不等式E1 不等式的概念与性质 12．H2，E1[2022·新课标全国卷Ⅱ]已知点A(－1，0)，B(1，0)，C(0，1)，直线y＝ax＋b(a＞0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是( )A．(0，1)B.C.D.12．B [解析]方法一：易得△ABC面积为1，利用极限位置和特值法．当a＝0时，易得b＝1－；当a＝时，易得b＝；当a＝1时，易得b＝－1>.故选B.方法二：(直接法)y＝，y＝ax＋b与x轴交于，结合图形与a>0，××＝(a＋b)2＝a(a＋1)>0a＝.∵a>0，∴>0b<，当a＝0时，极限位置易得b＝1－，故答案为B.8．B7，E1[2022·新课标全国卷Ⅱ]设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则( )A．c＞b＞aB．b＞c＞aC．a＞c＞bD．a＞b＞c8．D [解析]a－b＝log36－log510＝(1＋log32)－(1＋log52)＝log32－log52>0，b－c＝log510－log714＝(1＋log52)－(1＋log72)＝log52－log72>0，所以a>b>c，选D.E2 绝对值不等式的解法 E3 一元二次不等式的解法 6．E3、B6、B7[2022·安徽卷]已知一元二次不等式f(x)<0的解集为xx<－1或x>，则f(10x)>0的解集为( )A．{x|x<－1或x>－lg2}B．{x|－1<x<－lg2}C．{x|x>－lg2}D．{x|x<－lg2}6．D [解析]根据已知可得不等式f(x)>0的解是－1<x<，故－1<10x<，解得x<－lg2.-12-\n9．E3[2022·广东卷]不等式x2＋x－2<0的解集为________．9．{x|－2<x<1} [解析]x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)<0，解得－2<x<1.故不等式的解集是{x|－2<x<1}．14．B4，E3[2022·四川卷]已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，那么，不等式f(x＋2)<5的解集是________．14．(－7，3) [解析]当x＋2≥0时，f(x＋2)＝(x＋2)2－4(x＋2)＝x2－4，由f(x＋2)＜5，得x2－4＜5，即x2＜9，解得－3＜x＜3，又x＋2≥0，故－2≤x＜3为所求．又因为f(x)为偶函数，故f(x＋2)的图像关于直线x＝－2对称，于是－7＜x＜－2也满足不等式．(注：本题还可以借助函数的图像及平移变换求解)E4 简单的一元高次不等式的解法 14．E4、K3[2022·山东卷]在区间[－3，3]上随机取一个数x，使得|x＋1|－|x－2|≥1成立的概率为________．14. [解析]当x<－1时，不等式化为－x－1＋x－2≥1，此时无解；当－1≤x≤2时，不等式化为x＋1＋x－2≥1，解之得x≥1；当x>2时，不等式化为x＋1－x＋2≥1，此时恒成立，∴|x＋1|－|x－2|≥1的解集为.在上使不等式有解的区间为，由几何概型的概率公式得P＝＝.E5 简单的线性规划问题 9．F2、E5[2022·安徽卷]在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足||＝||＝·＝2，则点集{P|＝λ＋μ，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是( )A．2B．2C．4D．49．D [解析]由||＝||＝·＝2，可得点A，B在圆x2＋y2＝4上且∠AOB＝60°，在平面直角坐标系中，设A(2，0)，B(1，)，设P(x，y)，则(x，y)＝λ(2，0)＋μ(1，)，由此得x＝2λ＋μ，y＝μ，解得μ＝，λ＝x－y，由于|λ|＋|μ|≤1，所以x－y＋y≤1，即|x－y|＋|2y|≤2.-12-\n①或②或③或④上述四个不等式组在平面直角坐标系中表示的区域如图阴影部分所示，所以所求区域的面积是4.8．E5[2022·北京卷]设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x0－2y0＝2，求得m的取值范围是( )A.B.C.D.8．C [解析]在直角坐标系中画出可行域，如图所示，由题意可知，可行域内与直线x－2y＝2有交点，当点(－m，m)在直线x－2y＝2上时，有m＝－，所以m<－，故选C.13．E5[2022·广东卷]给定区域D：令点集T＝{(x0，y0)∈D|x0，y0∈Z，(x0，y0)是z＝x＋y在D上取值最大值或最小值的点}．则T中的点共确定________条不同的直线．13．6 [解析]由题画出不等式组表示的区域如图阴影部分，易知线性目标函数z＝x＋y在点(0，1)处取得最小值，在(0，4)或(1，3)或(2，2)或(3，1)或(4，0)处取得最大值，这些点一共可以确定6条直线．-12-\n20．I3，E5[2022·湖北卷]假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N(800，502)的随机变量，记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为P0.(1)求P0的值；(参考数据：若X～N(μ，σ2)，有P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9974)(2)某客运公司用A，B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆．若每天要以不小于P0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？20．解：(1)由于随机变量X服从正态分布N(800，502)，故有μ＝800，σ＝50，P(700<X≤900)＝0.9544.由正态分布的对称性，可得P0＝P(X≤900)＝P(X≤800)＋P(800<X≤900)＝＋P(700<X≤900)＝0.9772.(2)设A型、B型车辆的数量分别为x，y辆，则相应的营运成本为1600x＋2400y，依题意，x，y还需满足：x＋y≤21，y≤x＋7，P(X≤36x＋60y)≥P0.由(1)知，P0＝P(X≤900)，故P(X≤36x＋60y)≥P0等价于36x＋60y≥900，于是问题等价于求满足约束条件且使目标函数z＝1600x＋2400y达到最小的x，y值．作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P(5，12)，Q(7，14)，R(15，6)．由图可知，当直线z＝1600x＋2400y经过可行域的点P时，直线z＝1600x＋2400y在y轴上截距最小，即z取得最小值，故应配备A型车5辆，B型车12辆．4．E5[2022·湖南卷]若变量x，y满足结束条件则x＋2y的最大值是( )A．－B．0C.D.4．C [解析]根据题意，画出x，y满足的可行域，如图，-12-\n可知在点C处x＋2y取最大值为.9．E5[2022·江苏卷]抛物线y＝x2在x＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D(包含三角形内部与边界)．若点P(x，y)是区域D内的任意一点，则x＋2y的取值范围是________．9. [解析]由y＝x2得y′＝2x，则在点x＝1处的切线斜率k＝2×1＝2，切线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.在平面直角坐标系中作出可行域，如图阴影部分所示，则A(0，－1)，B.作直线l0：x＋2y＝0.当平移直线l0至点A时，zmin＝0＋2(－1)＝－2；当平移直线l0至点B时，zmax＝＋2×0＝.故x＋2y的取值范围是.6．E5[2022·山东卷]在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为( )A．2B．1C．－D．－6．C [解析]不等式组表示的可行域如图，联立解得P，当M与P重合时，直线OM斜率最小，此时kOM＝＝－.-12-\n图1－113．E5[2022·陕西卷]若点(x，y)位于曲线y＝|x－1|与y＝2所围成的封闭区域，则2x－y的最小值为________．13．－4 [解析]结合题目可以作出y＝∣x－1∣与y＝2所表示的平面区域，令2x－y＝z，即y＝2x－z，作出直线y＝2x，在封闭区域内平移直线y＝2x，当经过点A(－1，2)时，z取最小值为－4.2．E5[2022·天津卷]设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝y－2x的最小值为( )A．－7B．－4C．1D．22．A [解析]作出可行域，如图阴影部分．联立解得(5，3)，当目标函数线过可行域内A点时，目标函数有最小值z＝3－2×5＝－7.9．E5，H1[2022·新课标全国卷Ⅱ]已知a>0，x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝( )-12-\nA.B.C．1D．29．B [解析]直线y＝a(x－3)过定点(3，0).画出可行域如图，易得A(1，－2a)，B(3，0)，C(1，2).作出直线y＝－2x，平移易知直线过A点时直线在y轴上的截距最小，即2＋(－2a)＝1a＝.答案为B.13．E5[2022·浙江卷]设z＝kx＋y，其中实数x，y满足若z的最大值为12，则实数k＝________．13．2 [解析]不等式组表示的可行区域为如图所示的三角形ABC及其内部，A(2，0)，B(4，4)，C(0，2)，要使z的最大值为12，只能经过B点，此时12＝4k＋4，k＝2.E6 基本不等式 3．E6[2022·重庆卷](－6≤a≤3)的最大值为( )A．9B.C．3D.3．B [解析]因为－6≤a≤3，所以≤＝，当且仅当3－a＝a＋6，即a＝－时等号成立，故选B.E7 不等式的证明方法 E8 不等式的综合应用 -12-\n22．B12，E8[2022·湖北卷]设n是正整数，r为正有理数．(1)求函数f(x)＝(1＋x)r＋1－(r＋1)x－1(x>－1)的最小值；(2)证明：<nr<；(3)设x∈R，记[x]为不小于x的最小整数，例如[2]＝2，[π]＝4，－＝－1.令S＝＋＋＋…＋，求[S]的值．(参数数据：80≈344.7，81≈350.5，124≈618.3，126≈631.7)22．解：(1)因为f′(x)＝(r＋1)(1＋x)r－(r＋1)＝(r＋1)[(1＋x)r－1]，令f′(x)＝0，解得x＝0.当－1<x<0时，f′(x)<0，所以f(x)在(－1，0)内是减函数；当x>0时，f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)内是增函数，故函数f(x)在x＝0处取得最小值f(0)＝0.(2)由(1)，当x∈(－1，＋∞)时，有f(x)≥f(0)＝0，即(1＋x)r＋1≥1＋(r＋1)x，且等号当且仅当x＝0时成立，故当x>－1且x≠0时，有(1＋x)r＋1>1＋(r＋1)x.①在①中，令x＝(这时x>－1且x≠0)，得>1＋.上式两边同乘nr＋1，得(n＋1)r＋1>nr＋1＋nr(r＋1)，即nr<.②当n>1时，在①中令x＝－(这时x>－1且x≠0)，类似可得nr>，③且当n＝1时，③也成立，综合②，③得<nr<.④(3)在④中，令r＝，n分别取值81，82，83，…，125，得(81－80)<<(82－81)，(82－81)<<(83－82)，(83－82)<<(84－83)，……(125－124)<<(126－125)，将以上各式相加，并整理得(125－80)<S<(126－81)，代入数据计算，可得(125－80)≈210.2，(126－81)≈210.9.由[S]的定义，得[S]＝211.20．E8[2022·湖南卷]-12-\n在平面直角坐标系xOy中，将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M到N的一条“L路径”．如图1－5所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L路径”．某地有三个新建的居民区，分别位于平面xOy内三点A(3，20)，B(－10，0)，C(14，0)处，现计划在x轴上方区域(包含x轴)内的某一点P处修建一个文化中心．(1)写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式(不要求证明)；(2)若以原点O为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L路径”不能进入保护区，请确定点P的位置，使其到三个居民区的“L路径”长度之和最小．图1－520．解：设点P的坐标为(x，y)．(1)点P到居民区A的“L路径”长度最小值为|x－3|＋|y－20|，x∈R，y∈[0，＋∞)．(2)由题意知，点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小值为点P分别到三个居民区的“L路径”长度最小值之和(记为d)的最小值．①当y≥1时，d＝|x＋10|＋|x－14|＋|x－3|＋2|y|＋|y－20|.因为d1(x)＝|x＋10|＋|x－14|＋|x－3|≥|x＋10|＋|x－14|.(*)当且仅当x＝3时，不等式(*)中的等号成立．又因为|x＋10|＋|x－14|≥24.(**)当且仅当x∈[－10，14]时，不等式(**)中的等号成立．所以d1(x)≥24，当且仅当x＝3时，等号成立．d2(y)＝2y＋|y－20|≥21，当且仅当y＝1时，等号成立．故点P的坐标为(3，1)时，P到三个居民区的“L路径”长度之和最小，且最小值为45.②当0≤y≤1时，由于“L路径”不能进入保护区，所以d＝|x＋10|＋|x－14|＋|x－3|＋1＋|1－y|＋|y|＋|y－20|.此时，d1(x)＝|x＋10|＋|x－14|＋|x－3|，d2(y)＝1＋|1－y|＋|y|＋|y－20|＝22－y≥21.由①知，d1(x)≥24，故d1(x)＋d2(y)≥45，当且仅当x＝3，y＝1时等号成立．综上所述，在点P(3，1)处修建文化中心，可使该文化中心到三个居民区的“L路径”长度之和最小．12．E8[2022·山东卷]设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值为( )A．0B．1C.D．312．B [解析]由题意得z＝x2－3xy＋4y2，∴＝＝≤＝1，-12-\n当且仅当＝，即x＝2y时，等号成立，∴＋－＝＋－＝－＋1≤1.9．E8[2022·陕西卷]在如图1－2所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是( )图1－2A．[15，20]B．[12，25]C．[10，30]D．[20，30]9．C [解析]如下图，可知△ADE∽△ABC，设矩形的另一边长为y，则＝，所以y＝40－x.又xy≥300，所以x(40－x)≥300，即x2－40x＋300≤0，则10≤x≤30.15．C8，E8，N1[2022·四川卷]设P1，P2，…，Pn为平面α内的n个点，在平面α内的所有点中，若点P到P1，P2，…，Pn点的距离之和最小，则称点P为P1，P2，…，Pn点的一个“中位点”．例如，线段AB上的任意点都是端点A，B的中位点．则有下列命题：①若A，B，C三个点共线，C在线段AB上，则C是A，B，C的中位点；②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；③若四个点A，B，C，D共线，则它们的中位点存在且唯一；④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号)15．①④ [解析]对于①，如果中位点不在直线AB上，由三角形两边之和大于第三边可知与题意矛盾．而当中位点在直线AB上时，如果不与C重合，则|PA|＋|PB|＋|PC|＞|PA|＋|PB|也不符合题意，故C为唯一的中位点，①正确；对于②，我们取斜边长为4的等腰直角三角形，此时，斜边中点到三个顶点的距离均为2，和为6；而我们取斜边上中线的中点，该点到直角顶点的距离为1，到两底角顶点的距离均为，显然2＋1＜6，故该直角三角形的斜边中点不是中位点，②错误；对于③，当A，B，C，D四点共线时，不妨设他们的顺序就是A，B，C，D，则当点P在B，C之间运动时，点P到A，B，C，D四点的距离之和相等且最小，即这个时候的中位点有无穷多个，③错误；-12-\n对于④，同样根据三角形两边之和大于第三边的性质，如果中位点不在对角线的交点上，则距离之和肯定不是最小的，④正确．E9 单元综合 1．[2022·马鞍山一检]在平面直角坐标系中，若不等式组(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为( )A．－5B．1C．2D．31．D [解析]ax－y＋1＝0恒过定点(0，1)，绘出可行性区域如图所示，设直线ax－y＋1＝0与直线x－1＝0的交点为(1，m)，由可行性区域的面积为2可得·1·m＝2，解得m＝4，将(1，4)代入ax－y＋1＝0，解得a＝3，故选D.2．[2022·云南师大附中月考(三)]已知条件p：x2－3x－4≤0；条件q：x2－6x＋9－m2≤0；若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是( )A．[－1，1]B．[－4，4]C．(－∞，－4]∪[4，＋∞)D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)2．C [解析]对于p：－1≤x≤4，对于q讨论如下，当m>0时，q：3－m≤x≤3＋m；当m<0时，q：3＋m≤x≤3－m，若p是q的充分不必要条件，只需要或解得m≤－4或m≥4，选C.[规律解读]对于解含有参数的二次不等式，一般讨论的顺序是：(1)讨论二次项系数是否为0，这决定此不等式是否为二次不等式；(2)当二次项系数不为0时，讨论判别式是否大于0；(3)当判别式大于0时，讨论二次项系数是否大于0，这决定所求不等式的不等号的方向；(4)判断二次不等式两根的大小．3．[2022·山西大同一中四诊]设变量x，y满足|x|＋|y|≤1，则x＋2y的最大值和最小值分别为( )A．1，－1B．2，－2C．1，－2D．2，－13．B [解析]由题意绘出可行性区域如图所示，令z＝x＋2y，则y＝－x＋，求z的最大值，最小值即求y＝－x＋的截距的最大值，最小值．由图可知当y＝－x＋过点(0，1)时，z取最大值，过点(0，－1)时，z取最小值．所以z的最大值为0＋2×1＝2，z的最小值为0＋2×(－1)＝－2，故选B.-12-\n4．[2022·安徽池州期末]已知x，y满足则的取值范围是________．4. [解析]由题意绘出可行性区域如图所示，求的取值范围，即求可行域内任一点与点(4，2)连线的斜率k的取值范围，由图像可得k∈.[规律解读]本题与常规线性规划不同，主要是目标函数不是直线形式，此类问题常考虑目标函数的几何意义，常见代数式的几何意义主要有以下几点：(1)表示点(x，y)与原点(0，0)的距离，表示点(x，y)与点(a，b)的距离；(2)表示点(x，y)与原点(0，0)连线的斜率，表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率．这些代数式的几何意义能使所求问题得以转化，往往是解决问题的关键．5．[2022·郑州模拟]若x，y满足条件当且仅当x＝y＝3时，z＝ax－y取最小值，则实数a的取值范围是________．5. [解析]画出可行域，得到最优解(3，3)，把z＝ax－y变为y＝ax－z，即研究－z的最大值．当a∈时，y＝ax－z均过(3，3)且截距最大．-12-
