计数原理J1 基本计数原理 5．J1[2022·福建卷]满足a，b∈{－1，0，1，2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为( )A．14B．13C．12D．105．B [解析]当a＝0时，2x＋b＝0x＝－，有序数对(0，b)有4个；当a≠0时，Δ＝4－4ab≥0ab≤1，有序数对(－1，b)有4个，(1，b)有3个，(2，b)有2个，综上共有4＋4＋3＋2＝13个，故选B.12．J1[2022·北京卷]将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是________．12．96 [解析]5张参观券分为4堆，有2个连号有4种分法，然后每一种全排列有A种方法，所以不同的分法种数是4A＝96.14．J1、J2[2022·全国卷]6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有________种．(用数字作答)14．480 [解析]先排另外四人，方法数是A，再在隔出的五个位置安插甲乙，方法数是A，根据乘法原理得不同排法共有AA＝24×20＝480种．22．A1、A2，J1[2022·重庆卷]对正整数n，记In＝{1，2，…，n}，Pn＝.(1)求集合P7中元素的个数；(2)若Pn的子集A中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A为“稀疏集”，求n的最大值，使Pn能分成两个不相交的稀疏集的并．22．解：(1)当k＝4时，m∈I7中有3个数与I7中的3个数重复，因此P7中元素的个数为7×7－3＝46.(2)先证：当n≥15时，Pn不能分成两个不相交的稀疏集的并．若不然，设A，B为不相交的稀疏集，使A∪B＝PnIn.不妨设1∈A，则因1＋3＝22，故3A，即3∈B.同理6∈A，10∈B，又推得15∈A，但1＋15＝42，这与A为稀疏集矛盾．再证P14符合要求，当k＝1时，m∈I14＝I14可分成两个稀疏集之并，事实上，只要取A1＝{1，2，4，6，9，11，13}，B1＝{3，5，7，8，10，12，14}，则A1，B1为稀疏集，且A1∪B1＝I14.当k＝4时，集m∈I14中除整数外剩下的数组成集，可分解为下面两稀疏集的并：A2＝，B2＝.当k＝9时，集m∈I14中除正整数外剩下的数组成集-7-\n，可分解为下面两稀疏集的并：A3＝，B3＝.最后，集C＝m∈I14，k∈I14，且k≠1，4，9中的数的分母均为无理数，它与P14中的任何其他数之和都不是整数，因此，令A＝A1∪A2∪A3∪C，B＝B1∪B2∪B3，则A和B是不相交的稀疏集，且A∪B＝P14.综上，所求n的最大值为14.注：对P14的分拆方法不是唯一的．J2 排列、组合 8．J2[2022·辽宁卷]执行如图所示的程序框图，若输入n＝10，则输出S＝( )图1－2A.B.C.D.8．A [解析]由程序框图可以得到S＝＋＋＋＋＝＋＋＋＋＝＝，故选A.14．J1、J2[2022·全国卷]6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有________种．(用数字作答)14．480 [解析]先排另外四人，方法数是A，再在隔出的五个位置安插甲乙，方法数是A，根据乘法原理得不同排法共有AA＝24×20＝480种．10．J2[2022·山东卷]用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( )A．243B．252C．261D．27910．B [解析](排除法)十个数排成不重复数字的三位数求解方法是：第一步，排百位数字，有9种方法(0不能作首位)，第二步，排十位数字，有9种方法，第三步，排个位数字，有8种方法，根据乘法原理，共有9×9×8＝-7-\n648(个)没有重复数字的三位数．可以组成所有三位数的个数：9×10×10＝900，所以可以组成有重复数字的三位数的个数是：900－648＝252.8．J2[2022·四川卷]从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为a，b，共可得到lga－lgb的不同值的个数是( )A．9 B．10 C．18 D．208．C [解析]从1，3，5，7，9中，每次取出两个不同的数作为a，b可以得到不同的差式lga－lgb共计A＝20个，但其中lg9－lg3＝lg3－lg1，lg3－lg9＝lg1－lg3，故不同的值只有18个．14．K2，J2[2022·新课标全国卷Ⅱ]从n个正整数1，2，3，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则n＝________．14．8 [解析]和为5的只有两种情况，1＋4，2＋3，故＝C＝28n＝8.14．J2[2022·浙江卷]将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有________种(用数字作答)．14．480 [解析]先在6个位置找3个位置，有C种情况，A，B均在C的同侧，有CAB，CBA，ABC，BAC，而剩下D，E，F有A种情况，故共有4CA＝480种．13．J2[2022·重庆卷]从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是________．(用数字作答)13．590 [解析]从12名医生中选出5名的选法有C＝792种，其中只不选骨科医生的选法有C－1＝125种；只不选脑外科医生的选法有C－1＝55种；只不选内科医生的选法有C＝21种；同时不选骨科和脑外科医生的选法有1种，故骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数有792－(125＋55＋21＋1)＝590.J3 二项式定理 9．J3[2022·新课标全国卷Ⅰ]设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m＝( )A．5B．6C．7D．89．B [解析](x＋2y)2m展开式的二项式系数的最大值是C，即a＝C；(x＋2y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值是C，即b＝C，∵13a＝7b，∴13C＝7C，∴13＝7，易得m＝6.11．J3[2022·安徽卷]若x＋8的展开式中x4的系数为7，则实数a＝________.11. [解析]二项式展开式的通项为Tr＋1＝Carx8－r，令8－r＝4，可得r＝3，故Ca3＝7，解得a＝.15．B13，J3，M1[2022·福建卷]当x∈R，|x|<1时，有如下表达式：-7-\n1＋x＋x2＋…＋xn＋…＝.两边同时积分得：∫01dx＋∫0xdx＋∫0x2dx＋…＋∫0xndx＋…＝∫0dx，从而得到如下等式：1×＋×＋×＋…＋×＋…＝ln2.请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：C×＋C×2＋C×3＋…＋C×＝__________．15. [解析](1＋x)n＝C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxn，两边同时积分得C∫01dx＋C∫0xdx＋C∫0x2dx＋…＋C∫0xndx＝∫0(1＋x)ndx，得C×＋C×2＋C×3＋…＋C×n＋1＝n＋1－1.5．J3[2022·江西卷]展开式中的常数项为( )A．80B．－80C．40D．－405．C [解析]Tr＋1＝C(x2)5－r＝C(－2)rx10－5r，当r＝2时，得常数项为40，故选C.7．J3[2022·辽宁卷]使(n∈N＋)的展开式中含有常数项的最小的n为( )A．4B．5C．6D．77．B [解析]由通项Tk＋1＝C(3x)n－k＝C·3n－k·xn－，所以在展开式中含有常数项时，n－＝0，当k取最小值2时，n取最小值5.故选B.7．J3[2022·全国卷](1＋x)8(1＋y)4的展开式中x2y2的系数是( )A．56B．84C．112D．1687．D [解析](1＋x)8展开式中x2的系数是C，(1＋y)4的展开式中y2的系数是C，根据多项式乘法法则可得(1＋x)8(1＋y)4展开式中x2y2的系数为CC＝28×6＝168.8．B1，J3[2022·陕西卷]设函数f(x)＝则当x>0时，f[f(x)]表达式的展开式中常数项为( )A．－20B．20C．－15D．158．A [解析]由已知表达式可得：f[f(x)]＝－6，展开式的通项为Tr＋1＝C6－r(－)r＝C·(－1)r·xr－3，令r－3＝0，可得r＝3，所以常数项为T4＝－C＝－20.-7-\n11．J3[2022·四川卷]二项式(x＋y)5的展开式中，含x2y3的项的系数是________．(用数字作答)11．10 [解析]根据二项展开式的性质可得x2y3的系数为C＝10.10．J3[2022·天津卷]x－6的二项展开式中的常数项为________．10．15 [解析]由二项式的展开式得Tk＋1＝Cx6－k＝(－1)kCx6－k，令6－k＝0，解之得k＝4，T5＝(－1)4C＝15.5．J3[2022·新课标全国卷Ⅱ]已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝( )A．－4B．－3C．－2D．－15．D [解析]已知(1＋ɑx)(1＋x)5的展开式中，x2的系数为C＋aC＝5，则a＝－1，故选D.11．J3[2022·浙江卷]设二项式－5的展开式中常数项为A，则A＝________．11．－10 [解析]Tr＋1＝Cx(－1)rx－＝(－1)rCx，则＝0，r＝3，故常数项A＝T4＝(－1)3C＝－10.J4 单元综合 23．J4[2022·江苏卷]设数列{an}：1，－2，－2，3，3，3，－4，－4，－4，－4，…，(－1)k－1k，…，(－1)k－1k，k个…，即当<n≤(k∈N*)时，an＝(－1)k－1k.记Sn＝a1＋a2＋…＋an(n∈N*)．对于l∈N*，定义集合Pl＝{n|Sn是an的整数倍，n∈N*，且1≤n≤l}．(1)求集合P11中元素的个数；(2)求集合P2000中元素的个数．23．解：(1)由数列{an}的定义得a1＝1，a2＝－2，a3＝－2，a4＝3，a5＝3，a6＝3，a7＝－4，a8＝－4，a9＝－4，a10＝－4，a11＝5，所以S1＝1，S2＝－1，S3＝－3，S4＝0，S5＝3，S6＝6，S7＝2，S8＝－2，S9＝－6，S10＝－10，S11＝－5，从而S1＝a1，S4＝0×a4，S5＝a5，S6＝2a6，S11＝－a11，所以集合P11中元素的个数为5.(2)先证：Si(2i＋1)＝－i(2i＋1)(i∈N*)．事实上，①当i＝1时，Si(2i＋1)＝S3＝－3，－i(2i＋1)＝－3，故原等式成立；②假设i＝m时成立，即Sm(2m＋1)＝－m(2m＋1)，则i＝m＋1时，S(m＋1)(2m＋3)＝Sm(2m＋1)＋(2m＋1)2－(2m＋2)2＝－m(2m＋1)－4m－3＝－(2m2＋5m＋3)＝－(m＋1)(2m＋3)．综合①②可得Si(2i＋1)＝－i(2i＋1)．于是S(i＋1)(2i＋1)＝Si(2i＋1)＋(2i＋1)2＝－i(2i＋1)＋(2i＋1)2＝(2i＋1)(i＋1)．由上可知Si(2i＋1)是2i＋1的倍数，而ai(2i＋1)＋j＝2i＋1(j＝1，2，…，2i＋1)，所以Si(2i＋1)＋j＝Si(2i＋1)＋j(2i＋1)是ai(2i＋1)＋j(j＝1，2，…，2i＋1)的倍数，又S(i＋1)(2i＋1)-7-\n＝(i＋1)(2i＋1)不是2i＋2的倍数．而a(i＋1)(2i＋1)＋j＝－(2i＋2)(j＝1，2，…，2i＋2)，所以S(i＋1)(2i＋1)＋j＝S(i＋1)(2i＋1)－j(2i＋2)＝(2i＋1)(i＋1)－j(2i＋2)不是a(i＋1)(2i＋1)＋j(j＝1，2，…，2i＋2)的倍数，故当l＝i(2i＋1)时，集合Pl中元素的个数为1＋3＋…＋(2i－1)＝i2，于是，当l＝i(2i＋1)＋j(1≤j≤2i＋1)时，集合Pl中元素的个数为i2＋j.又2000＝31×(2×31＋1)＋47.故集合P2000中元素的个数为312＋47＝1008.1．[2022·安徽示范名校联考]如图K37－1所示，△ABC是一个边长为3的正三角形，若在每一边的两个三等分点中，各随机选取一点连成三角形．下列命题正确的是________．(写出所有正确命题的编号)①依此方法可能连成的三角形一共有8个；②这些可能连成的三角形中，恰有2个是锐角三角形；③这些可能连成的三角形中，恰有3个是直角三角形；④这些可能连成的三角形中，恰有3个是钝角三角形；⑤这些可能连成的三角形中，恰有2个是正三角形．1．①②⑤ [解析]如图所示编号，边长为3，则选取三角形的边长为1，或2三种之一；①每边各选1点，三角形共C×C×C＝8个；②锐角三角形只有△DHF和△IGE两个；③直角三角形有6个(满足1∶∶2)；④没有钝角三角形；⑤两个正三角形△DHF和△IGE(边长为)．故选①②⑤.2．[2022·湖南师大附中月考]的展开式中，系数最大的项为第________项．2．3或5 [解析]的展开式中系数与二项式系数只有符号差异，又中间项的二项式系数最大，中间项为第4项其系数为负，则第3，5项系数最大．3．[2022·郑州质检]我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架“歼－15”飞机准备着舰，如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法数是( )A．12B．18C．24D．483．C [解析]分三步：把甲、乙捆绑为一个元素A，有A种方法；A与戊机形成三个“空”，把丙、丁两机插入空中有A种方法；考虑A与戊机的排法有A种方法．可知共有AAA＝24种不同的着舰方法．4．[2022·皖南八校联考]“2022”含有数字0，1，2，且有两个数字2，则含有数字0，1，2，且有两个相同数字2或1的四位数的个数为( )A．18B．24C．27D．364．A [解析]由题意可分情况讨论：含有两个1或两个2的四位数，先排0有3个位置可以选，然后排另外一个不重复的数字有3个位置可以选，剩下的排重复的数字，所以满足要求的数共有2CCC＝18个．5．[2022·肇庆期末统考]的展开式中含x的正整数指数幂的项数是( )A．0B．2C．4D．65．B [解析]二项展开式的通项为Tr＋1＝Cr10()10－r·＝Cr10(－1)rx，若展开式中含x的正整数指数幂，即(5－r)∈N*，且0≤r≤10，r∈N，-7-\n所以r＝2或0.所以一共有两项，故选B.6．[2022·三门峡一练]在航天员进行的一项太空实验中，要先后实验6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法种数为________(用数字作答)．6．96 [解析]第一步，A程序有C种不同安排方法，第二步，将B和C看成一个程序与其他3个程序有A种不同安排方法，第三步，安排B和C的顺序，有A种不同的方法，根据分步计数原理，则不同的安排方法共有CAA＝96种．-7-
