三角函数C1 角的概念及任意的三角函数 13．C1，C2，C6[2022·四川卷]设sin2α＝－sinα，α∈，则tan2α的值是________．13. [解析]解法一：由sin2α＝－sinα，得2sinαcosα＝－sinα，又α∈，故sinα≠0，于是cosα＝－，进而sinα＝，于是tanα＝－，∴tan2α＝＝＝.解法二：同上得cosα＝－，又α∈，可得α＝，∴tan2α＝tan＝.C2 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 13．C2[2022·全国卷]已知α是第三象限角，sinα＝－，则cotα＝________．13．2 [解析]cosα＝－＝－，所以cotα＝＝2.13．C1，C2，C6[2022·四川卷]设sin2α＝－sinα，α∈，则tan2α的值是________．13. [解析]解法一：由sin2α＝－sinα，得2sinαcosα＝－sinα，又α∈，故sinα≠0，于是cosα＝－，进而sinα＝，于是tanα＝－，∴tan2α＝＝＝.解法二：同上得cosα＝－，又α∈，可得α＝，∴tan2α＝tan＝.15．C2，C5[2022·新课标全国卷Ⅱ]设θ为第二象限角，若tan＝，则sinθ＋cosθ＝________．15．－ [解析]由tan＝得＝tanθ＝－cosθ＝－3sinθ，由sin2θ＋cos2θ＝110sin2θ＝1，θ在第二象限，-28-\nsinθ＝，cosθ＝－，∴sinθ＋cosθ＝－.20．C2、C5、C6，C8[2022·重庆卷]在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2＋b2＋ab＝c2.(1)求C；(2)设cosAcosB＝，＝，求tanα的值．20．解：(1)因为a2＋b2＋ab＝c2，所以由余弦定理有cosC＝＝＝－.故C＝.(2)由题意得＝，因此(tanαsinA－cosA)(tanαsinB－cosB)＝，tan2αsinAsinB－tanα(sinAcosB＋cosAsinB)＋cosAcosB＝，tan2αsinAsinB－tanαsin(A＋B)＋cosAcosB＝.①因为C＝，所以A＋B＝，所以sin(A＋B)＝.因为cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB，即－sinAsinB＝.解得sinAsinB＝－＝.由①得tan2α－5tanα＋4＝0，解得tanα＝1或tanα＝4.9．C2、C6，C7[2022·重庆卷]4cos50°－tan40°＝( )A.B.C.D．2－19．C [解析]原式＝4sin40°－＝＝＝＝＝＝，故选C.-28-\nC3 三角函数的图像与性质 3．A2、C3[2022·北京卷]“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．A [解析]∵曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点，∴sinφ＝0，∴φ＝kπ，k∈Z，故选A.1．C3[2022·江苏卷]函数y＝3sin的最小正周期为________．1．π [解析]周期为T＝＝π.8．C3[2022·山东卷]函数y＝xcosx＋sinx的图像大致为( )图1－28．D [解析]∵f(－x)＝－xcos(－x)＋sin(－x)＝－(xcosx＋sinx)＝－f(x)，∴y＝xcosx＋sinx为奇函数，图像关于原点对称，排除选项B.当x＝时，y＝1>0，排除选项C；x＝π，y＝－π<0，排除选项A；故选D.C4 函数 的图象与性质 15．C4[2022·新课标全国卷Ⅰ]设当x＝θ时，函数f(x)＝sinx－2cosx取得最大值，则cosθ＝________．15．－ [解析]因为f(x)＝sinx－2cosx＝sin(x＋φ)，所以当x＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，即x＝－φ＋2kπ(k∈Z)时，y＝f(x)取得最大值，则cosθ＝cosx＝cos＝sinφ，由φ∈-28-\n可得sinφ＝－，所以cosθ＝－.16．C4[2022·安徽卷]已知函数f(x)＝4cosωx·sinωx＋(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)讨论f(x)在区间0，上的单调性．16．解：(1)f(x)＝4cosωx·sinωx＋＝2sinωx·cosωx＋2cos2ωx＝(sin2ωx＋cos2ωx)＋＝2sin2ωx＋＋.因为f(x)的最小正周期为π，且ω>0，从而有＝π，故ω＝1.(2)由(1)知，f(x)＝2sin2x＋＋.若0≤x≤，则≤2x＋≤.当≤2x＋≤，即0≤x≤时，f(x)单调递增；当≤2x＋≤，即≤x≤时，f(x)单调递减．综上可知，f(x)在区间0，上单调递增，在区间，上单调递减．20．C4，C9，B14[2022·福建卷]已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的周期为π，图像的一个对称中心为.将函数f(x)图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得到的图像向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图像．(1)求函数f(x)与g(x)的解析式；(2)是否存在x0∈，使得f(x0)，g(x0)，f(x0)g(x0)按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定x0的个数；若不存在，说明理由；(3)求实数a与正整数n，使得F(x)＝f(x)＋ag(x)在(0，nπ)内恰有2022个零点．20．解：(1)由函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的周期为π，ω>0，得ω＝＝2.又曲线y＝f(x)的一个对称中心为，φ∈(0，π)，故f＝sin＝0，得φ＝，所以f(x)＝cos2x.将函数f(x)图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后可得y＝cosx-28-\n的图像，再将y＝cosx的图像向右平移个单位长度后得到函数g(x)＝cos的图像，所以g(x)＝sinx.(2)当x∈时，<sinx<，0<cos2x<，所以sinx>cos2x>sinxcos2x.问题转化为方程2cos2x＝sinx＋sinxcos2x在内是否有解．设G(x)＝sinx＋sinxcos2x－2cos2x，x∈，则G′(x)＝cosx＋cosxcos2x＋2sin2x(2－sinx)．因为x∈，所以G′(x)>0，G(x)在内单调递增．又G＝－<0，G＝>0，且函数G(x)的图像连续不断，故可知函数G(x)在内存在唯一零点x0，即存在唯一的x0∈满足题意．(3)方法一：依题意，F(x)＝asinx＋cos2x，令F(x)＝asinx＋cos2x＝0.当sinx＝0，即x＝kπ(k∈Z)时，cos2x＝1，从而x＝kπ(k∈Z)不是方程F(x)＝0的解，所以方程F(x)＝0等价于关于x的方程a＝－，x≠kπ(k∈Z)．现研究x∈(0，π)∪(π，2π)时方程a＝－的解的情况．令h(x)＝－，x∈(0，π)∪(π，2π)，则问题转化为研究直线y＝a与曲线y＝h(x)，x∈(0，π)∪(π，2π)的交点情况．h′(x)＝，令h′(x)＝0，得x＝或x＝.当x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：xh′(x)＋0－－0＋h(x)1－1当x>0且x趋近于0时，h(x)趋向于－∞，当x<π且x趋近于π时，h(x)趋向于－∞，当x>π且x趋近于π时，h(x)趋向于＋∞，当x<2π且x趋近于2π时，h(x)趋向于＋∞，故当a>1时，直线y＝a与曲线y＝h(x)在(0，π)内无交点，在(π，2π)内有2个交点；当a<－1时，直线y＝a与曲线y＝h(x)在(0，π)内有2个交点，在(π，2π)内无交点；当－1<a<1时，直线y＝a与曲线y＝h(x)在(0，π)内有2个交点，在(π，2π)内有2个交点．-28-\n由函数h(x)的周期性，可知当a≠±1时，直线y＝a与曲线y＝h(x)在(0，nπ)内总有偶数个交点，从而不存在正整数n，使得直线y＝a与曲线y＝h(x)在(0，nπ)内恰有2013个交点；又当a＝1或a＝－1时，直线y＝a与曲线y＝h(x)在(0，π)∪(π，2π)内有3个交点，由周期性，2022＝3×671，所以依题意得n＝671×2＝1342.综上，当a＝1，n＝1342或a＝－1，n＝1342时，函数F(x)＝f(x)＋ag(x)在(0，nπ)内恰有2022个零点．方法二：依题意，F(x)＝asinx＋cos2x＝－2sin2x＋asinx＋1.现研究函数F(x)在(0，2π]上的零点的情况．设t＝sinx，p(t)＝－2t2＋at＋1(－1≤t≤1)，则函数p(t)的图象是开口向下的抛物线，又p(0)＝1>0，p(－1)＝－a－1，p(1)＝a－1.当a>1时，函数p(t)有一个零点t1∈(－1，0)(另一个零点t2>1，舍去)，F(x)在(0，2π]上有两个零点x1，x2，且x1，x2∈(π，2π)；当a<－1时，函数p(t)有一个零点t1∈(0，1)(另一个零点t2<－1，舍去)，F(x)在(0，2π]上有两个零点x1，x2，且x1，x2∈(0，π)；当－1<a<1时，函数p(t)的一个零点t1∈(－1，0)，另一个零点t2∈(0，1)，F(x)在(0，π)和(π，2π)上分别有两个零点．由正弦函数的周期性，可知当a≠±1时，函数F(x)在(0，nπ)内总有偶数个零点，从而不存在正整数n满足题意．当a＝1时，函数p(t)的一个零点t1∈(－1，0)，另一个零点t2＝1；当a＝－1时，函数p(t)的一个零点t1＝－1，另一个零点t2∈(0，1)，从而当a＝1或a＝－1时，函数F(x)在(0，2π]有3个零点，由正弦函数的周期性，2022＝3×671，所以依题意得n＝671×2＝1342.综上，当a＝1，n＝1342或a＝－1，n＝1342时，函数F(x)＝f(x)＋ag(x)在(0，nπ)内恰有2013个零点．4．C4[2022·湖北卷]将函数y＝cosx＋sinx(x∈R)的图像向左平移m(m>0)个单位长度后，所得到的图像关于y轴对称，则m的最小值是( )A.B.C.D.4．B [解析]结合选项，将函数y＝cosx＋sinx＝2sin的图像向左平移个单位得到y＝2sin＝2cosx，它的图像关于y轴对称，选B.11．C4[2022·江西卷]函数y＝sin2x＋2sin2x的最小正周期T为________．11．π [解析]y＝sin2x＋(1－cos2x)＝2sin＋，所以最小正周期为π.17．C4[2022·辽宁卷]设向量a＝(sinx，sinx)，b＝(cosx，sinx)，x∈.(1)若|a|＝|b|，求x的值；(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．17．解：(1)由|a|2＝(sinx)2＋(sinx)2＝4sin2x.|b|2＝(cosx)2＋(sinx)2＝1，-28-\n及|a|＝|b|，得4sin2x＝1.又x∈，从而sinx＝，所以x＝.(2)f(x)＝a·b＝sinx·cosx＋sin2x＝sin2x－cos2x＋＝sin＋.当x＝∈时，sin取最大值1.所以f(x)的最大值为.5．C4[2022·山东卷]将函数y＝sin(2x＋φ)的图像沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图像，则φ的一个可能取值为( )A.B.C．0D．－5．B [解析]方法一：将函数y＝sin(2x＋φ)的图像沿x轴向左平移个单位后得到f(x)＝sin的图像，若f(x)＝sin为偶函数，必有＋φ＝kπ＋，k∈Z，当k＝0时，φ＝.方法二：将函数y＝sin(2x＋φ)的图像沿x轴向左平移个单位后得到f(x)＝sin的图像，其对称轴所在直线满足2x＋＋φ＝kπ＋，k∈Z，又∵f(x)＝sin为偶函数，∴y轴为其中一条对称轴，即＋φ＝kπ＋，k∈Z，当k＝0时，φ＝.16．F3，C4[2022·陕西卷]已知向量a＝cosx，－，b＝(sinx，cos2x)，x∈R，设函数f(x)＝a·b.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在上的最大值和最小值．16．解：f(x)＝cosx，－·(sinx，cos2x)＝cosxsinx－cos2x＝sin2x－cos2x＝cossin2x－sincos2x-28-\n＝sin2x－.(1)f(x)的最小正周期为T＝＝＝π，即函数f(x)的最小正周期为π.(2)∵0≤x≤，∴－≤2x－≤.由正弦函数的性质，当2x－＝，即x＝时，f(x)取得最大值1.当2x－＝－，即x＝0时，f(0)＝－，当2x－＝π，即x＝时，f＝，∴f(x)的最小值为－.因此，f(x)在0，上最大值是1，最小值是－.5．C4[2022·四川卷]函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图像如图1－4所示，则ω，φ的值分别是( )A．2，－B．2，－C．4，－D．4，5．A [解析]由图知＝＋＝，故周期T＝π，于是ω＝2.∴f(x)＝2sin(2x＋φ)．再由f＝2，得sin＝1，于是＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，因为－<φ<，取k＝0，得φ＝－.15．C4，C5[2022·天津卷]已知函数f(x)＝－sin2x＋＋6sinxcosx－2cos2x＋1，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间0，上的最大值和最小值．15．解：(1)f(x)＝－sin2x·cos－cos2x·sin＋3sin2x－cos2x＝2sin2x－2cos2x＝2sin2x－.所以，f(x)的最小正周期T＝＝π.(2)因为f(x)在区间0，上是增函数，在区间，上是减函数．又f(0)＝－2，f-28-\n＝2，f＝2，故函数f(x)在区间0，上的最大值为2，最小值为－2.C5 两角和与差的正弦、余弦、正切 17．C5、C8[2022·山东卷]设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋c＝6，b＝2，cosB＝.(1)求a，c的值；(2)求sin(A－B)的值．17．解：(1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得b2＝(a＋c)2－2ac(1＋cosB)，又b＝2，a＋c＝6，cosB＝，所以ac＝9，解得a＝3，c＝3.(2)在△ABC中，sinB＝＝.由正弦定理得sinA＝＝.因为a＝c，所以A为锐角，所以cosA＝＝.因此sin(A－B)＝sinAcosB－cosAsinB＝.17．C5，C8，F1[2022·四川卷]在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2cosB－sin(A－B)sinB＋cos(A＋C)＝－.(1)求cosA的值；(2)若a＝4，b＝5，求向量在方向上的投影．17．解：(1)由2cos2cosB－sin(A－B)sinB＋cos(A＋C)＝－，得[cos(A－B)＋1]cosB－sin(A－B)sinB－cosB＝－，即cos(A－B)cosB－sin(A－B)sinB＝－，则cos(A－B＋B)＝－，即cosA＝－.(2)由cosA＝－，0<A<π，得sinA＝.由正弦定理，有＝，所以sinB＝＝.-28-\n由题意知a>b，则A>B，故B＝.根据余弦定理，有(4)2＝52＋c2－2×5c×，解得c＝1或c＝－7(舍去)，故向量在方向上的投影为||cosB＝.15．C4，C5[2022·天津卷]已知函数f(x)＝－sin2x＋＋6sinxcosx－2cos2x＋1，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间0，上的最大值和最小值．15．解：(1)f(x)＝－sin2x·cos－cos2x·sin＋3sin2x－cos2x＝2sin2x－2cos2x＝2sin2x－.所以，f(x)的最小正周期T＝＝π.(2)因为f(x)在区间0，上是增函数，在区间，上是减函数．又f(0)＝－2，f＝2，f＝2，故函数f(x)在区间0，上的最大值为2，最小值为－2.17．C5，C8[2022·新课标全国卷Ⅱ]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcosC＋csinB.(1)求B；(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．17．解：(1)由已知及正弦定理得sinA＝sinBcosC＋sinCsinB．①又A＝π－(B＋C)，故sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC．②由①②和C∈(0，π)得sinB＝cosB.又B∈(0，π)，所以B＝.(2)△ABC的面积S＝acsinB＝ac.由已知及余弦定理得4＝a2＋c2－2accos.又a2＋c2≥2ac，故ac≤，当且仅当a＝c时，等号成立．因此△ABC面积的最大值为＋1.17．C5，C8[2022·新课标全国卷Ⅱ]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcosC＋csinB.-28-\n(1)求B；(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．17．解：(1)由已知及正弦定理得sinA＝sinBcosC＋sinCsinB．①又A＝π－(B＋C)，故sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC．②由①②和C∈(0，π)得sinB＝cosB.又B∈(0，π)，所以B＝.(2)△ABC的面积S＝acsinB＝ac.由已知及余弦定理得4＝a2＋c2－2accos.又a2＋c2≥2ac，故ac≤，当且仅当a＝c时，等号成立．因此△ABC面积的最大值为＋1.15．C2，C5[2022·新课标全国卷Ⅱ]设θ为第二象限角，若tan＝，则sinθ＋cosθ＝________．15．－ [解析]由tan＝得＝tanθ＝－cosθ＝－3sinθ，由sin2θ＋cos2θ＝110sin2θ＝1，θ在第二象限，sinθ＝，cosθ＝－，∴sinθ＋cosθ＝－.20．C2、C5、C6，C8[2022·重庆卷]在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2＋b2＋ab＝c2.(1)求C；(2)设cosAcosB＝，＝，求tanα的值．20．解：(1)因为a2＋b2＋ab＝c2，所以由余弦定理有cosC＝＝＝－.故C＝.(2)由题意得＝，因此(tanαsinA－cosA)(tanαsinB－cosB)＝，tan2αsinAsinB－tanα(sinAcosB＋cosAsinB)＋cosAcosB＝，-28-\ntan2αsinAsinB－tanαsin(A＋B)＋cosAcosB＝.①因为C＝，所以A＋B＝，所以sin(A＋B)＝.因为cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB，即－sinAsinB＝.解得sinAsinB＝－＝.由①得tan2α－5tanα＋4＝0，解得tanα＝1或tanα＝4.C6 二倍角公式 13．C1，C2，C6[2022·四川卷]设sin2α＝－sinα，α∈，则tan2α的值是________．13. [解析]解法一：由sin2α＝－sinα，得2sinαcosα＝－sinα，又α∈，故sinα≠0，于是cosα＝－，进而sinα＝，于是tanα＝－，∴tan2α＝＝＝.解法二：同上得cosα＝－，又α∈，可得α＝，∴tan2α＝tan＝.20．C2、C5、C6，C8[2022·重庆卷]在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2＋b2＋ab＝c2.(1)求C；(2)设cosAcosB＝，＝，求tanα的值．20．解：(1)因为a2＋b2＋ab＝c2，所以由余弦定理有cosC＝＝＝－.故C＝.(2)由题意得＝，因此(tanαsinA－cosA)(tanαsinB－cosB)＝，tan2αsinAsinB－tanα(sinAcosB＋cosAsinB)＋cosAcosB＝，tan2αsinAsinB－tanαsin(A＋B)＋cosAcosB＝.①-28-\n因为C＝，所以A＋B＝，所以sin(A＋B)＝.因为cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB，即－sinAsinB＝.解得sinAsinB＝－＝.由①得tan2α－5tanα＋4＝0，解得tanα＝1或tanα＝4.9．C2、C6，C7[2022·重庆卷]4cos50°－tan40°＝( )A.B.C.D．2－19．C [解析]原式＝4sin40°－＝＝＝＝＝＝，故选C.C7 三角函数的求值、化简与证明 15．C7，C8[2022·北京卷]在△ABC中，a＝3，b＝2，∠B＝2∠A.(1)求cosA的值；(2)求c的值．15．解：(1)因为a＝3，b＝2，∠B＝2∠A，所以在△ABC中，由正弦定理得＝.所以＝.故cosA＝.(2)由(1)知cosA＝，所以sinA＝＝.又因为∠B＝2∠A，所以cosB＝2cos2A－1＝.所以sinB＝＝.-28-\n在△ABC中，sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝.所以c＝＝5.18．C7、C8[2022·全国卷]设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac.(1)求B；(2)若sinAsinC＝，求C.18．解：(1)因为(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac，所以a2＋c2－b2＝－ac.由余弦定理得cosB＝＝－，因此B＝120°.(2)由(1)知A＋C＝60°，所以cos(A－C)＝cosAcosC＋sinAsinC＝cosAcosC－sinAsinC＋2sinAsinC＝cos(A＋C)＋2sinAsinC＝＋2×＝，故A－C＝30°或A－C＝－30°，因此C＝15°或C＝45°.6．C7[2022·浙江卷]已知α∈R，sinα＋2cosα＝，则tan2α＝( )A.B.C．－D．－6．C [解析]由(sinα＋2cosα)2＝2'得sin2α＋4sinαcosα＋4cos2α＝＝，4sinαcosα＋1＋3cos2α＝，2sin2α＋1＋3×＝，故2sin2α＝－，所以tan2α＝－，选择C.9．C2、C6，C7[2022·重庆卷]4cos50°－tan40°＝( )A.B.C.D．2－19．C [解析]原式＝4sin40°－＝＝-28-\n＝＝＝＝，故选C.C8 解三角形 17．C8[2022·新课标全国卷Ⅰ]如图1－4所示，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°.(1)若PB＝，求PA；(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA.图1－417．解：(1)由已知得，∠PBC＝60°，所以∠PBA＝30°.在△PBA中，由余弦定理得PA2＝3＋－2××cos30°＝.故PA＝.(2)设∠PBA＝α，由已知得PB＝sinα.在△PBA中，由正弦定理得＝，化简得cosα＝4sinα.所以tanα＝，即tan∠PBA＝.13．C8[2022·福建卷]如图1－4所示，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝，AB＝3，AD＝3，则BD的长为__________．图1－413. [解析]设∠BAD＝θ，则∠BAC＝θ＋，sinθ＋＝，所以cosθ＝，△ABD中，由余弦定理得BD＝＝.17．C8[2022·湖北卷]在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c.已知cos2A－3cos(B＋C)＝1.(1)求角A的大小；(2)若△ABC的面积S＝5，b＝5，求sinBsinC的值．17．解：(1)由cos2A－3cos(B＋C)＝1，得2cos2A＋3cosA－2＝0.-28-\n即(2cosA－1)(cosA＋2)＝0，解得cosA＝或cosA＝－2(舍去)，因为0<A<π，所以A＝.(2)由S＝bcsinA＝bc·＝bc＝5，得bc＝20，又b＝5，知c＝4.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝25＋16－20＝21，故a＝.又由正弦定理得sinBsinC＝sinAsinA＝sin2A＝×＝.3．C8[2022·湖南卷]在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b，若2asinB＝b，则角A等于( )A.B.C.D.3．D [解析]由正弦定理可得2sinAsinB＝sinB，又sinB≠0，所以可得sinA＝，又A为锐角，故A＝，选D.16．C8[2022·江西卷]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosC＋(cosA－sinA)cosB＝0.(1)求角B的大小；(2)若a＋c＝1，求b的取值范围．解：(1)由已知得－cos(A＋B)＋cosAcosB－sinAcosB＝0，即有sinAsinB－sinAcosB＝0，因为sinA≠0，所以sinB－cosB＝0，又cosB≠0，所以tanB＝，又0<B<π，所以B＝.(2)由余弦定理，有b2＝a2＋c2－2accosB.因为a＋c＝1，cosB＝，有b2＝3＋.又0<a<1，于是有≤b2<1，即有≤b<1.15．C7，C8[2022·北京卷]在△ABC中，a＝3，b＝2，∠B＝2∠A.(1)求cosA的值；(2)求c的值．15．解：(1)因为a＝3，b＝2，∠B＝2∠A，所以在△ABC中，由正弦定理得＝.所以＝.故cosA＝.(2)由(1)知cosA＝，所以sinA＝＝.又因为∠B＝2∠A，所以cosB＝2cos2A－1＝.-28-\n所以sinB＝＝.在△ABC中，sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝.所以c＝＝5.6．C8[2022·辽宁卷]在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asinBcosC＋csinBcosA＝b，且a>b，则∠B＝( )A.B.C.D.6．A [解析]由正弦定理可得到sinAsinBcosC＋sinCsinBcosA＝sinB．因为B∈(0，π)，所以sinB≠0，所以sinAcosC＋sinCcosA＝，即sin(A＋C)＝sinB＝，则∠B＝，故选A.18．C7、C8[2022·全国卷]设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac.(1)求B；(2)若sinAsinC＝，求C.18．解：(1)因为(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac，所以a2＋c2－b2＝－ac.由余弦定理得cosB＝＝－，因此B＝120°.(2)由(1)知A＋C＝60°，所以cos(A－C)＝cosAcosC＋sinAsinC＝cosAcosC－sinAsinC＋2sinAsinC＝cos(A＋C)＋2sinAsinC＝＋2×＝，故A－C＝30°或A－C＝－30°，因此C＝15°或C＝45°.17．C5、C8[2022·山东卷]设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋c＝6，b＝2，cosB＝.(1)求a，c的值；(2)求sin(A－B)的值．17．解：(1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得b2＝(a＋c)2－2ac(1＋cosB)，-28-\n又b＝2，a＋c＝6，cosB＝，所以ac＝9，解得a＝3，c＝3.(2)在△ABC中，sinB＝＝.由正弦定理得sinA＝＝.因为a＝c，所以A为锐角，所以cosA＝＝.因此sin(A－B)＝sinAcosB－cosAsinB＝.7．C8[2022·陕西卷]设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为( )A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定7．B [解析]结合已知bcosC＋ccosB＝asinA，所以由正弦定理代入可得sinBcosC＋sinCcosB＝sinAsinAsin(B＋C)＝sin2AsinA＝sin2AsinA＝1，故A＝90°，故三角形为直角三角形．17．C5，C8，F1[2022·四川卷]在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2cosB－sin(A－B)sinB＋cos(A＋C)＝－.(1)求cosA的值；(2)若a＝4，b＝5，求向量在方向上的投影．17．解：(1)由2cos2cosB－sin(A－B)sinB＋cos(A＋C)＝－，得[cos(A－B)＋1]cosB－sin(A－B)sinB－cosB＝－，即cos(A－B)cosB－sin(A－B)sinB＝－，则cos(A－B＋B)＝－，即cosA＝－.(2)由cosA＝－，0<A<π，得sinA＝.由正弦定理，有＝，所以sinB＝＝.由题意知a>b，则A>B，故B＝.根据余弦定理，有(4)2＝52＋c2－2×5c×，解得c＝1或c＝－7(舍去)，-28-\n故向量在方向上的投影为||cosB＝.15．C8，E8，N1[2022·四川卷]设P1，P2，…，Pn为平面α内的n个点，在平面α内的所有点中，若点P到P1，P2，…，Pn点的距离之和最小，则称点P为P1，P2，…，Pn点的一个“中位点”．例如，线段AB上的任意点都是端点A，B的中位点．则有下列命题：①若A，B，C三个点共线，C在线段AB上，则C是A，B，C的中位点；②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；③若四个点A，B，C，D共线，则它们的中位点存在且唯一；④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号)15．①④ [解析]对于①，如果中位点不在直线AB上，由三角形两边之和大于第三边可知与题意矛盾．而当中位点在直线AB上时，如果不与C重合，则|PA|＋|PB|＋|PC|＞|PA|＋|PB|也不符合题意，故C为唯一的中位点，①正确；对于②，我们取斜边长为4的等腰直角三角形，此时，斜边中点到三个顶点的距离均为2，和为6；而我们取斜边上中线的中点，该点到直角顶点的距离为1，到两底角顶点的距离均为，显然2＋1＜6，故该直角三角形的斜边中点不是中位点，②错误；对于③，当A，B，C，D四点共线时，不妨设他们的顺序就是A，B，C，D，则当点P在B，C之间运动时，点P到A，B，C，D四点的距离之和相等且最小，即这个时候的中位点有无穷多个，③错误；对于④，同样根据三角形两边之和大于第三边的性质，如果中位点不在对角线的交点上，则距离之和肯定不是最小的，④正确．6．C8[2022·天津卷]在△ABC中，∠ABC＝，AB＝，BC＝3，则sin∠BAC＝( )A.B.C.D.6．C [解析]由余弦定理得AC2＝2＋9－2×3××＝5，即AC＝，由正弦定理得＝，解得sin∠BAC＝.17．C5，C8[2022·新课标全国卷Ⅱ]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcosC＋csinB.(1)求B；(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．17．解：(1)由已知及正弦定理得sinA＝sinBcosC＋sinCsinB．①又A＝π－(B＋C)，故sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC．②由①②和C∈(0，π)得sinB＝cosB.-28-\n又B∈(0，π)，所以B＝.(2)△ABC的面积S＝acsinB＝ac.由已知及余弦定理得4＝a2＋c2－2accos.又a2＋c2≥2ac，故ac≤，当且仅当a＝c时，等号成立．因此△ABC面积的最大值为＋1.20．C2、C5、C6，C8[2022·重庆卷]在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2＋b2＋ab＝c2.(1)求C；(2)设cosAcosB＝，＝，求tanα的值．20．解：(1)因为a2＋b2＋ab＝c2，所以由余弦定理有cosC＝＝＝－.故C＝.(2)由题意得＝，因此(tanαsinA－cosA)(tanαsinB－cosB)＝，tan2αsinAsinB－tanα(sinAcosB＋cosAsinB)＋cosAcosB＝，tan2αsinAsinB－tanαsin(A＋B)＋cosAcosB＝.①因为C＝，所以A＋B＝，所以sin(A＋B)＝.因为cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB，即－sinAsinB＝.解得sinAsinB＝－＝.由①得tan2α－5tanα＋4＝0，解得tanα＝1或tanα＝4.C9 单元综合 20．C4，C9，B14[2022·福建卷]已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的周期为π，图像的一个对称中心为.-28-\n将函数f(x)图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得到的图像向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图像．(1)求函数f(x)与g(x)的解析式；(2)是否存在x0∈，使得f(x0)，g(x0)，f(x0)g(x0)按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定x0的个数；若不存在，说明理由；(3)求实数a与正整数n，使得F(x)＝f(x)＋ag(x)在(0，nπ)内恰有2022个零点．20．解：(1)由函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的周期为π，ω>0，得ω＝＝2.又曲线y＝f(x)的一个对称中心为，φ∈(0，π)，故f＝sin＝0，得φ＝，所以f(x)＝cos2x.将函数f(x)图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后可得y＝cosx的图像，再将y＝cosx的图像向右平移个单位长度后得到函数g(x)＝cos的图像，所以g(x)＝sinx.(2)当x∈时，<sinx<，0<cos2x<，所以sinx>cos2x>sinxcos2x.问题转化为方程2cos2x＝sinx＋sinxcos2x在内是否有解．设G(x)＝sinx＋sinxcos2x－2cos2x，x∈，则G′(x)＝cosx＋cosxcos2x＋2sin2x(2－sinx)．因为x∈，所以G′(x)>0，G(x)在内单调递增．又G＝－<0，G＝>0，且函数G(x)的图像连续不断，故可知函数G(x)在内存在唯一零点x0，即存在唯一的x0∈满足题意．(3)方法一：依题意，F(x)＝asinx＋cos2x，令F(x)＝asinx＋cos2x＝0.当sinx＝0，即x＝kπ(k∈Z)时，cos2x＝1，从而x＝kπ(k∈Z)不是方程F(x)＝0的解，所以方程F(x)＝0等价于关于x的方程a＝－，x≠kπ(k∈Z)．现研究x∈(0，π)∪(π，2π)时方程a＝－的解的情况．令h(x)＝－，x∈(0，π)∪(π，2π)，则问题转化为研究直线y＝a与曲线y＝h(x)，x∈(0，π)∪(π，2π)的交点情况．h′(x)＝，令h′(x)＝0，得x＝或x＝.-28-\n当x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：xh′(x)＋0－－0＋h(x)1－1当x>0且x趋近于0时，h(x)趋向于－∞，当x<π且x趋近于π时，h(x)趋向于－∞，当x>π且x趋近于π时，h(x)趋向于＋∞，当x<2π且x趋近于2π时，h(x)趋向于＋∞，故当a>1时，直线y＝a与曲线y＝h(x)在(0，π)内无交点，在(π，2π)内有2个交点；当a<－1时，直线y＝a与曲线y＝h(x)在(0，π)内有2个交点，在(π，2π)内无交点；当－1<a<1时，直线y＝a与曲线y＝h(x)在(0，π)内有2个交点，在(π，2π)内有2个交点．由函数h(x)的周期性，可知当a≠±1时，直线y＝a与曲线y＝h(x)在(0，nπ)内总有偶数个交点，从而不存在正整数n，使得直线y＝a与曲线y＝h(x)在(0，nπ)内恰有2013个交点；又当a＝1或a＝－1时，直线y＝a与曲线y＝h(x)在(0，π)∪(π，2π)内有3个交点，由周期性，2022＝3×671，所以依题意得n＝671×2＝1342.综上，当a＝1，n＝1342或a＝－1，n＝1342时，函数F(x)＝f(x)＋ag(x)在(0，nπ)内恰有2022个零点．方法二：依题意，F(x)＝asinx＋cos2x＝－2sin2x＋asinx＋1.现研究函数F(x)在(0，2π]上的零点的情况．设t＝sinx，p(t)＝－2t2＋at＋1(－1≤t≤1)，则函数p(t)的图象是开口向下的抛物线，又p(0)＝1>0，p(－1)＝－a－1，p(1)＝a－1.当a>1时，函数p(t)有一个零点t1∈(－1，0)(另一个零点t2>1，舍去)，F(x)在(0，2π]上有两个零点x1，x2，且x1，x2∈(π，2π)；当a<－1时，函数p(t)有一个零点t1∈(0，1)(另一个零点t2<－1，舍去)，F(x)在(0，2π]上有两个零点x1，x2，且x1，x2∈(0，π)；当－1<a<1时，函数p(t)的一个零点t1∈(－1，0)，另一个零点t2∈(0，1)，F(x)在(0，π)和(π，2π)上分别有两个零点．由正弦函数的周期性，可知当a≠±1时，函数F(x)在(0，nπ)内总有偶数个零点，从而不存在正整数n满足题意．当a＝1时，函数p(t)的一个零点t1∈(－1，0)，另一个零点t2＝1；当a＝－1时，函数p(t)的一个零点t1＝－1，另一个零点t2∈(0，1)，从而当a＝1或a＝－1时，函数F(x)在(0，2π]有3个零点，由正弦函数的周期性，2022＝3×671，所以依题意得n＝671×2＝1342.综上，当a＝1，n＝1342或a＝－1，n＝1342时，函数F(x)＝f(x)＋ag(x)在(0，nπ)内恰有2013个零点．17．C9[2022·湖南卷]已知函数f(x)＝sin＋cos，g(x)＝2sin2.(1)若α是第一象限角，且f(α)＝，求g(α)的值；(2)求使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合．-28-\n17．解：f(x)＝sin＋cos＝sinx－cosx＋cosx＋sinx＝sinx.g(x)＝2sin2＝1－cosx.(1)由f(α)＝得sinα＝.又α是第一象限角，所以cosα>0.从而g(α)＝1－cosα＝1－＝1－＝.(2)f(x)≥g(x)等价于sinx≥1－cosx，即sinx＋cosx≥1，于是sin≥.从而2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，即2kπ≤x≤2kπ＋，k∈Z.故使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合为x2kπ≤x≤2kπ＋，k∈Z.18．C9[2022·江苏卷]如图1－4，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min.在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA＝，cosC＝.(1)求索道AB的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？图1－418．解：(1)在△ABC中，因为cosA＝，cosC＝，所以sinA＝，sinC＝，从而sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC-28-\n＝×＋×＝.由正弦定理＝，得AB＝×sinC＝×＝1040(m)．所以索道AB的长为1040m.(2)假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(100＋50t)m，乙距离A处130tm，所以由余弦定理得d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×＝200(37t2－70t＋50)．因为0≤t≤，即0≤t≤8，故当t＝(min)时，甲、乙两游客距离最短．(3)由正弦定理＝，得BC＝×sinA＝×＝500(m)．乙从B出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710m才能到达C.设乙步行的速度为vm/min，由题意得－3≤－≤3，解得≤v≤，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在(单位：m/min)范围内．15．C9[2022·江苏卷]已知a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，0<β<α<π.(1)若|a－b|＝，求证：a⊥b；(2)设c＝(0，1)，若a＋b＝c，求α，β的值．15．解：(1)由题意得|a－b|2＝2，即(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝2.又因为a2＝b2＝|a|2＝|b|2＝1，所以2－2a·b＝2，即a·b＝0，故a⊥b.(2)因为a＋b＝(cosα＋cosβ，sinα＋sinβ)＝(0，1)，所以由此得，cosα＝cos(π－β)，由0<β<π，得0<π－β<π，又0<α<π，故α＝π－β.代入sinα＋sinβ＝1得，sinα＝sinβ＝，而α>β，所以α＝，β＝.12．C9、B14[2022·全国卷]已知函数f(x)＝cosxsin2x，下列结论中错误的是( )A．y＝f(x)的图像关于点(π，0)中心对称-28-\nB．y＝f(x)的图像关于直线x＝对称C．f(x)的最大值为D．f(x)既是奇函数，又是周期函数12．C [解析]因为对任意x，f(π－x)＋f(π＋x)＝cosxsin2x－cosxsin2x＝0，故函数f(x)图像关于点(π，0)中心对称；因为对任意x恒有f(π－x)＝cosxsin2x＝f(x)，故函数f(x)图像关于直线x＝对称；f(－x)＝－f(x)，f(x＋2π)＝f(x)，故f(x)既是奇函数也是周期函数；对选项C中，f(x)＝2cos2xsinx＝2(1－sin2x)sinx，令t＝sinx∈[－1，1]，设y＝(1－t2)t＝－t3＋t，y′＝－3t2＋1，可得函数y的极大值点为t＝，所以y在上的极大值为－＋＝，函数的端点值为0，故函数y在区间的最大值为，函数f(x)的最大值为，所以选项C中的结论错误．16．C9[2022·浙江卷]在△ABC中，∠C＝90°，M是BC的中点．若sin∠BAM＝，则sin∠BAC＝________．16. [解析]设△ABC的三边长为a，b，c，tan∠BAM＝.而tan∠BAM＝tan(∠BAC－∠CAM)＝＝＝＝，则＝1＋－2＋2＝0－2＝0，故＝sin∠BAC＝＝＝＝.1．[2022·湖北四校联考]下列说法正确的是( )A．存在α∈(0，)，使sinα＋cosα＝B．y＝tanx在其定义域内为增函数C．y＝cos2x＋sin(－x)既有最大、最小值，又是偶函数-28-\nD．y＝sin的最小正周期为π1．C [解析]由sinα＋cosα＝＝sin(α＋)，因为α∈，所以α＋∈，因此sin∈(1，]，而∉(1，]，故A错．由y＝tanx在其定义域内不单调，故B错．对于C：y＝cos2x＋sin＝2cos2x－1＋cosx＝22－，因为cosx∈[－1，1]，所以y＝cos2x＋sin有最大值，最小值，令y＝f(x)，则f(－x)＝cos[2(－x)]＋sin＝cos2x＋sin＝cos2x－sin＝cos2x＋sin＝f(x)，所以函数y为偶函数，故C对．对于D，y＝sin＝sin的图像向右平移个单位后为函数y＝sin|2x|的图像，而y＝sin|2x|是偶函数，图像关于y轴对称，如图所示，不具有周期性，综上可知选C.2．[2022·马鞍山一检]函数f(x)＝3sin(2x－)的图像为C，如下结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．①图像C关于直线x＝π对称；②图像C的所有对称中心都可以表示为(＋kπ，0)(k∈Z)；③函数f(x)在区间[－，]内是增函数；④由y＝－3cos2x的图像向左平移个单位长度可以得到图像C；⑤函数f(x)在[0，]上的最小值是－3.2．①③④ [解析]函数f(x)＝3sin的图像的对称轴为2x－＝kπ＋(k∈Z)，即x＝π＋π(k∈Z)，当k＝1时，x＝π，故直线x＝π是图像C的对称轴，所以①对．函数f(x)图像的对称中心的横坐标为2x－＝kπ(k∈Z)，即x＝＋π(k∈Z)，所以②错．函数f(x)的单调增区间为－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，即－＋kπ≤x≤π＋kπ(k∈Z)，k＝0时，－≤x≤π所以③对．将y＝－3cos2x的图像向左平移个单位长度可得y＝－3cos＝－3cos＝3sin，-28-\n所以④对．当x∈时，2x－∈，所以f(x)∈[－，3]，故⑤错．综上，①③④正确．3．[2022·吉林实验中学二模]把函数y＝sinx(x∈R)的图像上所有点向左平移个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到的图像所表示的函数是( )A．y＝sin(2x－)，x∈RB．y＝sin(＋)，x∈RC．y＝sin(2x＋)，x∈RD．y＝sin(2x＋)，x∈R3．C [解析]将函数y＝sinx(x∈R)的图像上所有点向左平移个单位长度可得函数y＝sin的图像，将y＝sin的图像上所有点的横坐标缩小为原来的(纵坐标不变)，可得函数y＝sin(2x＋)的图像，故选C.4．[2022·哈尔滨三中期末]已知f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω∈R，|φ|<)，满足f(x)＝－f(x＋)，f(0)＝，f′(0)<0，则g(x)＝2cos(ωx＋φ)在区间[0，]上的最大值与最小值之和为( )A．2－B.－2C．0D．－14．A [解析]由f(0)＝⇒f(0)＝sinφ＝，故φ＝＋2kπ(k∈Z)，又因为|φ|<，所以φ＝.因为f(x)＝－f，所以f(x)＝f(x＋π)，故f(x)的周期为π，则|ω|＝＝2，又f′(x)＝ωcos(ωx＋φ)⇒f′(0)＝ωcosφ<0⇒ω<0，所以ω＝－2，则g(x)＝2cos＝2cos.又因为0≤x≤，所以－≤2x－≤π，讨论如下：当2x－＝0时，g(x)取最大值为2；当2x－＝π时，g(x)取最小值为－，所以g(x)的最大值与最小值之和为2－.5．[2022·天津耀华中学月考]在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，a＝，b＝，且1＋2cos(B＋C)＝0，则BC边上的高等于( )A.－1B.＋1C.D.-28-\n5．D [解析]由1＋2cos(B＋C)＝0，得1－2cosA＝0，cosA＝，所以A＝.由正弦定理得＝，即＝，得sinB＝，因为b<a，所以B<A，即B＝.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，得3＝2＋c2－c，即c2－c－1＝0，解得c＝，所以BC边上的高为h＝csinB＝×＝，选D.6．[2022·银川一中月考(六)]设f(sinα＋cosα)＝sinαcosα，若f(t)＝，则t的值为( )A．±B.C．±D.6．A [解析]由f(sinα＋cosα)＝sinαcosα＝＝，令t＝sinα＋cosα，则＝，解得t＝±-28-
