计数原理J1 基本计数原理 14．J1、J2[2022·全国卷]从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有____种．(用数字作答)14．60 [解析]从6人逐次选出1人，2人，3人分别给奖项即可，方法数为CCC＝60.J2 排列、组合 14．J1、J2[2022·全国卷]从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有____种．(用数字作答)14．60 [解析]从6人逐次选出1人，2人，3人分别给奖项即可，方法数为CCC＝60.15．J2[2022·辽宁卷]已知F为双曲线C：－＝1的左焦点，P，Q为C上的点，若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5，0)在线段PQ上，则△PQF的周长为________．15．44 [解析]由题意可知，a＝3，b＝4，|PQ|＝4b＝16，三角形PQF的周长为|PQ|＋|PF|＋|QF|＝|PF|－|PA|＋|QF|－|QA|＋2|PQ|＝4a＋8b＝44.10．J2[2022·辽宁卷]已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为( )A.B．2C.D．310．C [解析]由题意可将直三棱柱ABC－A1B1C1还原为长方体ABDC－A1B1D1C1，则球的直径即为长方体ABDC－A1B1D1C1的体对角线AD1，所以球的直径AD1＝＝＝13，则球的半径为，故选C.8．J2[2022·辽宁卷]执行如图1－2所示的程序框图，若输入n＝8，则输出S＝( )-3-\n图1－2A.B.C.D.8．A [解析]由程序框图可以得到S＝＋＋＋＝＋＋＋＝1－＋－＋－＋－＝，故选A.3．J2[2022·辽宁卷]已知点A(1，3)，B(4，－1)，则与向量同方向的单位向量为( )A.，－B.，－C．－，D．－，3．A [解析]由A，B坐标可知，＝(3，－4)，对应的单位向量为e＝＝，－，故选A.J3 二项式定理 5．J3[2022·全国卷](x＋2)8的展开式中x6的系数是( )A．28B．56C．112D．2245．C [解析]含x6的项是展开式的第三项，其系数为C×22＝112.J4 单元综合 23．J4[2022·江苏卷]设数列{an}：1，－2，－2，3，3，3，－4，－4，－4，－4，…，(－1)k－1k，…，(－1)k－1k，k个…，即当<n≤(k∈N*)时，an＝(－1)k－1k.记Sn＝a1＋a2＋…＋an(n∈N*)．对于l∈N*，定义集合Pl＝{n|Sn是an的整数倍，n∈N*，且1≤n≤l}．(1)求集合P11中元素的个数；(2)求集合P2000中元素的个数．23．解：(1)由数列{an}的定义得a1＝1，a2＝－2，a3＝－2，a4＝3，a5＝3，a6＝3，a7＝－4，a8＝－4，a9＝－4，a10＝－4，a11＝5，所以S1＝1，S2＝－1，S3＝－3，S4＝0，S5＝3，S6-3-\n＝6，S7＝2，S8＝－2，S9＝－6，S10＝－10，S11＝－5，从而S1＝a1，S4＝0×a4，S5＝a5，S6＝2a6，S11＝－a11，所以集合P11中元素的个数为5.(2)先证：Si(2i＋1)＝－i(2i＋1)(i∈N*)．事实上，①当i＝1时，Si(2i＋1)＝S3＝－3，－i(2i＋1)＝－3，故原等式成立；②假设i＝m时成立，即Sm(2m＋1)＝－m(2m＋1)，则i＝m＋1时，S(m＋1)(2m＋3)＝Sm(2m＋1)＋(2m＋1)2－(2m＋2)2＝－m(2m＋1)－4m－3＝－(2m2＋5m＋3)＝－(m＋1)(2m＋3)．综合①②可得Si(2i＋1)＝－i(2i＋1)．于是S(i＋1)(2i＋1)＝Si(2i＋1)＋(2i＋1)2＝－i(2i＋1)＋(2i＋1)2＝(2i＋1)(i＋1)．由上可知Si(2i＋1)是2i＋1的倍数，而ai(2i＋1)＋j＝2i＋1(j＝1，2，…，2i＋1)，所以Si(2i＋1)＋j＝Si(2i＋1)＋j(2i＋1)是ai(2i＋1)＋j(j＝1，2，…，2i＋1)的倍数，又S(i＋1)(2i＋1)＝(i＋1)(2i＋1)不是2i＋2的倍数．而a(i＋1)(2i＋1)＋j＝－(2i＋2)(j＝1，2，…，2i＋2)，所以S(i＋1)(2i＋1)＋j＝S(i＋1)(2i＋1)－j(2i＋2)＝(2i＋1)(i＋1)－j(2i＋2)不是a(i＋1)(2i＋1)＋j(j＝1，2，…，2i＋2)的倍数，故当l＝i(2i＋1)时，集合Pl中元素的个数为1＋3＋…＋(2i－1)＝i2，于是，当l＝i(2i＋1)＋j(1≤j≤2i＋1)时，集合Pl中元素的个数为i2＋j.又2000＝31×(2×31＋1)＋47.故集合P2000中元素的个数为312＋47＝1008.-3-
