第62讲 圆锥曲线的综合问题 1.已知λ∈R，则不论λ取何值，曲线C：λx2－x－λy＋1＝0恒过定点( )A．(0，1)B．(－1，1)C．(1，0)D．(1，1) 2.若点A的坐标为(3，2)，F为抛物线y2＝2x的焦点，点P在抛物线上移动，为使|PA|＋|PF|取最小值，P点的坐标为( )A．(3，3)B．(2，2)C．(，1)D．(0，0) 3.(2022·大纲卷)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝( )A.B.C.D. 4.双曲线x2－y2＝4上一点P(x0，y0)在双曲线的一条渐近线上的射影为Q，已知O为坐标原点，则△POQ的面积为定值______． 5.抛物线y2＝12x与直线3x－y＋5＝0的最近距离为______________． 6.(2022·江西卷)椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2.若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为__________． 7.若椭圆＋＝1(a>b>0)与直线x＋y－1＝0相交于P、Q两点，且·＝0(O为坐标原点)．(1)求证：＋等于定值；(2)若椭圆离心率e∈[，]时，求椭圆长轴长的取值范围． 8.已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足·＝0的点总在椭圆的内部，则椭圆的离心率的取值范围是( )5\nA．(0，1)B．(0，]C．(0，)D．[，1) 9.设P是双曲线－＝1的左支上一点，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，则△PF1F2的内切圆圆心M一定在直线________上．10.过点A(0，a)作直线交圆M：(x－2)2＋y2＝1于B、C两点，在线段BC上取一点P，使P点满足：＝λ，＝λ(λ∈R)．(1)试问动点P的轨迹是否是直线？说明理由；(2)若将(1)的轨迹上的点的坐标扩大到取全体实数且扩大范围后的轨迹交圆M于点R、S，求△MRS面积的最大值．5\n5\n第62讲1．D 2.B 3.C 4.1 5. 6.7．解析：(1)证明：由⇒(a2＋b2)x2－2a2x＋a2(1－b2)＝0.①由Δ＞0⇒a2b2(a2＋b2－1)＞0，因为a＞b＞0，所以a2＋b2＞1.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1，x2是①的两根，所以x1＋x2＝，x1x2＝.②由·＝0得，x1x2＋y1y2＝0，即2x1x2－(x1＋x2)＋1＝0，③将②代入③得，a2＋b2＝2a2b2，所以＋＝2，为定值．(2)由(1)a2＋b2＝2a2b2得2－e2＝2a2(1－e2)，所以a2＝＝＋，又≤e≤，所以≤a≤，长轴2a∈[，]．8．C 解析：因为·＝0，所以MF1⊥MF2，所以点M在以O为圆心，以c为半径的圆上．因为点M总在椭圆的内部，所以c＜b.又因为a2＝b2＋c2，所以a2＞2c2，所以e＝＜，又因为e＞0，所以0＜e＜.选C.9．x＝－3 解析：由|PF2|－|PF1|＝6＝|F2N|－|F1N|(N为x轴上的切点)，而|F2N|＋|F1N|＝10，所以|F2N|＝8，|F1N|＝2，所以xM＝－3.10．解析：(1)令P(x，y)．因为＝λ，＝λ(λ∈R)，所以xB＝λxC，x－xB＝λ(xC－x)，所以＝，x＝.①设过点A所作的直线方程为y＝kx＋a(显然k存在)．又由，得(1＋k2)x2＋(2ak－4)x＋a2＋3＝0.所以xB＋xC＝，xBxC＝.代入①，得x＝，所以y＝kx＋a＝.消去k，得所求轨迹方程为2x－ay－3＝0(在圆M内的部分)．故动点P的轨迹不是直线．(2)上述轨迹为过定点(，0)的直线在圆M内的部分，由，得(a2＋4)y2－2ay－3＝0，5\n则|y1－y2|＝＝4.所以S＝··4＝＝.令t＝a2＋3，则t≥3，而函数f(t)＝t＋在t≥3时递增，所以S≤＝.所以Smax＝，此时t＝3，a＝0，(1)中P的轨迹方程为x＝.5
