PC＝C，BC平面PBC，PC平面PBC，所以平面QMO∥平面PBC.因为QG平面QMO，所以QG∥平面PBC.19．G4，G5[2022·山东卷]如图1－5，四棱锥P—ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．-48-\n(1)求证：CE∥平面PAD；(2)求证：平面EFG⊥平面EMN.图1－619．证明：(1)证法一：取PA的中点H，联结EH，DH.因为E为PB的中点，所以EH∥AB，EH＝AB.又AB∥CD，CD＝AB，所以EH∥CD，EH＝CD.因此四边形DCEH是平行四边形．所以CE∥DH.又DH平面PAD，CE平面PAD，因此CE∥平面PAD.证法二：联结CF.因为F为AB的中点，所以AF＝AB.又CD＝AB，所以AF＝CD.又AF∥CD，所以四边形AFCD为平行四边形．因此CF∥AD.又CF平面PAD，所以CF∥平面PAD.因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥PA.又EF平面PAD，-48-\n所以EF∥平面PAD.因为CF∩EF＝F，故平面CEF∥平面PAD.又CE平面CEF，所以CE∥平面PAD.(2)因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥PA.又AB⊥PA，所以AB⊥EF.同理可证AB⊥FG.又EF∩FG＝F，EF平面EFG，FG平面EFG，因此AB⊥平面EFG.又M，N分别为PD，PC的中点，所以MN∥CD.又AB∥CD，所以MN∥AB，因此MN⊥平面EFG.又MN平面EMN，所以平面EFG⊥平面EMN.19．G4，G5，G7，G11[2022·四川卷]图1－8如图1－8，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝2AA1＝2，∠BAC＝120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD上异于端点的点．(1)在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD1A1；(2)设(1)中的直线l交AC于点Q，求三棱锥A1－QC1D的体积．(锥体体积公式：V＝Sh，其中S为底面面积，h为高)19．解：(1)如图，在平面ABC内，过点P作直线l∥BC，因为l在平面A1BC外，BC在平面A1BC内，由直线与平面平行的判定定理可知，l∥平面A1BC.由已知，AB＝AC，D是BC的中点，所以，BC⊥AD，则直线l⊥AD.因此AA1⊥平面ABC，所以AA1⊥直线l.又因为AD，AA1在平面ADD1A1内，且AD与AA1相交，所以直线l⊥平面ADD1A1.(2)过D作DE⊥AC于E.-48-\n因为AA1⊥平面ABC，所以DE⊥AA1.又因为AC，AA1在平面AA1C1C内，且AC与AA1相交，所以DE⊥平面AA1C1C.由AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，有AD＝1，∠DAC＝60°，所以在△ACD中，DE＝AD＝.又S△A1QC1＝A1C1·AA1＝1，所以VA1－QC1D＝VD－A1QC1＝DE·S△A1QC1＝××1＝.因此三棱锥A1－QC1D的体积是.17．G4，G5、G11[2022·天津卷]如图1－3所示，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱A1A⊥底面ABC，且各棱长均相等，D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点．(1)证明EF∥平面A1CD；(2)证明平面A1CD⊥平面A1ABB1；(3)求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值．图1－317．解：(1)证明：如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AC∥A1C1，且AC＝A1C1，联结ED，在△ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，所以DE＝AC且DE∥AC，又因为F为A1C1的中点，可得A1F＝DE，且A1F∥DE，即四边形A1DEF为平行四边形，所以EF∥DA1.又EF平面A1CD，DA1平面A1CD，所以，EF∥平面A1CD.(2)证明：由于底面ABC是正三角形，D为AB的中点，故CD⊥AB，又由于侧棱AA1⊥底面ABC，CD平面ABC，所以A1A⊥CD，又A1A∩AB＝A，因此CD⊥平面A1ABB1，而CD平面A1CD，所以平面A1CD⊥平面A1ABB1.(3)在平面A1ABB1内，过点B作BG⊥A1D交直线A1D于点G，联结CG，由于平面A1CD⊥平面A1ABB1，而直线A1D是平面A1CD与平面A1ABB1的交线，故BG⊥平面A1CD，由此得∠BCG为直线BC与平面A1CD所成的角．设三棱柱各棱长为a，可得A1D＝，由△A1AD∽△BGD，易得BG＝.在Rt△BGC中，sin∠BCG＝＝.-48-\n所以直线BC与平面A1CD所成角的正弦值为.19．G5[2022·新课标全国卷Ⅰ]如图1－5所示，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)若AB＝CB＝2，A1C＝，求三棱柱ABC－A1B1C1的体积．图1－519．解：(1)取AB的中点O，联结OC，OA1，A1B，因为CA＝CB，所以OC⊥AB.由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB.因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C.又A1C平面OA1C，故AB⊥A1C.(2)由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形，所以OC＝OA1＝.又A1C＝，则A1C2＝OC2＋OA，故OA1⊥OC.因为OC∩AB＝O，所以OA1⊥平面ABC，OA1为三棱柱ABC－A1B1C1的高．又△ABC的面积S△ABC＝，故三棱柱ABC－A1B1C1的体积V＝S△ABC·OA1＝3.4．G4，G5[2022·浙江卷]设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面( )A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β4．C [解析]对于选项C，若m∥n，m⊥α，易得n⊥α.所以选择C.19．G2和G5[2022·重庆卷]如图1－4所示，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝2，BC＝CD＝2，∠ACB＝∠ACD＝.(1)求证：BD⊥平面PAC；(2)若侧棱PC上的点F满足PF＝7FC，求三棱锥P－BDF的体积．-48-\n图1－419．解：(1)证明：因为BC＝CD，即△BCD为等腰三角形，又∠ACB＝∠ACD，故BD⊥AC.因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥BD，从而BD与平面PAC内两条相交直线PA，AC都垂直，所以BD⊥平面PAC.(2)三棱锥P－BCD的底面BCD的面积S△BCD＝BC·CD·sin∠BCD＝·2·2·sin＝.由PA⊥底面ABCD，得VP－BCD＝·S△BCD·PA＝××2＝2.由PF＝7FC，得三棱锥F－BCD的高为PA，故VF－BCD＝·S△BCD·PA＝×××2＝，所以VP－BDF＝VP－BCD－VF－BCD＝2－＝.G6 三垂线定理 8．G1，G6[2022·北京卷]如图1－2，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为对角线BD1的三等分点，P到各顶点的距离的不同取值有( )图1－2A．3个B．4个C．5个D．6个8．B [解析]设棱长为1，∵BD1＝，∴BP＝，D1P＝.联结AD1，B1D1，CD1，得△ABD1≌△CBD1≌△B1BD1，∴∠ABD1＝∠CBD1＝∠B1BD1，且cos∠ABD1＝，联结AP，PC，PB1，则有△ABP≌△CBP≌△B1BP，∴AP＝CP＝B1P＝，同理DP＝A1P＝C1P＝1，∴P到各顶点的距离的不同取值有4个．G7 棱柱与棱锥 -48-\n17．G4，G5，G7[2022·北京卷]如图1－5，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点．求证：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.图1－517．证明：(1)因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA⊥底面ABCD.(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE，且AB＝DE，所以ABED为平行四边形，所以BE∥AD.又因为BE平面PAD，AD平面PAD，所以BE∥平面PAD.(3)因为AB⊥AD，而且ABED为平行四边形，所以BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD.又因为AD∩PA＝A，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PD∥EF，所以CD⊥EF，所以CD⊥平面BEF，所以平面BEF⊥平面PCD.10．G2，G7[2022·北京卷]某四棱锥的三视图如图1－3所示，该四棱锥的体积为________．图1－310．3 [解析]正视图的长为3，侧视图的长为3，因此，该四棱锥底面是边长为3的正方形，且高为1，因此V＝×(3×3)×1＝3.-48-\n8．G7[2022·江苏卷]如图1－1，在三棱柱A1B1C1－ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F－ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1－ABC的体积为V2，则V1∶V2＝________．图1－18．1∶24 [解析]设三棱柱的底面积为S，高为h，则V2＝Sh，又D，E，F分别为AB，AC，AA1的中点，所以S△AED＝S，且三棱锥F－ADE的高为h，故V1＝S△AED·h＝·S·h＝Sh，所以V1∶V2＝1∶24.19．G5，G7[2022·江西卷]如图1－7所示，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝2，AD＝，AA1＝3，E为CD上一点，DE＝1，EC＝3.(1)证明：BE⊥平面BB1C1C；(2)求点B1到平面EA1C1的距离．图1－719．解：(1)证明：过B作CD的垂线交CD于F，则BF＝AD＝，EF＝AB－DE＝1，FC＝2.在Rt△BEF中，BE＝.在Rt△CFB中，BC＝.在△BEC中，因为BE2＋BC2＝9＝EC2，故BE⊥BC.由BB1⊥平面ABCD得BE⊥BB1.所以BE⊥平面BB1C1C.(2)三棱锥E－A1B1C1的体积V＝·AA1·S△A1B1C1＝.在Rt△A1D1C1中，A1C1＝＝3.同理，EC1＝＝3，A1E＝＝2.故S△A1C1E＝3.设点B1到平面EA1C1的距离为d，则三棱锥B1－A1C1E的体积-48-\nV＝·d·S△A1C1E＝d，从而d＝，d＝.18．G4，G7，G11[2022·新课标全国卷Ⅱ]如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点．(1)证明：BC1∥平面A1CD；(2)设AA1＝AC＝CB＝2，AB＝2，求三棱锥C－A1DE的体积．图1－718．解：(1)证明：联结AC1交A1C于点F，则F为AC1中点．又D是AB中点，联结DF，则BC1∥DF.因为DF平面A1CD，BC1平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.图1－8(2)因为ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥CD.由已知AC＝CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB.又AA1∩AB＝A，于是CD⊥平面ABB1A1.由AA1＝AC＝CB＝2，AB＝2得∠ACB＝90°，CD＝，A1D＝，DE＝，A1E＝3，故A1D2＋DE2＝A1E2，即DE⊥A1D.所以VC－A1DE＝××××＝1.19．G4，G5，G7，G11[2022·四川卷]图1－8如图1－8，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝2AA1＝2，∠BAC＝120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD上异于端点的点．(1)在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD1A1；-48-\n(2)设(1)中的直线l交AC于点Q，求三棱锥A1－QC1D的体积．(锥体体积公式：V＝Sh，其中S为底面面积，h为高)19．解：(1)如图，在平面ABC内，过点P作直线l∥BC，因为l在平面A1BC外，BC在平面A1BC内，由直线与平面平行的判定定理可知，l∥平面A1BC.由已知，AB＝AC，D是BC的中点，所以，BC⊥AD，则直线l⊥AD.因此AA1⊥平面ABC，所以AA1⊥直线l.又因为AD，AA1在平面ADD1A1内，且AD与AA1相交，所以直线l⊥平面ADD1A1.(2)过D作DE⊥AC于E.因为AA1⊥平面ABC，所以DE⊥AA1.又因为AC，AA1在平面AA1C1C内，且AC与AA1相交，所以DE⊥平面AA1C1C.由AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，有AD＝1，∠DAC＝60°，所以在△ACD中，DE＝AD＝.又S△A1QC1＝A1C1·AA1＝1，所以VA1－QC1D＝VD－A1QC1＝DE·S△A1QC1＝××1＝.因此三棱锥A1－QC1D的体积是.8．G2和G7[2022·重庆卷]某几何体的三视图如图1－3所示，则该几何体的表面积为( )图1－3A．180B．200C．220D．2408．D [解析]该几何体为直四棱柱，其高为10，底面是上底为2，下底为8，高为4，其腰为5的等腰梯形，所以底面面积和为(2＋8)×4×2＝40.四个侧面的面积和为(2＋8＋5×2)×10＝200，所以该直四棱柱的表面积为S＝40＋200＝240，故选D.-48-\nG8 多面体与球 10．G8[2022·天津卷]已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为，则正方体的棱长为________．10. [解析]设正方体的棱长为a，则π＝π，解之得a＝.15．G8[2022·新课标全国卷Ⅱ]已知正四棱锥O－ABCD的体积为，底面边长为，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为________．15．24π [解析]设O到底面的距离为h，则×3×h＝h＝，OA＝＝，故球的表面积为4π×()2＝24π.16．G8[2022·湖北卷]我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是________寸．(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸)16．3 [解析]积水深度为盆深的一半，故此时积水部分的圆台上底面直径为二尺，圆台的高为九寸，故此时积水的体积是π(102＋62＋10×6)×9＝196×3π(立方寸)，盆口的面积是π×142＝196π，所以平均降雨量是＝3寸．15．G8[2022·新课标全国卷Ⅰ]已知H是球O的直径AB上一点，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为________．15. [解析]截面为圆，由已知得该圆的半径为1.设球的半径为r，则AH＝r，所以OH＝r，所以r2＋12＝r2，r2＝，所以球的表面积是4πr2＝.G9 空间向量及运算 G10 空间向量解决线面位置关系 G11 空间有与距离的求法 -48-\n19．G5、G11[2022·全国卷]如图1－3所示，四棱锥P—ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，△PAB和△PAD都是边长为2的等边三角形．图1－3(1)证明：PB⊥CD；(2)求点A到平面PCD的距离．19．解：(1)证明：取BC的中点E，联结DE，则四边形ABED为正方形．过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O.联结OA，OB，OD，OE.由△PAB和△PAD都是等边三角形知PA＝PB＝PD，所以OA＝OB＝OD，即点O为正方形ABED对角线的交点．故OE⊥BD，从而PB⊥OE.因为O是BD的中点，E是BC的中点，所以OE∥CD.因此PB⊥CD.(2)取PD的中点F，联结OF，则OF∥PB.由(1)知，PB⊥CD，故OF⊥CD.又OD＝BD＝，OP＝＝，故△POD为等腰三角形，因此OF⊥PD.又PD∩CD＝D，所以OF⊥平面PCD.因为AE∥CD，CD平面PCD，AE平面PCD，所以AE∥平面PCD.因此O到平面PCD的距离OF就是A到平面PCD的距离，而OF＝PB＝1，所以点A到平面PCD的距离为1.11．G11[2022·全国卷]已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于( )A.B.C.D.11．A [解析]如图，联结AC，交BD于点O.由于BO⊥OC，BO⊥CC1，可得BO⊥平面OCC1，从而平面OCC1⊥平面BDC1，过点C作OC1的垂线交OC1于点E，根据面面垂直的性质定理可得CE⊥平面BDC1，∠CDE即为所求的线面角．设AB＝2，则OC＝，OC1＝＝3，所以CE＝＝＝，所以sin∠CDE＝＝.-48-\n22．G11[2022·江苏卷]如图1－2所示，在直三棱柱A1B1C1－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点．(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；(2)求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值．图1－222．解：(1)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，D(1，1，0)，A1(0，0，4)，C1(0，2，4)，所以＝(2，0，－4)，＝(1，－1，－4)．因为cos〈，〉＝＝＝，所以异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为.(2)设平面ADC1的法向量为n1＝(x，y，z)，因为＝(1，1，0)，＝(0，2，4)，所以n1·＝0，n1·＝0，即x＋y＝0且y＋2z＝0，取z＝1，得x＝2，y＝－2，所以，n1＝(2，－2，1)是平面ADC1的一个法向量．取平面AA1B的一个法向量为n2＝(0，1，0)，设平面ADC1与平面ABA1所成二面角的大小为θ.-48-\n由|cosθ|＝＝＝，得sinθ＝.因此，平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值为.18．G4，G7，G11[2022·新课标全国卷Ⅱ]如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点．(1)证明：BC1∥平面A1CD；(2)设AA1＝AC＝CB＝2，AB＝2，求三棱锥C－A1DE的体积．图1－718．解：(1)证明：联结AC1交A1C于点F，则F为AC1中点．又D是AB中点，联结DF，则BC1∥DF.因为DF平面A1CD，BC1平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.图1－8(2)因为ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥CD.由已知AC＝CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB.又AA1∩AB＝A，于是CD⊥平面ABB1A1.由AA1＝AC＝CB＝2，AB＝2得∠ACB＝90°，CD＝，A1D＝，DE＝，A1E＝3，故A1D2＋DE2＝A1E2，即DE⊥A1D.所以VC－A1DE＝××××＝1.18．G4，G11[2022·陕西卷]如图1－5，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O⊥底面ABCD，AB＝AA1＝.图1－5(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；(2)求三棱柱ABD－A1B1D1的体积．18．解：(1)证明：由题设知，BB1-48-\n瘙綊DD1，∴四边形BB1D1D是平行四边形，∴BD∥B1D1.又BD平面CD1B1，∴BD∥平面CD1B1.∵A1D1-48-\n瘙1C1-48-\n瘙綊BC，∴四边形A1BCD1是平行四边形，∴A1B∥D1C.又A1B平面CD1B1，∴A1B∥平面CD1B1.又∵BD∩A1B＝B，∴平面A1BD∥平面CD1B1.(2)∵A1O⊥平面ABCD，∴A1O是三棱柱ABD－A1B1D1的高．又∵AO＝AC＝1，AA1＝，∴A1O＝＝1，又∵S△ABD＝××＝1，∴VABD－A1B1D1＝S△ABD·A1O＝1.19．G4，G5，G7，G11[2022·四川卷]图1－8如图1－8，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝2AA1＝2，∠BAC＝120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD上异于端点的点．(1)在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD1A1；(2)设(1)中的直线l交AC于点Q，求三棱锥A1－QC1D的体积．(锥体体积公式：V＝Sh，其中S为底面面积，h为高)19．解：(1)如图，在平面ABC内，过点P作直线l∥BC，因为l在平面A1BC外，BC在平面A1BC内，由直线与平面平行的判定定理可知，l∥平面A1BC.由已知，AB＝AC，D是BC的中点，所以，BC⊥AD，则直线l⊥AD.因此AA1⊥平面ABC，所以AA1⊥直线l.又因为AD，AA1在平面ADD1A1内，且AD与AA1相交，所以直线l⊥平面ADD1A1.(2)过D作DE⊥AC于E.因为AA1⊥平面ABC，所以DE⊥AA1.又因为AC，AA1在平面AA1C1C内，且AC与AA1相交，所以DE⊥平面AA1C1C.由AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，有AD＝1，∠DAC＝60°，-48-\n所以在△ACD中，DE＝AD＝.又S△A1QC1＝A1C1·AA1＝1，所以VA1－QC1D＝VD－A1QC1＝DE·S△A1QC1＝××1＝.因此三棱锥A1－QC1D的体积是.17．G4，G5、G11[2022·天津卷]如图1－3所示，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱A1A⊥底面ABC，且各棱长均相等，D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点．(1)证明EF∥平面A1CD；(2)证明平面A1CD⊥平面A1ABB1；(3)求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值．图1－317．解：(1)证明：如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AC∥A1C1，且AC＝A1C1，联结ED，在△ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，所以DE＝AC且DE∥AC，又因为F为A1C1的中点，可得A1F＝DE，且A1F∥DE，即四边形A1DEF为平行四边形，所以EF∥DA1.又EF平面A1CD，DA1平面A1CD，所以，EF∥平面A1CD.(2)证明：由于底面ABC是正三角形，D为AB的中点，故CD⊥AB，又由于侧棱AA1⊥底面ABC，CD平面ABC，所以A1A⊥CD，又A1A∩AB＝A，因此CD⊥平面A1ABB1，而CD平面A1CD，所以平面A1CD⊥平面A1ABB1.(3)在平面A1ABB1内，过点B作BG⊥A1D交直线A1D于点G，联结CG，由于平面A1CD⊥平面A1ABB1，而直线A1D是平面A1CD与平面A1ABB1的交线，故BG⊥平面A1CD，由此得∠BCG为直线BC与平面A1CD所成的角．设三棱柱各棱长为a，可得A1D＝，由△A1AD∽△BGD，易得BG＝.在Rt△BGC中，sin∠BCG＝＝.所以直线BC与平面A1CD所成角的正弦值为.-48-\nG12 单元综合 图1－315．G12[2022·安徽卷]如图1－3，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①当0<CQ<时，S为四边形；②当CQ＝时，S为等腰梯形；③当CQ＝时，S与C1D1的交点R满足C1R＝；④当<CQ<1时，S为六边形；⑤当CQ＝1时，S的面积为.15．①②③⑤ [解析]对于①②，如图(1)所示，因为正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，当CQ＝时，PQ＝，这时过A，P，Q三点的截面与DD1交于D1，AP＝D1Q＝，且PQ∥AD1，截面S为等腰梯形．当CQ<时，过A，P，Q三点的截面与直线DD1的交点在棱DD1上，截面S为四边形，故①②正确．对于③④⑤，如图(2)所示，联结QR并延长交DD1的延长线于N点，联结AN交A1D1于M，取AD中点G，作GH∥PQ交DD1于H点，可得GH∥AN，且GH＝AN.设CQ＝t(0≤t≤1)，则DN＝2t，ND1＝2t－1，＝＝，当t＝时，＝，可得C1R＝，故③正确；当<t<1时，S为五边形，故④错误；当t＝1时，Q与C1重合，M为A1D1的中点，S为菱形PC1MA，AM＝AP＝PC1＝C1M＝，MP＝，AC1＝，S的面积等于××＝-48-\n，故⑤正确．20．G12[2022·湖北卷]如图1－4所示，某地质队自水平地面A，B，C三处垂直向地下钻探，自A点向下钻到A1处发现矿藏，再继续下钻到A2处后下面已无矿，从而得到在A处正下方的矿层厚度为A1A2＝d1.同样可得在B，C处正下方的矿层厚度分别为B1B2＝d2，C1C2＝d3，且d1＜d2＜d3.过AB，AC的中点M，N且与直线AA2平行的平面截多面体A1B1C1－A2B2C2所得的截面DEFG为该多面体的一个中截面，其面积记为S中．(1)证明：中截面DEFG是梯形；(2)在△ABC中，记BC＝a，BC边上的高为h，面积为S.在估测三角形ABC区域内正下方的矿藏储量(即多面体A1B1C1－A2B2C2的体积V)时，可用近似公式V估＝S中·h来估算，已知V＝(d1＋d2＋d3)S，试判断V估与V的大小关系，并加以证明．图1－420．解：(1)证明：依题意A1A2⊥平面ABC，B1B2⊥平面ABC，C1C2⊥平面ABC，所以A1A2∥B1B2∥C1C2.又A1A2＝d1，B1B2＝d2，C1C2＝d3，且d1＜d2＜d3，因此四边形A1A2B2B1，A1A2C2C1均是梯形，由AA2∥平面MEFN，AA2平面AA2B2B，且平面AA2B2B∩平面MEFN＝ME，可得AA2∥ME，即A1A2∥DE.同理可证A1A2∥FG，所以DE∥FG.又M，N分别为AB，AC的中点．则D，E，F，G分别为A1B1，A2B2，A2C2，A1C1的中点，即DE，FG分别为梯形A1A2B2B1，A1A2C2C1的中位线．因此DE＝(A1A2＋B1B2)＝(d1＋d2)，FG＝(A1A2＋C1C2)＝(d1＋d3)，而d1<d2<d3，故DE<FG，所以中截面DEFG是梯形．(2)V估<V，证明如下：由A1A2⊥平面ABC，MN平面ABC，可得A1A2⊥MN.而EM∥A1A2，所以EM⊥MN，同理可得FN⊥MN.由MN是△ABC的中位线，可得MN＝BC＝a即为梯形DEFG的高，-48-\n因此S中＝S梯形DEFG＝·＝(2d1＋d2＋d3)．即V估＝S中h＝(2d1＋d2＋d3)，又S＝ah，所以V＝(d1＋d2＋d3)S＝(d1＋d2＋d3)．于是V－V估＝(d1＋d2＋d3)－(2d1＋d2＋d3)＝[(d2－d1)＋(d3－d1)]．由d1<d2<d3，得d2－d1>0，d3－d1>0，故V－V估>0，即V估<V.2．G2[2022·四川卷]一个几何体的三视图如图1－1所示，则该几何体可以是( )图1－1A．棱柱B．棱台C．圆柱D．圆台2．D [解析]结合三视图原理，可知几何体为圆台．16．G8、G12[2022·全国卷]已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，OK＝，且圆O与圆K所在的平面所成的一个二面角为60°，则球O的表面积等于________．16．16π [解析]设两圆的公共弦AB的中点为D，则KD⊥DA，OD⊥DA，∠ODK即为圆O和圆K所在平面所成二面角的平面角，所以∠ODK＝60°.由于O为球心，故OK垂直圆K所在平面，所以OK⊥KD.在直角三角形ODK中，＝sin60°，即OD＝×＝，设球的半径为r，则DO＝r，所以r＝，所以r＝2，所以球的表面积为4πr2＝16π.20．G12[2022·浙江卷]如图1－6所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝BC＝2，AD＝CD＝，PA＝，∠ABC＝120°，G为线段PC上的点．(1)证明：BD⊥平面APC；(2)若G为PC的中点，求DG与平面APC所成的角的正切值；(3)若G满足PC⊥平面BGD，求的值．-48-\n图1－620．解：(1)证明：设点O为AC，BD的交点．由AB＝BC，AD＝CD，得BD是线段AC的中垂线．所以O为AC的中点，BD⊥AC.又因为PA⊥平面ABCD，BD平面ABCD，所以PA⊥BD.所以BD⊥平面APC.(2)联结OG.由(1)可知OD⊥平面APC，则DG在平面APC内的射影为OG，所以∠OGD是DG与平面APC所成的角．由题意得OG＝PA＝.在△ABC中，AC＝＝2，所以OC＝AC＝.在直角△OCD中，OD＝＝2.在直角△OGD中，tan∠OGD＝＝.所以DG与平面APC所成的角的正切值为.(3)因为PC⊥平面BGD，OG平面BGD，所以PC⊥OG.在直角△PAC中，得PC＝，所以GC＝＝.从而PG＝，所以＝.1．[2022·烟台莱州一中月考]一个简单几何体的正视图和侧视图如图K29－2所示，则其俯视图不可能为下列图形中的( )①长方形；②直角三角形；③圆；④椭圆．A．①B．②C．③D．④-48-\n图K29－21．C [解析]当俯视图为圆时，由三视图可知为圆柱，此时正视图和侧视图应该相同，所以俯视图不可能是圆，选C.2．[2022·天津模拟]如图X5－3所示，△PAD为等边三角形，四边形ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝2，E，F，G分别为PA，BC，PD的中点，AD＝2.(1)求PB与平面ABCD所成的角；(2)求证：AG⊥EF；(3)求多面体P－AGF的体积．图X5－32．解：(1)取AD中点M，联结PM，BM.∵平面PAD⊥平面ABCD，交线为AD，等边三角形△PAD中，M为AD的中点，∴PM⊥AD，∴PM⊥平面ABCD，∴∠PBM即为所求．PM＝×2＝，MB＝，而△PMB为直角三角形，∴∠PBM＝45°，即PB与平面ABCD所成角为45°.(2)证明：等边三角形PAD中，∵G是PD中点，∴GA⊥PD，△APD中，E是AP的中点，M是AD的中点，∴EM∥PD，∴AG⊥ME.∵平面PAD⊥平面ABCD，交线为AD，又∵MF⊥AD，∴MF⊥平面PAD.∵AG⊂平面PAD，∴MF⊥AG.∵EM∩MF＝M，∴AG⊥平面EMF，∴AG⊥EF.(3)VP－AGF＝VF－AGP＝MF·S△AGP＝×2××＝.3．[2022·北京朝阳区期末]在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P1，P2分别是线段AB，BD1(不包括端点)上的动点，且线段P1P2平行于平面A1ADD1，则四面体P1P2AB1的体积的最大值是( )-48-\nA.B.C.D.3．A [解析]过P2作P2O⊥底面于O，联结OP1，则OP1⊥AB，即OP1为三棱锥P2－P1AB1的高，设AP1＝x，0<x<1，则由题意知OP1∥AD，所以有＝，即OP1＝1－x.S△AP1B1＝x，所以四面体P1P2AB1的体积为S△AP1B1·OP1＝·x(1－x)＝x(1－x)≤＝，当且仅当x＝1－x，即x＝时，取等号，所以四面体P1P2AB1的体积的最大值为，选A.4．[2022·潍坊高三月考]四棱锥P－ABCD的三视图如图K30－5所示，四棱锥P－ABCD的五个顶点都在一个球面上，E，F分别是棱AB，CD的中点，直线EF被球面所截得的线段长为2，则该球的表面积为( )A．12π B．24πC．36π D．48π4．A [解析]将三视图还原为直观图如图所示，可得四棱锥P－ABCD的五个顶点位于同一个正方体的顶点处，且与该正方体内接于同一个球，该正方体的棱长为a.设外接球的球心为O，则O也是正方体的中心，设EF中点为G，联结OG，OA，AG.根据题意，直线EF被球面所截得的线段长为2，即正方体面对角线长是2，可得AG＝＝a，所以正方体棱长a＝2，则在Rt△OGA中，OG＝a＝1，AO＝，即外接球半径R＝，得外接球表面积为4πR2＝12π，选A.5．[2022·丹东四校协作体摸底]设某几何体的三视图如图K30－6所示(尺寸的长度单位为：m)，若该几何体的各个顶点都在同一球面上，则此球的表面积等于________m2(答案用含有π的式子表示)．图K30－65．100π [解析]由三视图可得该几何体是一个三棱柱，底面外接圆的半径r满足2r＝＝6，则r＝3.棱柱的高为8，则球心到底面的距离d＝4，则球的半径R＝＝5.故此球的表面积S＝4πR2＝100π，故答案为100π.-48-\n-48-
