第16讲 导数的综合应用 1.欲制作一个容积为2π立方米的圆柱形储油罐(有盖)，为能使所用的材料最省，它的底面半径和高分别为( )A．底面半径为0.5米，高为1米B．底面半径为1米，高为1米C．底面半径为1米，高为2米D．底面半径为2米，高为0.5米 2.某旅行社在暑假期间推出如下旅游团组团方法：达到100人的团体，每人收费1000元，如果团体人数超过100人，那么每超过1人，每人平均收费降低5元，但团体人数不能超过180人(不到100人不组团)，要使旅行社的收费最多，旅行团组团人数为( )A．130B．140C．150D．160 3.若a>1，则关于x的方程x3－ax2＋1＝0在区间(0，2)上的实根个数共有( )A．0个B．1个C．2个D．3个 4.当x＞0时，x－与ln(1＋x)的大小关系是__________________________． 5.某工厂需要围建一个面积为512m2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当墙壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为__________． 6.某企业现有甲、乙两个项目的投资计划，若投资甲项目资金p万元，则获得利润p万元；若投资乙项目资金q万元，则获得利润lnq万元．已知该企业投资甲、乙两项目资金共10万元，且甲、乙两项目投入资金都不低于1万元，则甲项目投入______万元，乙项目投入______万元，能使企业获得的最大利润为________万元(精确到0.1，参考数据ln2＝0.7)． 7.有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50km.两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元．问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？ 8.某企业生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一件产品，成本增加100元．已知总收益R(元)与年产量x(件)的关系式是R(x)＝，则总利润最大时，年产量是( )A．100件B．150件C．200件D．300件 9.已知函数f(x)＝x3＋3ax－1，g(x)＝f′(x)－ax－5.若对任意a∈[－1，1]都有g(x)＜0成立，则实数x的取值范围是__________________．5\n10.(2022·辽宁卷)设f(x)＝ln(x＋1)＋＋ax＋b(a，b∈R，a，b为常数)，曲线y＝f(x)与直线y＝x在(0，0)点相切．(1)求a，b的值．(2)证明：当0＜x＜2时，f(x)＜.5\n5\n第16讲1．C 2.C 3.B 4.x－＜ln(1＋x) 5.32m和16m 6.6 4 1.67．解析：根据题意知，只有点C在线段AD上某一适当位置，才能使水管费用最省．设C点距D点xkm.因为BD＝40，AC＝50－x，所以BC＝＝.又设总的水管费用为y元，依题意有y＝3a(50－x)＋5a(0<x<50)，所以y′＝－3a＋.令y′＝0，得x＝30.在(0，50)上，y只有一个极值点，根据实际问题的意义，函数在x＝30处取得最小值，此时AC＝50－x＝20(km)．所以供水站建在A、D之间距甲厂20km处，可以使水管费用最省．8．D 解析：总利润Q(x)＝R(x)－(20000＋100x)＝.当0≤x≤400时，Q(x)＝－(x2－600x)－20000＝－(x－300)2＋25000，所以当x＝300时，Q(x)max＝25000；当x>400时，Q(x)＝60000－100x<20000.综上知，总利润最大时，年产量是300件．9．(－，1) 解析：由已知，g(x)＝3x2－ax＋3a－5.令φ(a)＝(3－x)a＋3x2－5.因为对任意a∈[－1，1]都有g(x)＜0成立，即φ(a)＜0恒成立．所以，即，解得－＜x＜1.10．解析：(1)由y＝f(x)过(0，0)点，得b＝－1.由y＝f(x)在(0，0)点的切线斜率为，又y′|x＝0＝(＋＋a)|x＝0＝＋a，得a＝0.(2)由均值不等式，当x＞0时，2＜x＋1＋1＝x＋2，故＜＋1.记h(x)＝f(x)－，则5\nh′(x)＝＋－＝－＜－＝.令g(x)＝(x＋6)3－216(x＋1)，则当0＜x＜2时，g′(x)＝3(x＋6)2－216＜0.因此g(x)在(0，2)内是递减函数，又由g(0)＝0，得g(x)＜0，所以h′(x)＜0.因此h(x)在(0，2)内是减函数，又h(0)＝0，得h(x)＜0，于是当0＜x＜2时，f(x)＜.5
