选修4系列N1选修4-1几何证明选讲 21．N1[2022·江苏卷]A．[选修4－1：几何证明选讲]如图1－1所示，AB和BC分别与圆O相切于点D，C，AC经过圆心O，且BC＝2OC.求证：AC＝2AD.图1－1证明：联结OD，因为AB和BC分别与圆O相切于点D，C，所以∠ADO＝∠ACB＝90°.又因为∠A＝∠A，所以Rt△ADO∽Rt△ACB，所以＝.又BC＝2OC＝2OD.故AC＝2AD.N2[2022·江苏卷]B．[选修4－2：矩阵与变换]已知矩阵A＝ 0,2)，B＝1,0) 2,6)，求矩阵A－1B.解：设矩阵A的逆矩阵为a,c) b,d)，则－1,0) 0,2)a,c) b,d)＝1,0) 0,1)．即－a,2c) －b,2d)＝1,0) 0,1)，故a＝－1，b＝0，c＝0，d＝，从而A的逆矩阵为A－1＝ 0,)))．所以A－1B＝ 0,)))1,0) 2,6)＝－1,0) －2,3)．N3[2022·江苏卷]C．[选修4－4：坐标系与参数方程]-11-\n在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(θ为参数)，试求直线l和曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．解：因为直线l的参数方程为(t为参数)，由x＝t＋1得t＝x－1，代入y＝2t，得到直线l的普通方程为2x－y－2＝0.同理得到曲线C的普通方程为y2＝2x.联立方程组解得公共点的坐标为(2，2)，，－1.N4[2022·江苏卷]D．[选修4－5：不等式选讲]已知a≥b>0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.证明：2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)．因为a≥b>0，所以a－b≥0，a＋b>0，2a＋b>0.从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，即2a3－b3≥2ab2－a2b.22．N1[2022·辽宁卷]选修4－1：几何证明选讲如图1－6，AB为⊙O直径，直线CD与⊙O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，联结AE，BE，证明：(1)∠FEB＝∠CEB；(2)EF2＝AD·BC.图1－622．解：证明：(1)由直线CD与⊙O相切，得∠CEB＝∠EAB.由AB为⊙O的直径，得AE⊥EB，从而∠EAB＋∠EBF＝.又EF⊥AB，得∠FEB＋∠EBF＝，从而∠FEB＝∠EAB.故∠FEB＝∠CEB.(2)由BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB＝∠CEB，BE是公共边，得Rt△BCE≌Rt△BFE，所以BC＝BF.类似可证：Rt△ADE≌Rt△AFE，得AD＝AF.又在Rt△AEB中，EF⊥AB，故FE2＝AF·BF.所以EF2＝AD·BC.B．N1[2022·陕西卷](几何证明选做题)如图1－4所示，AB与CD相交于点E，过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P，已知∠A＝∠C，PD＝2DA＝2，则PE＝________．-11-\n图1－4 [解析]利用已知图形关系可得∠BCE＝∠PED＝∠BAP，可得△PDE∽△PEA，可得＝，而PD＝2DA＝2，则PA＝3，则PE2＝PA·PD＝6，PE＝.22．N1[2022·新课标全国卷Ⅰ]选修4－1：几何证明选讲如图1－6，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.(1)证明：DB＝DC；(2)设圆的半径为1，BC＝，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．图1－622．解：(1)联结DE，交BC于点G.由弦切角定理得，∠ABE＝∠BCE.而∠ABE＝∠CBE，故∠CBE＝∠BCE，BE＝CE.又因为DB⊥BE，所以DE为直径，∠DCE＝90°，由勾股定理可得DB＝DC.(2)由(1)知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC，故DG是BC的中垂线，所以BG＝.设DE的中点为O，联结BO，则∠BOG＝60°，从而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°，所以CF⊥BF，故Rt△BCF外接圆的半径等于.13．N1[2022·天津卷]如图1－2所示，在圆内接梯形ABCD中，AB∥DC.过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E.若AB＝AD＝5，BE＝4，则弦BD的长为________．图1－213. [解析]联结AC.由圆内接梯形的性质得，∠DCB＝∠ABE，∠DAB＋∠DCB＝180°，∠ABC＋∠DCB＝180°，∴∠DAB＝∠ABC，∠DAB＋∠ABE＝180°，又∵∠ADB＝∠ACB，∴∠CAB＝∠DBA，又∠ADB＝∠ABD，∴∠BAC＝∠BCA，∴BC＝AB＝5.由切割线定理得AE2＝BE·EC＝4×(4＋5)＝36，由cos∠ABE＝－cos∠DAB，-11-\n得－＝，即－＝，解之得BD＝.22．N1[2022·新课标全国卷Ⅱ]选修4－1：几何证明选讲如图1－10，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC·AE＝DC·AF，B，E，F，C四点共圆．(1)证明：CA是△ABC外接圆的直径；(2)若DB＝BE＝EA，求过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．图1－1022．解：(1)因为CD为△ABC外接圆的切线，所以∠DCB＝∠A，由题设知＝，故△CDB∽△AEF，所以∠DBC＝∠EFA.因为B，E，F，C四点共圆，所以∠CFE＝∠DBC，故∠EFA＝∠CFE＝90°.所以∠CBA＝90°，因此CA是△ABC外接圆的直径．图1－11(2)联结CE，因为∠CBE＝90°，所以过B，E，F，C四点的圆的直径为CE，由DB＝BE，有CE＝DC.又BC2＝DB·BA＝2DB2，所以CA2＝4DB2＋BC2＝6DB2.而DC2＝DB·DA＝3DB2，故过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值为.15．N1[2022·广东卷](几何证明选讲选做题)如图1－3，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝3，BE⊥AC，垂足为E，则ED＝________．图1－315. [解析]AB＝，BC＝3AC＝＝2，∵AB2＝AE·AC，∴AE＝.又∵tan∠ACB＝＝，∴∠ACB＝，故∠EAD＝.在△AED中，由余弦定理得ED2＝AE2＋AD2-11-\n－2AE·ADcos∠EAD＝＋9－2××3cos＝，故ED＝.N2 选修4-2矩阵 N3 选修4-4参数与参数方程 14．N3[2022·广东卷](坐标系与参数方程选做题)已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C的参数方程为________．14.(θ为参数) [解析]将曲线C的极坐标方程ρ＝2cosθ化为普通方程为(x－1)2＋y2＝1，则其参数方程为(θ为参数)．11．N3[2022·湖南卷]在平面直角坐标系xOy中，若直线l1：(s为参数)和直线l2：(t为参数)平行，则常数a的值为________．11．4 [解析]l1：即x－2y－1＝0，l2：即2x－ay－a＝0.由两直线平行，得＝≠，解得a＝4.23．N3[2022·辽宁卷]选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ＝4sinθ，ρcosθ－＝2.(1)求C1与C2交点的极坐标；(2)设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点．已知直线PQ的参数方程为(t∈R为参数)，求a，b的值．23．解：(1)圆C1的直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4.直线C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.解得所以C1与C2交点的极坐标为4，，2，.注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)由(1)可得，P点与Q点的直角坐标分别为(0，2)，(1，3)，故直线PQ的直角坐标方程为x－y＋2＝0.-11-\n由参数方程可得y＝x－＋1.所以解得a＝－1，b＝2.23．N3[2022·新课标全国卷Ⅱ]选修4－4：坐标系与参数方程已知动点P，Q都在曲线C：(t为参数)上，对应参数分别为t＝α与t＝2α(0<α<2π)，M为PQ的中点．(1)求M的轨迹的参数方程；(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．23．解：(1)依题意有P(2cosα，2sinα)，Q(2cos2α，2sin2α)，因此M(cosα＋cos2α，sinα＋sin2α)．M的轨迹的参数方程为(α为参数，0<α<2π)．(2)M点到坐标原点的距离d＝＝(0<α<2π)．当α＝π时，d＝0，故M的轨迹过坐标原点．C．N3[2022·陕西卷](坐标系与参数方程选做题)圆锥曲线(t为参数)的焦点坐标是________．(1，0) [解析]由所给的曲线的参数方程化为普通方程为：y2＝4x，为抛物线，其焦点坐标为(1，0)．23．N3[2022·新课标全国卷Ⅰ]选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0，0≤θ＜2π)．23．解：(1)将消去参数t，化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.将代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0，得ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0.所以C1的极坐标方程为ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0.(2)C2的普通方程为x2＋y2－2y＝0，由解得或所以C1与C2交点的极坐标分别为，.-11-\nN4选修4-5不等式选讲 21．B12，N4[2022·湖北卷]设a>0，b>0，已知函数f(x)＝.(1)当a≠b时，讨论函数f(x)的单调性；(2)当x>0时，称f(x)为a，b关于x的加权平均数．(i)判断f(1)，f，f是否成等比数列，并证明f≤f；(ii)a，b的几何平均数记为G，称为a，b的调和平均数，记为H.若H≤f(x)≤G，求x的取值范围．21．解：(1)f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，f′(x)＝＝.当a＞b时，f′(x)＞0，函数f(x)在(－∞，－1)，(－1，＋∞)上单调递增；当a＜b时，f′(x)＜0，函数f(x)在(－∞，－1)，(－1，＋∞)上单调递减．(2)(i)计算得f(1)＝＞0，f＝＞0，f＝＞0.故f(1)f＝·＝ab＝，即f(1)f＝.①所以f(1)，f，f成等比数列．因≥，即f(1)≥f，结合①得f≤f.(ii)由(i)知f＝H，f＝G，故由H≤f(x)≤G，得f≤f(x)≤f.②当a＝b时，f＝f(x)＝f＝a.-11-\n这时，x的取值范围为(0，＋∞)；当a＞b时，0＜＜1，从而＜，由f(x)在(0，＋∞)上单调递增与②式，得≤x≤，即x的取值范围为；当a＜b时，＞1，从而＞，由f(x)在(0，＋∞)上单调递减与②式，得≤x≤，即x的取值范围为.24．N4[2022·辽宁卷]选修4－5：不等式选讲已知函数f(x)＝|x－a|，其中a>1.(1)当a＝2时，求不等式f(x)≥4－|x－4|的解集；(2)已知关于x的不等式|f(2x＋a)－2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，求a的值．24．解：(1)当a＝2时，f(x)＋|x－4|＝当x≤2时，由f(x)≥4－|x－4|得－2x＋6≥4，解得x≤1；当2<x<4时，f(x)≥4－|x－4|无解；当x≥4时，由f(x)≥4－|x－4|得2x－6≥4，解得x≥5；所以f(x)≥4－|x－4|的解集为{x|x≤1或x≥5}．(2)记h(x)＝f(2x＋a)－2f(x)，则h(x)＝由|h(x)|≤2，解得≤x≤.又已知|h(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}．所以于是a＝3.24．N4[2022·新课标全国卷Ⅱ]选修4－5：不等式选讲设a，b，c均为正数，a＋b＋c＝1.证明：(1)ab＋bc＋ca≤；(2)＋＋≥1.24．证明：(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.-11-\n(2)因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，即＋＋≥a＋b＋c.所以＋＋≥1.A．N4[2022·陕西卷](不等式选做题)设a，b∈R，|a－b|>2，则关于实数x的不等式|x－a|＋|x－b|>2的解集是________．(－∞，＋∞) [解析]利用绝对值不等式的性质可得|x－a|＋|x－b|≥|(x－a)－(x－b)|＝|b－a|＝|a－b|.又由|a－b|>2恒成立，故不等式解集为(－∞，＋∞)．14．N4[2022·天津卷]设a＋b＝2，b>0，则＋的最小值为________．14. [解析]＋＝＋＝＋＋≥＋2≥－＋1＝.24．N4[2022·新课标全国卷Ⅰ]选修4－5：不等式选讲已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.(1)当a＝－2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；(2)设a＞－1，且当x∈时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．24．解：(1)当a＝－2时，不等式f(x)<g(x)化为|2x－1|＋|2x－2|－x－3<0.设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，则y＝其图像如图所示，从图像可知，当且仅当x∈(0，2)时，y<0，所以原不等式的解集是{x|0<x<2}．(2)当x∈时，f(x)＝1＋a.不等式f(x)≤g(x)化为1＋a≤x＋3.所以x≥a－2对x∈都成立．-11-\n故－≥a－2，即a≤.从而a的取值范围是.N5选修4-7优选法与试验设计 P图1－13．BP[2022·安徽卷]如图1－1所示，程序框图(算法流程图)的输出结果为( )A.B.C.D.3．C [解析]依次运算的结果是s＝，n＝4；s＝＋，n＝6；s＝＋＋，n＝8，此时输出s，故输出结果是＋＋＝.1．[2022·漳州五校期末]在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为(α为参数)．以直角坐标系原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos＝2.(1)求直线l的直角坐标方程；(2)点P为曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最大值．2．解：(1)ρcos＝2化简为ρcosθ＋ρsinθ＝4，∴直线l的直角坐标方程为x＋y＝4.(2)设点P的坐标为(2cosα，sinα)，得P到直线l的距离d＝，即d＝，其中cosφ＝，sinφ＝.-11-\n当sin(α＋φ)＝－1时，dmax＝2＋.4．[2022·云南师大附中月考]如图X8－4所示，已知圆O外有一点P，作圆O的切线PM，M为切点，过PM的中点N，作割线NAB，交圆于A，B两点，联结PA并延长，交圆O于点C，连PB交圆O于点D，若MC＝BC.(1)求证：△APM∽△ABP；(2)求证：四边形PMCD是平行四边形．图X8－44．证明：(1)∵PM是圆O的切线，NAB是圆O的割线，N是PM的中点，∴MN2＝PN2＝NA·NB，∴＝.又∵∠PNA＝∠BNP，∴△PNA∽△BNP，∴∠APN＝∠PBN，即∠APM＝∠PBA.∵MC＝BC，∴∠MAC＝∠BAC，∴∠MAP＝∠PAB，∴△APM∽△ABP.(2)∵∠ACD＝∠PBN，∠PBN＝∠APN，∴∠ACD＝∠APN，即∠PCD＝∠CPM，∴PM∥CD.∵△APM∽△ABP，∴∠PMA＝∠BPA.∵PM是圆O的切线，∴∠PMA＝∠MCP，∴∠BPA＝∠MCP，即∠MCP＝∠DPC，∴MC∥PD，∴四边形PMCD是平行四边形．-11-
