第60讲 直线与圆锥曲线的位置关系 1.过点(0，2)与抛物线y2＝8x只有一个公共点的直线有( )A．1条B．2条C．3条D．无数条 2.直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为( )A．相交B．相切C．相离D．不确定 3.直线x－y－1＝0与双曲线x2－y2＝m(m<0)的交点在以原点为中心，边长为2且边分别平行两坐标轴的正方形内部，则( )A．－1<m<0B．m>－1C．m<0D．－1<m<1 4.抛物线y＝ax2与直线y＝kx＋b(k≠0)交于A、B两点，且此两点的横坐标分别为x1，x2，直线与x轴的交点的横坐标是x3，则恒有( )A．x3＝x1＋x2B．x1x2＝x1x3＋x2x3C．x1＋x2＋x3＝0D．x1x2＋x2x3＋x3x1＝0 5.(2022·辽宁卷)已知P，Q为抛物线x2＝2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，－2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于A，则点A的纵坐标为__________． 6.设椭圆＋＝1的长轴的两端点为M、N，异于M、N的点P在椭圆上，则直线PM与直线PN的斜率之积为________． 7.椭圆ax2＋by2＝1与直线x＋y－1＝0相交于A、B两点，C是线段AB的中点．若|AB|＝2，直线OC的斜率为，求椭圆的方程． 8.直线y＝kx－2与椭圆x2＋4y2＝80相交于不同的两点P、Q，若PQ的中点的横坐标为2，则弦长|PQ|等于__________． 9.(2022·北京卷)在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y2＝4x的焦点F且与该抛物线相交于A、B两点，其中点A在x轴上方．若直线l的倾斜角为60°，则△OAF的面积为____________．10.已知定点F(1，0)，动点P在y轴上运动，过点P作直线PM交x轴于点M，并延长5\nMP到点N，且·＝0，||＝||.(1)求点N的轨迹方程；(2)直线l与点N的轨迹交于A、B两点，若·＝－4，且4≤|AB|≤4，求直线l的斜率k的取值范围．5\n5\n第60讲1．C 2.A 3.A 4.B 5.－4 6.－7．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆的方程并作差，得a(x1＋x2)(x1－x2)＋b(y1＋y2)(y1－y2)＝0.而＝－1，＝kOC＝，代入上式可得b＝a.又|AB|＝|x2－x1|＝2，即|x2－x1|＝2，其中x1、x2是方程(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0的两根，则|x2－x1|2＝()2－4·＝4，将b＝a代入，得a＝，b＝，所以所求椭圆的方程是＋y2＝1.8．6 解析：由于，消去y整理得，(1＋4k2)x2－16kx－64＝0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝＝2×2，得k＝，从而x1＋x2＝4，x1x2＝＝－32，因此|PQ|＝|x1－x2|＝＝6.9. 解析：由y2＝4x可求得焦点坐标F(1，0)，因为倾斜角为60°，所以直线的斜率为k＝tan60°＝，利用点斜式，直线方程为y＝x－，将直线和曲线联立⇒，因此S△OAF＝×OF×yA＝×1×2＝.10．解析：(1)由于||＝||，则P为线段MN的中点，设N(x，y)，则M(－x，0)，P(0，)，由·＝0，得(－x，－)·(1，－)＝0，所以(－x)·1＋(－)·(－)＝0，所以y2＝4x，所以点N的轨迹方程为y2＝4x.(2)设直线l的方程是y＝kx＋m(k≠0)，与y2＝4x联立消去y得，(kx＋m)2＝4x，整理得k2x2＋(2km－4)x＋m2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝.所以y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝m2－＋m2＝，由·＝－4，得x1x2＋y1y2＝－4，5\n所以＋＝－4，即(＋2)2＝0，所以m＝－2k.由于直线l与点N的轨迹交于不同的两点，则Δ＝(2km－4)2－4k2m2>0，即km<1，把m＝－2k代入上式得－2k2<1.所以当k∈R且k≠0时，直线l与点N的轨迹有两个不同的交点，而|AB|＝＝＝＝＝.又因为4≤|AB|≤4，所以6≤≤30，解得－1≤k≤－或≤k≤1，综上可知，k的取值范围是{k|－1≤k≤－或≤k≤1}．5
