统计I1 随机抽样 3．I1[2022·新课标全国卷Ⅰ]为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )A．简单随机抽样B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样D．系统抽样3．C [解析]因为总体中所要调查的因素受学段影响较大，而受性别影响不大，故按学段分层抽样．2．I1[2022·湖南卷]某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是( )A．抽签法B．随机数法C．系统抽样法D．分层抽样法2．D [解析]根据抽样方法的特点可知，应选用分层抽样法．4．I1[2022·江西卷]总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为( )7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 01983204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481A.08B．07C.02D．014．D [解析]选出来的5个个体编号依次为：08，02，14，07，01.故选D.16．I1，K1，K2，K6[2022·北京卷]下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．图1－6(1)求此人到达当日空气重度污染的概率；(2)设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望；(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)16．解：设Ai表示事件“此人于3月i日到达该市”(i＝1，2，…，13)．-6-\n根据题意，P(Ai)＝，且Ai∩Aj＝(i≠j)．(1)设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B＝A5∪A8.所以P(B)＝P(A5∪A8)＝P(A5)＋P(A8)＝.(2)由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，且P(X＝1)＝P(A3∪A6∪A7∪A11)＝P(A3)＋P(A6)＋P(A7)＋P(A11)＝，P(X＝2)＝P(A1∪A2∪A12∪A13)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A12)＋P(A13)＝，P(X＝0)＝1－P(X＝1)－P(X＝2)＝.所以X的分布列为X012P故X的期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝.(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．4．I1[2022·陕西卷]某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为( )A．11B．12C．13D．144．B [解析]由系统抽样定义可知，所分组距为＝20，每组抽取一个，因为包含整数个组，所以抽取个体在区间[481，720]的数目为(720－480)÷20＝12.I2 用样本估计总体 4．I2[2022·福建卷]某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]加以统计，得到如图1－1所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为( )-6-\n图1－1A．588B．480C．450D．1204．B [解析]成绩在[40，60)的频率P1＝(0.005＋0.015)×10＝0.2，成绩不少于60分的频率P2＝1－0.2＝0.8，所以成绩不少于60分的学生人数约为600×0.8＝480人，故选B.11．I2[2022·湖北卷]从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图1－3所示．(1)直方图中x的值为________；(2)在这些用户中，用电量落在区间[100，250)内的户数为________．图1－311．(1)0.0044 (2)70 [解析](1)(0.0012＋0.0024×2＋0.0036＋x＋0.0060)×50＝1x＝0.0044.(2)[1－(0.0012＋0.0024×2)×50]×100＝70.5．I2[2022·辽宁卷]某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是( )图1－1A．45B．50C．55D．605．B [解析]由成绩的频率分布直方图可以得到低于60分的频率为0.3，而低于60分的人数为15，所以该班的学生人数为＝50.19．B1，I2，K6[2022·新课标全国卷Ⅱ]经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图1－4所示，经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品，以X(单位：t，100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．(1)将T表示为X的函数；(2)根据直方图估计利润T不少于57000元的概率；(3)在直方-6-\n图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X∈[100，110)，则取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入[100，110)的频率)，求T的数学期望．图1－419．解：(1)当X∈[100，130)时，T＝500X－300(130－X)＝800X－39000.当X∈[130，150]时，T＝500×130＝65000.所以T＝(2)由(1)知利润T不少于57000元，当且仅当120≤X≤150.由直方图知需求量X∈[120，150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57000元的概率的估计值为0.7.(3)依题意可得T的分布列为T45000530006100065000P0.10.20.30.4所以E(T)＝45000×0.1＋53000×0.2＋61000×0.3＋65000×0.4＝59400.4．I2[2022·重庆卷]以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)．图1－1已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为( )A．2，5B．5，5C．5，8D．8，84．C [解析]因为甲组数据的中位数为15，由茎叶图可得x＝5.因乙组数据的平均数为16.8，则＝16.8，解得y＝8，故选C.I3 正态分布 20．I3，E5[2022·湖北卷]假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N(800，502)的随机变量，记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为P0.(1)求P0的值；(参考数据：若X～N(μ，σ2)，有P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9974)-6-\n(2)某客运公司用A，B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆．若每天要以不小于P0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？20．解：(1)由于随机变量X服从正态分布N(800，502)，故有μ＝800，σ＝50，P(700<X≤900)＝0.9544.由正态分布的对称性，可得P0＝P(X≤900)＝P(X≤800)＋P(800<X≤900)＝＋P(700<X≤900)＝0.9772.(2)设A型、B型车辆的数量分别为x，y辆，则相应的营运成本为1600x＋2400y，依题意，x，y还需满足：x＋y≤21，y≤x＋7，P(X≤36x＋60y)≥P0.由(1)知，P0＝P(X≤900)，故P(X≤36x＋60y)≥P0等价于36x＋60y≥900，于是问题等价于求满足约束条件且使目标函数z＝1600x＋2400y达到最小的x，y值．作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P(5，12)，Q(7，14)，R(15，6)．由图可知，当直线z＝1600x＋2400y经过可行域的点P时，直线z＝1600x＋2400y在y轴上截距最小，即z取得最小值，故应配备A型车5辆，B型车12辆．I4 变量的相关性与统计案例 I5 单元综合 1．[2022·惠州三调]某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们每场比赛得分的情况用如图K38－1所示的茎叶图表示，则甲、乙两名运动员得分的中位数分别为( )A．19，13 B．13，19C．20，18 D．18，201．A [解析]甲的中位数为19，乙的中位数为13.故选A.2．[2022·潮州期末]某校有4000名学生，各年级男、女生人数如下表，-6-\n已知在全校学生中随机抽取一名奥运火炬手，抽到高一男生的概率是0.2，现用分层抽样的方法在全校抽取100名奥运志愿者，则在高二抽取的学生人数为________．高一高二高三女生600y650男生xz7502．30 [解析]依表知x＋y＋z＝4000－2000＝2000，＝0.2，于是x＝800，故从高二抽取学生人数为1200×＝30.3.[2022·乌鲁木齐一诊]某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归直线方程＝0.67x＋54.9.零件数x(个)1020304050加工时间y(min)627581893．68 [解析]设遮住部分的数据为m，x＝＝30，由＝0.67x＋54.9过(x，y)得，y＝0.67×30＋54.9＝75，所以＝75，故m＝68.4．[2022·辽宁重点中学期末]设随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，函数f(x)＝x2＋4x＋X没有零点的概率是，则μ＝( )A．1B．4C．2D．不能确定4．B [解析]由f(x)＝x2＋4x＋X没有零点，则Δ＝16－4X<0，解得X>4，故P(X>4)＝，又正态密度曲线是对称的，所以μ＝4，选择B.[规律解读]正态分布的计算中要注意应用正态密度曲线的对称性5．[2022·玉溪一中月考(五)]设随机变量X服从正态分布N(3，4)，若P(X<2a－3)＝P(X>a＋2)，则a的值为( )A．5B．3C.D.5．D [解析]因为X服从正态分布N(3，4)，所以随机变量X关于直线x＝3对称，因为P(X<2a－3)＝P(X>a＋2)，所以x1＝2a－3，x2＝a＋2关于x＝3对称，所以＝3，即3a＝7，解得a＝，选D.6．[2022·湖南师大附中月考(六)]如果一个随机变量X～B，则使得P(X＝k)取得最大值的k的值为________．6．7，8 [解析]由题知P(X＝k)＝C，则只需C最大即可，此时k＝7，8.-6-
