第61讲 圆锥曲线的综合应用 1.若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p＝( )A．4B．2C．－4D．－2 2.与曲线＋＝1共焦点，而与曲线－＝1共渐近线的双曲线方程为( )A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1 3.设椭圆＋＝1(m>0，n>0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为( )A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1 4.(2022·山东卷)已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为( )A．x2＝yB．x2＝8yC．x2＝8yD．x2＝16y 5.已知椭圆＋＝1和双曲线－＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程为__________________． 6.椭圆＋y2＝1上的点到直线x－y＋6＝0的距离的最小值是________．4\n 7.已知椭圆C的焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y＝x2的焦点，离心率为.(1)求椭圆C的标准方程．(2)过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于点M，若＝λ1，＝λ2，求λ1＋λ2的值． 1.已知P为抛物线y＝x2上的动点，点P在x轴上的射影为M，点A的坐标是(6，)，则|PA|＋|PM|的最小值是( )A．8B.C．10D. 2.椭圆＋＝1和双曲线－y2＝1的公共焦点为F1、F2，P是两曲线的一个交点，那么cos∠F1PF2的值是________． 3.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AO⊥BO(如图所示)．(1)求△AOB的重心G(即三角形三条中线的交点)的轨迹方程；(2)△AOB的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．第61讲巩固练习1．A 2.A 3.B4\n4．D 解析：抛物线的焦点(0，)，双曲线的渐近线为y＝±x，不妨取y＝x，即bx－ay＝0，焦点到渐近线的距离为＝2，即ap＝4＝4c，所以＝，双曲线的离心率为＝2，所以＝＝2，所以p＝8，所以抛物线方程为x2＝16y.选D.5．y＝±x解析：由已知得焦点在x轴上，且3m2－5n2＝2m2＋3n2，所以m2＝8n2，所以渐近线为y＝±x＝±x＝±x＝±x.6．27．解析：(1)抛物线y＝x2的焦点坐标为(0，1)，设椭圆C的标准方程为：＋＝1，则b＝1.所以＝，所以＝，所以＝，a2＝5，所以椭圆C的标准方程为：＋y2＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(0，y0)，则由＝λ1，得x1＝，y1＝，所以()2＋()2＝1，所以λ12＋10λ1＋5－5y02＝0，同理可得：λ22＋10λ2＋5－5y02＝0，所以λ1，λ2是方程x2＋10x＋5－5y02＝0的根，所以λ1＋λ2＝－10.提升能力1．B2.3．解析：(1)设△AOB的重心为G(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，4\n则，①因为OA⊥OB，所以kOA·kOB＝－1，即x1x2＋y1y2＝－1，②又点A，B在抛物线上，有y1＝x12，y2＝x22，代入②化简得x1x2＝－1，所以y＝＝(x12＋x22)＝[(x1＋x2)2－2x1x2]＝×(3x)2＋＝3x2＋所以重心为G的轨迹方程为y＝3x2＋.(2)S△AOB＝|OA||OB|＝＝由(1)得S△AOB＝≥＝＝×2＝1.当且仅当x16＝x26，即x1＝－x2＝－1时，等号成立．所以△AOB的面积存在最小值，且最小值为1.4
