算法初步与复数L1 算法与程序框图 6．L1[2022·北京卷]执行如图1－1所示的程序框图，输出的S值为( )图1－1A．1B.C.D.6．C [解析]执行第一次循环时S＝＝，i＝1；执行第二次循环时S＝＝，i＝2，此时退出循环，故选C.8．L1[2022·福建卷]阅读如图1－2所示的程序框图，运行相应的程序．如果输入某个正整数n后，输出的S∈(10，20)，那么n的值为( )图1－2A．3B．4C．5D．6-15-\n8．B [解析]S＝0，k＝1→S＝1，k＝2→S＝3，k＝3→S＝7，k＝4→S＝15，k＝5>4，故选B.13．L1[2022·湖北卷]阅读如图1－2所示的程序框图，运行相应的程序，若输入m的值为2，则输出的结果i＝________．图1－213．4 [解析]逐次运行结果是i＝1，A＝2，B＝1；i＝2，A＝4，B＝2；i＝3，A＝8，B＝6；i＝4，A＝16，B＝24，此时A<B成立，故输出i＝4.12．L1[2022·湖南卷]执行如图1－1所示的程序框图，如果输入a＝1，b＝2，则输出的a的值为________．图1－112．9 [解析]根据程序框图所给流程依次可得，a＝1，b＝2→a＝3→a＝5→a＝7→a＝9，满足条件，输出a＝9.5．L1[2022·江苏卷]如图1－1是一个算法的流程图，则输出的n的值是________．图1－1-15-\n5．3 [解析]逐一代入可得n123a2826a<20YYN当a＝26>20时，n＝3，故最后输出3.7．L1[2022·江西卷]阅读如图1－1所示的程序框图，如果输出i＝4，那么空白的判断框中应填入的条件是( )图1－1A．S<8B．S<9C．S<10D．S<117．B [解析]i＝2，S＝5，i＝3，S＝8，i＝4，S＝9，因输出i＝4，故填S<9，故选B.图1－26．L1[2022·山东卷]执行两次图1－2所示的程序框图，若第一次输入的a的值为－1.2，第二次输入的a的值为1.2，则第一次、第二次输出的a的值分别为( )A．0.2，0.2B．0.2，0.8C．0.8，0.2D．0.8，0.86．C [解析]当a＝－1.2时，执行第一个循环体，a＝－1.2＋1＝－0.2<0再执行一次第一个循环体，a＝－0.2＋1＝0.8，第一个循环体结束，输出；当a＝1.2时，执行第二个循环体，a＝1.2－1＝0.2，输出．3．L1[2022·天津卷]阅读如图1－1所示的程序框图，运行相应的程序，则输出n的值为( )-15-\n图1－1A．7B．6C．5D．43．D [解析]当n＝1时，S＝0＋(－1)×1＝－1；当n＝2时，S＝－1＋(－1)2×2＝1；当n＝3时，S＝1＋(－1)3×3＝－2；当n＝4时，S＝－2＋(－1)4×4＝2满足题意，输出n＝4.图1－718．L1，K6[2022·四川卷]某算法的程序框图如图1－7所示，其中输入的变量x在1，2，3，…，24这24个整数中等可能随机产生．(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率Pi(i＝1，2，3)；(2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为i(i＝1，2，3)的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．甲的频数统计表(部分)运行次数n输出y的值为1的频数输出y的值为2的频数输出y的值为3的频数3014610…………21001027376697乙的频数统计表(部分)运行次数n输出y的值为1的频数输出y的值为2的频数输出y的值为3的频数3012117…………-15-\n21001051696353当n＝2100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i＝1，2，3)的频率(用分数表示)，并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大．18．解：(1)变量x是在1，2，3，…，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能．当x从1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23这12个数中产生时，输出y的值为1，故P1＝；当x从2，4，8，10，14，16，20，22这8个数中产生时，输出y的值为2，故P2＝；当x从6，12，18，24这4个数中产生时，输出y的值为3，故P3＝.所以，输出y的值为1的概率为，输出y的值为2的概率为，输出y的值为3的概率为.(2)当n＝2100时，甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i＝1，2，3)的频率如下：输出y的值为1的频率输出y的值为2的频率输出y的值为3的频率甲乙比较频率趋势与(1)中所求的概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大．图1－17．L1[2022·新课标全国卷Ⅰ]如图1－1所示的程序框图，如果输入的t∈[－1，3]，则输出的s属于( )A．[－3，4]B．[－5，2]C．[－4，3]D．[－2，5]7．A [解析]当－1≤t<1时，输出的s＝3t∈[－3，3)；当1≤t≤3时，输出的s＝4t－t2∈[3，4]．故输出的s∈[－3，4]．14．L1[2022·浙江卷]若某程序框图如图1－5所示，则该程序运行后输出的值等于-15-\n________．图1－514. [解析]S＝1＋＋＋…＋＝1＋1－＋－＋…＋－＝1＋1－＝2－＝.图1－15．L1[2022·重庆卷]执行如图1－1所示的程序框图，则输出的k的值是( )A．3B．4C．5D．65．C [解析]第一次循环s＝1＋(1－1)2＝1，k＝2；第二次循环s＝1＋(2－1)2＝2，k＝3；第三次循环s＝2＋(3－1)2＝6，k＝4；第四次循环s＝6＋(4－1)2＝15，k＝5；第五次循环s＝15＋(5－1)2＝31，结束循环，所以输出的k的值是5，故选C.L2 基本算法语句 4．L2[2022·陕西卷]根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为( )输入x；Ifx≤50Theny＝0.5*xElsey＝25＋0.6*(x－50)-15-\nEndIf输出y.A．25B．30C．31D．614．C [解析]算法语言给出的是分段函数y＝输入x＝60时，y＝25＋0.6(60－50)＝31.L3 算法案例 L4 复数的基本概念与运算 1．L4[2022·安徽卷]设i是虚数单位，若复数a－(a∈R)是纯虚数，则a的值为( )A．－3B．－1C．1D．31．D [解析]a－＝a－＝a－(3＋i)＝(a－3)－i，其为纯虚数得a＝3.4．L4[2022·北京卷]在复平面内，复数i(2－i)对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．A [解析]∵i(2－i)＝2i＋1，∴i(2－i)对应的点为(1，2)，因此在第一象限．1．L4[2022·福建卷]复数z＝－1－2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限1．C [解析]z＝－1－2i对应的点为P(－1，－2)，故选C.3．L4[2022·广东卷]若i(x＋yi)＝3＋4i，x，y∈R，则复数x＋yi的模是( )A．2B．3C．4D．53．D [解析]根据复数相等知|x＋yi|＝＝5.11．L4[2022·湖北卷]i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则z2＝________．11．－2＋3i [解析]由z2与z1对应的点关于原点对称知：z2＝－2＋3i.17．L4[2022·湖南卷]如图1－2所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝，AA1＝3，D是BC的中点，点E在棱BB1上运动．(1)证明：AD⊥C1E；(2)当异面直线AC，C1E所成的角为60°时，求三棱锥C1－A1B1E的体积．-15-\n图1－217．解：(1)证明：因为AB＝AC，D是BC的中点，所以AD⊥BC.①又在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，而AD平面ABC，所以AD⊥BB1.②由①，②得AD⊥平面BB1C1C.由点E在棱BB1上运动，得C1E平面BB1C1C，所以AD⊥C1E.(2)因为AC∥A1C1，所以∠A1C1E是异面直线AC，C1E所成的角，由题设∠A1C1E＝60°.因为∠B1A1C1＝∠BAC＝90°，所以A1C1⊥A1B1.又AA1⊥A1C1，从而A1C1⊥平面A1ABB1，于是A1C1⊥A1E.故C1E＝＝2.又B1C1＝＝2，所以B1E＝＝2.从而V三棱锥C1－A1B1E＝S△A1B1E·A1C1＝××2××＝.图1－318．L4[2022·湖南卷]某人在如图1－3所示的直角边长为4m的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：X1234Y51484542这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1m.(1)完成下表，并求所种作物的平均年收获量；Y51484542频数4(2)在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为48kg的概率．18．-15-\n解：(1)所种作物的总株数为1＋2＋3＋4＋5＝15，其中“相近”作物株数为1的作物有2株，“相近”作物株数为2的作物有4株，“相近”作物株数为3的作物有6株，“相近”作物株数为4的作物有3株，列表如下：Y51484542频数2463所种作物的平均年收获量为＝＝＝46.(2)由(1)知，P(Y＝51)＝，P(Y＝48)＝.故在所种作物中随机选取一株，它的年收获量至少为48kg的概率为P(Y≥48)＝P(Y＝51)＋P(Y＝48)＝＋＝.19．L4[2022·湖南卷]设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1≠0，2an－a1＝S1·Sn，n∈N*.(1)求a1，a2，并求数列{an}的通项公式；(2)求数列{nan}的前n项和．19．解：(1)令n＝1，得2a1－a1＝a，即a1＝a.因为a1≠0，所以a1＝1.令n＝2，得2a2－1＝S2＝1＋a2，解得a2＝2.当n≥2时，由2an－1＝Sn，2an－1－1＝Sn－1，两式相减得2an－2an－1＝an，即an＝2an－1.于是数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列．因此，an＝2n－1.所以数列{an}的通项公式为an＝2n－1.(2)由(1)知，nan＝n·2n－1.记数列{n·2n－1}的前n项和为Bn，于是Bn＝1＋2×2＋3×22＋…＋n×2n－1，①2Bn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，②①－②得－Bn＝1＋2＋22＋…＋2n－1－n·2n＝2n－1－n·2n.从而Bn＝1＋(n－1)2n.20．L4[2022·湖南卷]已知F1，F2分别是椭圆E：＋y2＝1的左、右焦点，F1，F2关于直线x＋y－2＝0的对称点是圆C的一条直径的两个端点．(1)求圆C的方程；(2)设过点F2的直线l被椭圆E和圆C所截得的弦长分别为a，b.当ab最大时，求直线l的方程．20．解：(1)由题设知，F1，F2的坐标分别为(－2，0)，(2，0)，圆C的半径为2，圆心为原点O关于直线x＋y－2＝0的对称点．设圆心的坐标为(x0，y0)，由解得所以圆C的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝4.(2)由题意，可设直线l的方程为x＝my＋2，-15-\n则圆心到直线l的距离d＝，所以b＝2＝.由得(m2＋5)y2＋4my－1＝0.设l与E的两个交点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则y1＋y2＝－，y1y2＝－.于是a＝＝＝＝＝.从而ab＝＝＝≤＝2.当且仅当＝，即m＝±时等号成立．故当m＝±时，ab最大，此时，直线l的方程为x＝y＋2或x＝－y＋2，即x－y－2＝0或x＋y－2＝0.21．L4[2022·湖南卷]已知函数f(x)＝ex.(1)求f(x)的单调区间；(2)证明：当f(x1)＝f(x2)(x1≠x2)时，x1＋x2<0.21．解：(1)函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)．f′(x)＝′ex＋ex＝＋ex＝ex.当x<0时，f′(x)>0；当x>0时，f′(x)<0，所以f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0，＋∞)．(2)证明：当x<1时，由于>0，ex>0，故f(x)>0；同理，当x>1时，f(x)<0.当f(x1)＝f(x2)(x1≠x2)时，不妨设x1<x2，由(1)知，x1∈(－∞，0)，x2∈(0，1)．-15-\n下面证明：x∈(0，1)，f(x)<f(－x)，即证ex<e－x.此不等式等价于(1－x)ex－<0.令g(x)＝(1－x)ex－，则g′(x)＝－xe－x(e2x－1)．当x∈(0，1)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，从而g(x)<g(0)＝0，即(1－x)ex－<0.所以x∈(0，1)，f(x)<f(－x)．由x2∈(0，1)，所以f(x2)<f(－x2)，从而f(x1)<f(－x2)．由于x1，－x2∈(－∞，0)，f(x)在(－∞，0)上单调递增，所以x1<－x2，即x1＋x2<0.16．L4[2022·湖南卷]已知函数f(x)＝cosx·cos.(1)求f的值；(2)求使f(x)<成立的x的取值集合．16．解：(1)f＝cos·cos＝－cos·cos＝－2＝－.(2)f(x)＝cosx·cosx－＝cosx·cosx＋sinx＝cos2x＋sinxcosx＝(1＋cos2x)＋sin2x＝cos2x－＋.f(x)<cos2x－＋<，即cos2x－<0.于是2kπ＋<2x－<2kπ＋，k∈Z，解得kπ＋<x<kπ＋，k∈Z.故使f(x)<成立的x的取值集合为xkπ＋<x<kπ＋，k∈Z.1．L4[2022·湖南卷]复数z＝i·(1＋i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限1．B [解析]z＝i·(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i，在复平面上对应点坐标为(－1，1)，位于第二象限，选B.-15-\n2．L4[2022·江苏卷]设z＝(2－i)2(i为虚数单位)，则复数z的模为________．2．5 [解析]因为z＝(2－i)2＝4－4i＋i2＝3－4i，所以复数z的模为5.1．L4[2022·江西卷]复数z＝i(－2－i)(i为虚数单位)在复平面内所对应的点在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限1．D [解析]z＝1－2i，故选D.2．L4[2022·辽宁卷]复数z＝的模为( )A.B.C.D．22．B [解析]z＝＝－＝－＝－－，故选B.2．L4[2022·新课标全国卷Ⅱ]＝( )A．2B．2C.D．12．C [解析]＝＝，故选C.1．L4[2022·山东卷]复数z＝(i为虚数单位)，则|z|＝( )A．25B.C．5D.1．C [解析]∵z＝＝＝－4－3i，∴|z|＝＝5.9．L4[2022·天津卷]i是虚数单位，复数(3＋i)(1－2i)＝________．9．5－5i [解析](3＋i)(1－2i)＝3×1＋2＋(1－6)i＝5－5i.3．L4[2022·四川卷]如图1－2，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是( )图1－2A．AB．BC．CD．D3．B [解析]复数与其共轭复数的几何关系是两者表示的点关于x轴对称．6．A2，L4[2022·陕西卷]设z是复数，则下列命题中的假命题是( )A．若z2≥0，则z是实数B．若z2<0，则z是虚数C．若z是虚数，则z2≥0-15-\nD．若z是纯虚数，则z2<06．C [解析]设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝a2－b2＋2abi，若z2≥0，则即b＝0，故z是实数，A正确．若z2<0，则即故B正确．若z是虚数，则b≠0，z2＝a2－b2＋2abi无法与0比较大小，故C是假命题．若z是纯虚数，则z2＝－b2<0，故D正确．2．L4[2022·新课标全国卷Ⅰ]＝( )A．－1－iB．－1＋iC．1＋iD．1－i2．B [解析]＝＝－1＋i.2．L4[2022·浙江卷]已知i是虚数单位，则(2＋i)(3＋i)＝( )A．5－5iB．7－5iC．5＋5iD．7＋5i2．C [解析](2＋i)(3＋i)＝6－1＋i(2＋3)＝5＋5i.所以选择C.11．L4[2022·重庆卷]设复数z＝1＋2i(i是虚数单位)，则|z|＝________．11. [解析]|z|＝＝.L5 单元综合 1．[2022·郑州一检]若复数z＝2－i，则z＋等于( )A．2－iB．2＋iC．4＋2iD．6＋3i1．D [解析]＋＝2＋i＋＝2＋i＋＝6＋3i.2．[2022·杭州一检]若程序框图如图K42－2所示，则该程序运行后输出k的值是( )A．4B．5C．6D．7-15-\n图K42－22．B [解析]由题意，得n＝5，k＝0→n＝16，k＝1→n＝8，k＝2→n＝4，k＝3→n＝2，k＝4→n＝1，k＝5→终止当n＝2时，执行最后一次循环；当n＝1时，循环终止，这是关键．输出k＝5.3．[2022·云南师大附中月考]如图K42－3给出的是计算＋＋＋…＋的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是( )A．i>12?B．i>11?C．i>10?D．i>9?图K42－33．C [解析]该程序框图为求和运算，s＝0，n＝2，i＝1，i>10？否；s＝0＋，n＝4，i＝2，i>10？否；s＝0＋＋，n＝6，i＝3，i>10？否；…；s＝0＋＋＋…＋，n＝22，i＝11，i>10？是，输出s＝＋＋…＋.得C选项．4．[2022·杭州一检]若复数z＝2i＋，其中i是虚数单位，则复数z的模为( )A.B.C.D．2-15-\n4．B [解析]由题意得z＝2i＋＝2i＋＝1＋i，复数z的模|z|＝＝.5．[2022·北京朝阳区期末]执行如图K42－4所示的程序框图．若输入x＝3，则输出k的值是( )图K42－4A．3B．4C．5D．65．C [解析]第一次循环x＝3＋5＝8，k＝1；第二次循环x＝8＋5＝13，k＝2；第三次循环x＝13＋5＝18，k＝3；第四次循环x＝18＋5＝23，k＝4；第五次循环x＝23＋5＝28，k＝5，此时满足条件输出k＝5，选C.6．[2022·广东茂名模拟]i是虚数单位，i＋i2＋i3＋i4＋…＋i2013＝________．6．i [解析]∵i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＋i4n＝0，∴i＋i2＋…＋i2013＝i.-15-
