概率K1 随事件的概率 16．I1，K1，K2，K6[2022·北京卷]下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．图1－6(1)求此人到达当日空气重度污染的概率；(2)设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望；(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)16．解：设Ai表示事件“此人于3月i日到达该市”(i＝1，2，…，13)．根据题意，P(Ai)＝，且Ai∩Aj＝(i≠j)．(1)设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B＝A5∪A8.所以P(B)＝P(A5∪A8)＝P(A5)＋P(A8)＝.(2)由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，且P(X＝1)＝P(A3∪A6∪A7∪A11)＝P(A3)＋P(A6)＋P(A7)＋P(A11)＝，P(X＝2)＝P(A1∪A2∪A12∪A13)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A12)＋P(A13)＝，P(X＝0)＝1－P(X＝1)－P(X＝2)＝.所以X的分布列为X012P故X的期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝.(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．-27-\nK2 古典概型 9．K2[2022·湖北卷]如图1－2所示，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值E(X)＝( )图1－2A.B.C.D.9．B [解析]X的取值为0，1，2，3且P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，故E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝，选B.7．K2[2022·江苏卷]现有某类病毒记作XmYn，其中正整数m，n(m≤7，n≤9)可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为________．7. [解析]基本事件共有7×9＝63种，m可以取1，3，5，7，n可以取1，3，5，7，9.所以m，n都取到奇数共有20种，故所求概率为.16．I1，K1，K2，K6[2022·北京卷]下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．图1－6(1)求此人到达当日空气重度污染的概率；(2)设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望；(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)16．解：设Ai表示事件“此人于3月i日到达该市”(i＝1，2，…，13)．根据题意，P(Ai)＝，且Ai∩Aj＝(i≠j)．(1)设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B＝A5∪A8.-27-\n所以P(B)＝P(A5∪A8)＝P(A5)＋P(A8)＝.(2)由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，且P(X＝1)＝P(A3∪A6∪A7∪A11)＝P(A3)＋P(A6)＋P(A7)＋P(A11)＝，P(X＝2)＝P(A1∪A2∪A12∪A13)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A12)＋P(A13)＝，P(X＝0)＝1－P(X＝1)－P(X＝2)＝.所以X的分布列为X012P故X的期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝.(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．16．K2，K6[2022·天津卷]一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4；白色卡片3张，编号分别为2，3，4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)．(1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；(2)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列和数学期望．16．解：设“取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片”为事件A，则P(A)＝＝.所以，取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为.(2)随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4.P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝.所以随机变量X的分布列是X1234P随机变量X的数学期望E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝.14．K2，J2[2022·新课标全国卷Ⅱ]从n个正整数1，2，3，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则n＝________．-27-\n14．8 [解析]和为5的只有两种情况，1＋4，2＋3，故＝C＝28n＝8.18．K2、K4、K5，K8[2022·重庆卷]某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球．根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：奖级摸出红、蓝球个数获奖金额一等奖3红1蓝200元二等奖3红0蓝50元三等奖2红1蓝10元其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级．(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X的分布列与期望E(X)．18．解：设Ai表示摸到i个红球，Bj表示摸到j个蓝球，则Ai(i＝0，1，2，3)与Bj(j＝0，1)独立．(1)恰好摸到1个红球的概率为P(A1)＝＝.(2)X的所有可能值为0，10，50，200，且P(X＝200)＝P(A3B1)＝P(A3)P(B1)＝·＝，P(X＝50)＝P(A3B0)＝P(A3)P(B0)＝·＝，P(X＝10)＝P(A2B1)＝P(A2)P(B1)＝·＝＝，P(X＝0)＝1－－－＝.综上知X的分布列为X01050200P从而有E(X)＝0×＋10×＋50×＋200×＝4(元)．K3 几何概型 11．K3[2022·福建卷]利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a－1>0”发生的概率为________．-27-\n11. [解析]<a<1，概率P＝＝.14．E4、K3[2022·山东卷]在区间[－3，3]上随机取一个数x，使得|x＋1|－|x－2|≥1成立的概率为________．14. [解析]当x<－1时，不等式化为－x－1＋x－2≥1，此时无解；当－1≤x≤2时，不等式化为x＋1＋x－2≥1，解之得x≥1；当x>2时，不等式化为x＋1－x＋2≥1，此时恒成立，∴|x＋1|－|x－2|≥1的解集为.在上使不等式有解的区间为，由几何概型的概率公式得P＝＝.5．K3[2022·陕西卷]如图1－1，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是( )图1－1A．1－B.－1C．2－D.5．A [解析]阅读题目可知，满足几何概型的概率特点，利用几何概型的概率公式可知：P＝＝1－.9．K3[2022·四川卷]节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( )A.B.C.D.9．C [解析]设第一串彩灯在通电后第x秒闪亮，第二串彩灯在通电后第y秒闪亮，由题意满足条件的关系式为－2≤x－y≤2.-27-\n根据几何概型可知，事件全体的测度(面积)为16平方单位，而满足条件的事件测度(阴影部分面积)为12平方单位，故概率为＝.K4 互斥事件有一个发生的概率 19．K4，K6[2022·新课标全国卷Ⅰ]一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n＝4.再从这批产品中任取1件作检验；若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．(1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望．19．解：(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2，第二次取出的4件产品都是优质品为事件B1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，这批产品通过检验为事件A，依题意有A＝(A1B1)∪(A2B2)，且A1B1与A2B2互斥，所以P(A)＝P(A1B1)＋P(A2B2)＝P(A1)P(B1|A1)＋P(A2)P(B2|A2)＝×＋×＝.(2)X可能的取值为400，500，800，并且P(X＝400)＝1－－＝，P(X＝500)＝，P(X＝800)＝.所以X的分布列为X400500800PE(X)＝400×＋500×＋800×＝506.25.18．K2、K4、K5，K8[2022·重庆卷]某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球．根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：奖级摸出红、蓝球个数获奖金额一等奖3红1蓝200元二等奖3红0蓝50元三等奖2红1蓝10元-27-\n其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级．(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X的分布列与期望E(X)．18．解：设Ai表示摸到i个红球，Bj表示摸到j个蓝球，则Ai(i＝0，1，2，3)与Bj(j＝0，1)独立．(1)恰好摸到1个红球的概率为P(A1)＝＝.(2)X的所有可能值为0，10，50，200，且P(X＝200)＝P(A3B1)＝P(A3)P(B1)＝·＝，P(X＝50)＝P(A3B0)＝P(A3)P(B0)＝·＝，P(X＝10)＝P(A2B1)＝P(A2)P(B1)＝·＝＝，P(X＝0)＝1－－－＝.综上知X的分布列为X01050200P从而有E(X)＝0×＋10×＋50×＋200×＝4(元)．K5 相互对立事件同时发生的概率 18．K2、K4、K5，K8[2022·重庆卷]某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球．根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：奖级摸出红、蓝球个数获奖金额一等奖3红1蓝200元二等奖3红0蓝50元三等奖2红1蓝10元其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级．(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X的分布列与期望E(X)．18．解：设Ai表示摸到i个红球，Bj表示摸到j个蓝球，则Ai(i＝0，1，2，3)与Bj(j＝0，1)独立．-27-\n(1)恰好摸到1个红球的概率为P(A1)＝＝.(2)X的所有可能值为0，10，50，200，且P(X＝200)＝P(A3B1)＝P(A3)P(B1)＝·＝，P(X＝50)＝P(A3B0)＝P(A3)P(B0)＝·＝，P(X＝10)＝P(A2B1)＝P(A2)P(B1)＝·＝＝，P(X＝0)＝1－－－＝.综上知X的分布列为X01050200P从而有E(X)＝0×＋10×＋50×＋200×＝4(元)．K6 离散型随机变量及其分布列 19．K4，K6[2022·新课标全国卷Ⅰ]一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n＝4.再从这批产品中任取1件作检验；若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．(1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望．19．解：(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2，第二次取出的4件产品都是优质品为事件B1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，这批产品通过检验为事件A，依题意有A＝(A1B1)∪(A2B2)，且A1B1与A2B2互斥，所以P(A)＝P(A1B1)＋P(A2B2)＝P(A1)P(B1|A1)＋P(A2)P(B2|A2)＝×＋×＝.(2)X可能的取值为400，500，800，并且P(X＝400)＝1－－＝，P(X＝500)＝，-27-\nP(X＝800)＝.所以X的分布列为X400500800PE(X)＝400×＋500×＋800×＝506.25.16．K6，K8[2022·福建卷]某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，求X≤3的概率；(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？16．解：方法一：(1)由已知得，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响．记“这2人的累计得分X≤3”的事件为A，则事件A的对立事件为“X＝5”，因为P(X＝5)＝×＝，所以P(A)＝1－P(X＝5)＝，即这两人的累计得分X≤3的概率为.(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X1)，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X2)．由已知可得，X1～B，X2～B，所以E(X1)＝2×＝，E(X2)＝2×＝，从而E(2X1)＝2E(X1)＝，E(3X2)＝3E(X2)＝.因为E(2X1)>E(3X2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．方法二：(1)由已知得，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响．记“这两人的累计得分X≤3”的事件为A，则事件A包含有“X＝0”“X＝2”“X＝3”三个两两互斥的事件，因为P(X＝0)＝×＝，P(X＝2)＝×＝，P(X＝3)＝×＝-27-\n，所以P(A)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝，即这两人的累计得分X≤3的概率为.(2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X1，都选择方案乙所获得的累计得分为X2，则X1，X2的分布列如下：X1024P X2036P所以E(X1)＝0×＋2×＋4×＝，E(X2)＝0×＋3×＋6×＝.因为E(X1)>E(X2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．4．K6[2022·广东卷]已知离散型随机变量X的分布列为X123P则X的数学期望E(X)＝( )A.B．2C.D．34．A [解析]E(X)＝1×＋2×＋3×＝，选A.18．K6[2022·江西卷]小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队．游戏规则为：以O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8(如图1－5)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X.若X＝0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．(1)求小波参加学校合唱团的概率；(2)求X的分布列和数学期望．-27-\n图1－5解：(1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有C＝28种，X＝0时，两向量夹角为直角共有8种情形；所以小波参加学校合唱团的概率为P(X＝0)＝＝.(2)两向量数量积X的所有可能取值为－2，－1，0，1，X＝－2时，有2种情形；X＝1时，有8种情形；X＝－1时，有10种情形．所以X的分布列为X－2－101PEX＝(－2)×＋(－1)×＋0×＋1×＝－.16．I1，K1，K2，K6[2022·北京卷]下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．图1－6(1)求此人到达当日空气重度污染的概率；(2)设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望；(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)16．解：设Ai表示事件“此人于3月i日到达该市”(i＝1，2，…，13)．根据题意，P(Ai)＝，且Ai∩Aj＝(i≠j)．(1)设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B＝A5∪A8.-27-\n所以P(B)＝P(A5∪A8)＝P(A5)＋P(A8)＝.(2)由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，且P(X＝1)＝P(A3∪A6∪A7∪A11)＝P(A3)＋P(A6)＋P(A7)＋P(A11)＝，P(X＝2)＝P(A1∪A2∪A12∪A13)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A12)＋P(A13)＝，P(X＝0)＝1－P(X＝1)－P(X＝2)＝.所以X的分布列为X012P故X的期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝.(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．19．K6、K7[2022·山东卷]甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是.假设各局比赛结果相互独立．(1)分别求甲队以3∶0，3∶1，3∶2胜利的概率；(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分、对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分、对方得1分．求乙队得分X的分布列及数学期望．19．解：(1)记“甲队以3∶0胜利”为事件A1，“甲队以3∶1胜利”为事件A2，“甲队以3∶2胜利”为事件A3，由题意，各局比赛结果相互独立，故P(A1)＝3＝，P(A2)＝C21－×＝，P(A3)＝C21－2×＝.所以，甲队以3∶0胜利、以3∶1胜利的概率都为，以3∶2胜利的概率为.(2)设“乙队以3∶2胜利”为事件A4，由题意，各局比赛结果相互独立，所以P(A4)＝C1－22×1－＝，由题意，随机变量X的所有可能的取值为0，1，2，3.根据事件的互斥性得P(X＝0)＝P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝.-27-\n又P(X＝1)＝P(A3)＝.P(X＝2)＝P(A4)＝，P(X＝3)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝2)＝，故X的分布列为X0123P所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.19．K6[2022·陕西卷]在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望．19．解：(1)设A表示事件“观众甲选中3号歌手”，B表示事件“观众乙选中3号歌手，”则P(A)＝＝，P(B)＝＝.∵事件A与B相互独立，∴观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为P(AB)＝P(A)·P(B)＝P(A)·[1－P(B)]＝×＝.或P(AB)＝＝.(2)设C表示事件“观众丙选中3号歌手”．则P(C)＝＝.∵X可能的取值为0，1，2，3，且取这些值的概率分别为P(X＝0)＝P(ABC)＝××＝.P(X＝1)＝P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)＝××＋××＋××＝，P(X＝2)＝P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)＝××＋××＋××＝，P(X＝3)＝P(ABC)＝××＝.∴X的分布列为-27-\nX0123P∴X的数学期望EX＝0×＋1×＋2×＋3×＝＝.18．L1，K6[2022·四川卷]某算法的程序框图如图1－6所示，其中输入的变量x在1，2，3，…，24这24个整数中等可能随机产生．图1－6(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率Pi(i＝1，2，3)；(2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为i(i＝1，2，3)的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．甲的频数统计表(部分)运行次数n输出y的值为1的频数输出y的值为2的频数输出y的值为3的频数3014610…………21001027376697乙的频数统计表(部分)运行次数n输出y的值为1的频数输出y的值为2的频数输出y的值为3的频数3012117…………21001051696353当n＝2100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i＝1，2，3)的频率(用分数表示)，并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大；(3)按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出y的值为2的次数ξ的分布列及数学期望．18．-27-\n解：(1)变量x是在1，2，3，…，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能．当x从1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23这12个数中产生时，输出y的值为1，故P1＝；当x从2，4，8，10，14，16，20，22这8个数中产生时，输出y的值为2，故P2＝；当x从6，12，18，24这4个数中产生时，输出y的值为3，故P3＝，所以，输出y的值为1的概率为，输出y的值为2的概率为，输出y的值为3的概率为.(2)当n＝2100时，甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i＝1，2，3)的频率如下：输出y的值为1的频率输出y的值为2的频率输出y的值为3的频率甲乙比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大．(3)随机变量ξ可能的取值为0，1，2，3.P(ξ＝0)＝C××＝，P(ξ＝1)＝C××＝，P(ξ＝2)＝C××＝，P(ξ＝3)＝C××＝，故ξ的分布列为ξ0123P所以，Eξ＝0×＋1×＋2×＋3×＝1.即ξ的数学期望为1.16．K2，K6[2022·天津卷]一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4；白色卡片3张，编号分别为2，3，4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)．(1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；-27-\n(2)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列和数学期望．16．解：设“取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片”为事件A，则P(A)＝＝.所以，取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为.(2)随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4.P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝.所以随机变量X的分布列是X1234P随机变量X的数学期望E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝.19．B1，I2，K6[2022·新课标全国卷Ⅱ]经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图1－4所示，经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品，以X(单位：t，100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．(1)将T表示为X的函数；(2)根据直方图估计利润T不少于57000元的概率；(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X∈[100，110)，则取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入[100，110)的频率)，求T的数学期望．图1－419．解：(1)当X∈[100，130)时，T＝500X－300(130－X)＝800X－39000.当X∈[130，150]时，T＝500×130＝65000.所以T＝(2)由(1)知利润T不少于57000元，当且仅当120≤X≤150.由直方图知需求量X∈[120，150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57000元的概率的估计值为0.7.(3)依题意可得T的分布列为-27-\nT45000530006100065000P0.10.20.30.4所以E(T)＝45000×0.1＋53000×0.2＋61000×0.3＋65000×0.4＝59400.K7 条件概率与事件的独立性 21．K7、K9[2022·安徽卷]某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责．已知该系共有n位学生，每次活动均需该系k位学生参加(n和k都是固定的正整数)．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k位学生，且所发信息都能收到．记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X.(1)求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；(2)求使P(X＝m)取得最大值的整数m.21．解：(1)因为事件A：“学生甲收到李老师所发信息”与事件B：“学生甲收到张老师所发信息”是相互独立的事件，所以A与B相互独立．由于P(A)＝P(B)＝＝，故P(A)＝P(B)＝1－，因此学生甲收到活动通知信息的概率P＝1－1－2＝.(2)当k＝n时，m只能取n，有P(X＝m)＝P(X＝n)＝1.当k<n时，整数m满足k≤m≤t，其中t是2k和n中的较小者，由于“李老师和张老师各自独立、随机地发活动通知信息给k位同学”所包含的基本事件总数为(C)2，当X＝m时，同时收到李老师和张老师转发信息的学生人数恰为2k－m，仅收到李老师或仅收到张老师转发信息的学生人数均为m－k，由乘法计数原理知事件{X＝m}所含基本事件数为CCC＝CCC，此时P(X＝m)＝＝.当k≤m<t时，P(X＝m)≤P(X＝m＋1)CC≤CC(m－k＋1)2≤(n－m)(2k－m)m≤2k－.假如k≤2k－<t成立．则当(k＋1)2能被n＋2整除时，k≤2k－<2k＋1－≤t，故P(X＝m)在m＝2k－和m＝2k＋1－处达最大值；当(k＋1)2不能被n＋2整除时，P(X＝m)在m＝2k－处达最大值．(注：[x]表示不超过x的最大整数)下面证明k≤2k－<t.因为1≤k<n，所以2k－－k＝≥＝≥0.而2k－－n＝－<0，故2k－<n，显然2k－-27-\n<2k.因此k≤2k－<t.6．K7[2022·江苏卷]抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：运动员第1次第2次第3次第4次第5次甲8791908993乙8990918892则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为________．6．2 [解析]由题知x甲＝(87＋91＋90＋89＋93)＝90，s＝(9＋1＋0＋1＋9)＝4；x乙＝(89＋90＋91＋88＋92)＝90，s＝(1＋0＋1＋4＋4)＝2，所以s>s，故答案为2.16．K7[2022·辽宁卷]为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为________．16．10 [解析]由已知可设5个班级参加的人数分别为x1，x2，x3，x4，x5，则x＝7，＝4，故(x1－7)2＋(x2－7)2＋(x3－7)2＋(x4－7)2＋(x5－7)2＝20，即五个完全平方数之和为20，要使其中一个达到最大，这五个数必须是关于0对称分布的，而9＋1＋0＋1＋9＝20，也就是(－3)2＋(－1)2＋02＋12＋32＝20，所以五个班级参加的人数分别为4，6，7，8，10，最大数字为10.20．K7、K8[2022·全国卷]甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．(1)求第4局甲当裁判的概率；(2)X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望．20．解：(1)记A1表示事件“第2局结果为甲胜”，A2表示事件“第3局甲参加比赛，结果为甲负”，A表示事件“第4局甲当裁判”．则A＝A1·A2.P(A)＝P(A1·A2)＝P(A1)P(A2)＝.(2)X的可能取值为0，1，2.记A3表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”，B1表示事件“第1局结果为乙胜丙”，B2表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”，B3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”．则P(X＝0)＝P(B1·B2·A3)＝P(B1)P(B2)P(A3)＝，-27-\nP(X＝2)＝P(B1·B3)＝P(B1)P(B3)＝，P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝1－－＝，E(X)＝0·P(X＝0)＋1·P(X＝1)＋2·P(X＝2)＝.19．K6、K7[2022·山东卷]甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是.假设各局比赛结果相互独立．(1)分别求甲队以3∶0，3∶1，3∶2胜利的概率；(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分、对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分、对方得1分．求乙队得分X的分布列及数学期望．19．解：(1)记“甲队以3∶0胜利”为事件A1，“甲队以3∶1胜利”为事件A2，“甲队以3∶2胜利”为事件A3，由题意，各局比赛结果相互独立，故P(A1)＝3＝，P(A2)＝C21－×＝，P(A3)＝C21－2×＝.所以，甲队以3∶0胜利、以3∶1胜利的概率都为，以3∶2胜利的概率为.(2)设“乙队以3∶2胜利”为事件A4，由题意，各局比赛结果相互独立，所以P(A4)＝C1－22×1－＝，由题意，随机变量X的所有可能的取值为0，1，2，3.根据事件的互斥性得P(X＝0)＝P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝.又P(X＝1)＝P(A3)＝.P(X＝2)＝P(A4)＝，P(X＝3)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝2)＝，故X的分布列为X0123P所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.-27-\nK8 离散型随机变量的数学特征与正态分布 16．K6，K8[2022·福建卷]某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，求X≤3的概率；(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？16．解：方法一：(1)由已知得，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响．记“这2人的累计得分X≤3”的事件为A，则事件A的对立事件为“X＝5”，因为P(X＝5)＝×＝，所以P(A)＝1－P(X＝5)＝，即这两人的累计得分X≤3的概率为.(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X1)，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X2)．由已知可得，X1～B，X2～B，所以E(X1)＝2×＝，E(X2)＝2×＝，从而E(2X1)＝2E(X1)＝，E(3X2)＝3E(X2)＝.因为E(2X1)>E(3X2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．方法二：(1)由已知得，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响．记“这两人的累计得分X≤3”的事件为A，则事件A包含有“X＝0”“X＝2”“X＝3”三个两两互斥的事件，因为P(X＝0)＝×＝，P(X＝2)＝×＝，P(X＝3)＝×＝，所以P(A)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝，-27-\n即这两人的累计得分X≤3的概率为.(2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X1，都选择方案乙所获得的累计得分为X2，则X1，X2的分布列如下：X1024P X2036P所以E(X1)＝0×＋2×＋4×＝，E(X2)＝0×＋3×＋6×＝.因为E(X1)>E(X2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．19．K8[2022·辽宁卷]现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答．(1)求张同学至少取到1道乙类题的概率；(2)已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对每道甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立．用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列和数学期望．19．解：(1)设事件A＝“张同学所取的3道题至少有1道乙类题”，则有A＝“张同学所取的3道题都是甲类题”．因为P(A)＝＝，所以P(A)＝1－P(A)＝.(2)X所有的可能取值为0，1，2，3.P(X＝0)＝C···＝；P(X＝1)＝C···＋C··＝；P(X＝2)＝C···＋C··＝；P(X＝3)＝C···＝.X的分布列为：X0123-27-\nP所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝2.20．K7、K8[2022·全国卷]甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．(1)求第4局甲当裁判的概率；(2)X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望．20．解：(1)记A1表示事件“第2局结果为甲胜”，A2表示事件“第3局甲参加比赛，结果为甲负”，A表示事件“第4局甲当裁判”．则A＝A1·A2.P(A)＝P(A1·A2)＝P(A1)P(A2)＝.(2)X的可能取值为0，1，2.记A3表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”，B1表示事件“第1局结果为乙胜丙”，B2表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”，B3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”．则P(X＝0)＝P(B1·B2·A3)＝P(B1)P(B2)P(A3)＝，P(X＝2)＝P(B1·B3)＝P(B1)P(B3)＝，P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝1－－＝，E(X)＝0·P(X＝0)＋1·P(X＝1)＋2·P(X＝2)＝.18．K2、K4、K5，K8[2022·重庆卷]某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球．根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：奖级摸出红、蓝球个数获奖金额一等奖3红1蓝200元二等奖3红0蓝50元三等奖2红1蓝10元其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级．(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X的分布列与期望E(X)．18．解：设Ai表示摸到i个红球，Bj表示摸到j个蓝球，则Ai(i＝0，1，2，3)与Bj(j＝0，1)独立．-27-\n(1)恰好摸到1个红球的概率为P(A1)＝＝.(2)X的所有可能值为0，10，50，200，且P(X＝200)＝P(A3B1)＝P(A3)P(B1)＝·＝，P(X＝50)＝P(A3B0)＝P(A3)P(B0)＝·＝，P(X＝10)＝P(A2B1)＝P(A2)P(B1)＝·＝＝，P(X＝0)＝1－－－＝.综上知X的分布列为X01050200P从而有E(X)＝0×＋10×＋50×＋200×＝4(元)．K9 单元综合 21．K7、K9[2022·安徽卷]某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责．已知该系共有n位学生，每次活动均需该系k位学生参加(n和k都是固定的正整数)．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k位学生，且所发信息都能收到．记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X.(1)求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；(2)求使P(X＝m)取得最大值的整数m.21．解：(1)因为事件A：“学生甲收到李老师所发信息”与事件B：“学生甲收到张老师所发信息”是相互独立的事件，所以A与B相互独立．由于P(A)＝P(B)＝＝，故P(A)＝P(B)＝1－，因此学生甲收到活动通知信息的概率P＝1－1－2＝.(2)当k＝n时，m只能取n，有P(X＝m)＝P(X＝n)＝1.当k<n时，整数m满足k≤m≤t，其中t是2k和n中的较小者，由于“李老师和张老师各自独立、随机地发活动通知信息给k位同学”所包含的基本事件总数为(C)2，当X＝m时，同时收到李老师和张老师转发信息的学生人数恰为2k－m，仅收到李老师或仅收到张老师转发信息的学生人数均为m－k，由乘法计数原理知事件{X＝m}所含基本事件数为CCC＝CCC，-27-\n此时P(X＝m)＝＝.当k≤m<t时，P(X＝m)≤P(X＝m＋1)CC≤CC(m－k＋1)2≤(n－m)(2k－m)m≤2k－.假如k≤2k－<t成立．则当(k＋1)2能被n＋2整除时，k≤2k－<2k＋1－≤t，故P(X＝m)在m＝2k－和m＝2k＋1－处达最大值；当(k＋1)2不能被n＋2整除时，P(X＝m)在m＝2k－处达最大值．(注：[x]表示不超过x的最大整数)下面证明k≤2k－<t.因为1≤k<n，所以2k－－k＝≥＝≥0.而2k－－n＝－<0，故2k－<n，显然2k－<2k.因此k≤2k－<t.18．K9[2022·湖南卷]某人在如图1－4所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物，根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：X1234Y51484542这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．(1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；(2)从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．图1－418．解：(1)所种作物总株数N＝1＋2＋3＋4＋5＝15，其中三角形地块内部的作物株数为3，边界上的作物株数为12，从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有CC＝36种，选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3＋3＋2＝8种．故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，它们恰好“相近”的概率为＝.-27-\n(2)先求从所种作物中随机选取的一株作物的年收获量Y的分布列．因为P(Y＝51)＝P(X＝1)，P(Y＝48)＝P(X＝2)，P(Y＝45)＝P(X＝3)，P(Y＝42)＝P(X＝4)．所以只需求出P(X＝k)(k＝1，2，3，4)即可．记nk为其“相近”作物恰有k株的作物株数(k＝1，2，3，4)，则n1＝2，n2＝4，n3＝6，n4＝3.由P(X＝k)＝得P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝.故所求的分布列为Y51484542P所求的数学期望为E(Y)＝51×＋48×＋45×＋42×＝＝46.19．K9[2022·浙江卷]设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．(1)当a＝3，b＝2，c＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若Eη＝，Dη＝，求a∶b∶c.19．解：(1)由题意得，ξ＝2，3，4，5，6.P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，P(ξ＝4)＝＝.P(ξ＝5)＝＝，P(ξ＝6)＝＝，所以ξ的分布列为ξ23456P(2)由题意知η的分布列为-27-\nη123P所以Eη＝＋＋＝，Dη＝1－2·＋2－2·＋3－2·＝，化简得解得a＝3c，b＝2c，故a∶b∶c＝3∶2∶1.1．[2022·安徽省级示范高中名校联考]在棱长分别为1，2，3的长方体上随机选取两个相异顶点，若每个顶点被选的概率相同，则选到两个顶点的距离大于3的概率为( )A.B.C.D.1．B [解析]依题意从长方体8个顶点中任取两点有C＝28种取法，其线段长分别有1，2，3，，，，，讨论如下：(1)其中12条棱长度都不大于3；(2)其中4条边长为1，2的矩形的对角线为，小于3.故长度大于3的有28－12－4＝12条，故两点距离大于3的概率P＝＝.2．[2022·广州调研]在区间[1，5]和[2，4]上分别取一个数，记为a，b，则方程＋＝1表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为( )A.B.C.D.2．B [解析]依题意可以应用几何概型解决问题．方程＋＝1表示焦点在x轴且离心率小于的椭圆时有即化简得又a∈[1，5]，b∈[2，4]，画出满足不等式组的平面区域，如图阴影部分所示，求得阴影部分的面积为，故P＝＝.3．[2022·湖南师大附中月考]如果一个n位十进制数a1a2a3…an的数位上的数字满足“小大小大…小大”的顺序，即满足a1<a2>a3<a4>a5<a6…，我们称这种数为“波浪数”；从1，2，3，4，5组成的数字不重复的五位数中任取一个五位数abcde，这个数为“波浪数”的概率是( )A.B.C.D.3．A [解析]显然b，d中必有一个数字为5，由对称性，不妨先设b＝5，则d≥3.-27-\n若d＝4，则a，c，e是1，2，3的任意排列都满足，即A种；若d＝3，则c，e是1，2的任意排列，且a＝4，即2种．则满足条件的概率是＝.4．[2022·成都一诊]已知数列{an}满足an＝an－1＋n－1(n≥2，n∈N)，一颗质地均匀的正方体骰子，其六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，将这颗骰子连续抛掷三次，得到的点数分别记为a，b，c，则满足集合{a，b，c}＝{a1，a2，a3}(1≤ai≤6，i＝1，2，3)的概率是( )A.B.C.D.4．D [解析]由递推数列容易有：令a1＝t，可以得出a2＝1＋t，a3＝3＋t，利用(1≤ai≤6，i＝1，2，3)，可得1≤t≤3，于是a1，a2，a3有三种可能的选法：1，2，4；2，3，5；3，4，6.由题有P＝＝.5．[2022·丹东四校一诊]在长为10cm的线段AB上任取一点C，并以线段AC为边作正方形，这个正方形的面积介于25cm2与49cm2之间的概率为________．5. [解析]依题意知属于几何概型．因为以线段AC为边的正方形的面积介于25cm2与49cm2之间，满足条件的C点对应的线段长为2cm，而线段AB总长为10cm，故正方形的面积介于25cm2与49cm2之间的概率P＝＝，故答案为.-27-
