第57讲 椭 圆 1.一动点P到两定点F1、F2的距离之和为2a(2a≥|F1F2|)，则动点P的轨迹为( )A．椭圆B．线段F1F2C．不存在D．椭圆或线段F1F2 2.(2022·上海卷)已知椭圆C1：＋＝1，C2：＋＝1，则( )A．C1与C2顶点相同B．C1与C2长轴长相同C．C1与C2短轴长相同D．C1与C2焦距相等 3.已知椭圆C的短轴长为6，离心率为，则椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为( )A．9B．1C．1或9D．以上都不对 4.(2022·大纲卷)椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x＝－4，则该椭圆的方程为( )A.＋＝1 B.＋＝1C.＋＝1 D.＋＝1 5.已知椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点分别为F1、F2，b＝4，椭圆的离心率为，过F1的直线交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为______． 6.椭圆＋＝1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上．如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的______倍． 7.设F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，F1到直线l的距离为2.(1)求椭圆C的焦距；(2)如果＝2，求椭圆C的方程． 8.已知椭圆C：＋y2＝1的两焦点为F1，F2，点P(x0，y0)满足0<＋y02<1，则|PF1|＋|PF2|的取值范围为__________．5\n 9.设P是椭圆＋＝1上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，则cos∠F1PF2的最小值是________．10.椭圆＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点为F1、F2，点P在椭圆C上，且PF1⊥F1F2，|PF1|＝，|PF2|＝.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l过圆x2＋y2＋4x－2y＝0的圆心M且交椭圆于A、B两点，且A、B关于点M对称，求直线l的方程．5\n5\n第57讲1．D 2.D 3.C 4.C 5.20 6.77．解析：(1)设椭圆C的焦距为2c.由已知可得F1到直线l的距离为c＝2，故c＝2.所以椭圆C的焦距为4.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由题意知y1<0，y2>0.直线l的方程为y＝(x－2)．联立，得方程组，消去x，得(3a2＋b2)y2＋4b2y－3b4＝0，解得y1＝，y2＝.因为＝2，所以－y1＝2y2，即＝2×，得a＝3.而a2－b2＝4，所以b＝.故椭圆C的方程为＋＝1.8．[2，2) 解析：由于0<＋y02<1，所以点P(x0，y0)在椭圆＋y2＝1内部，且不能与原点重合．根据椭圆的定义和几何性质知，|PF1|＋|PF2|<2a＝2，且|PF1|＋|PF2|取得最小值时，点P落在线段F1F2上(原点除外)，此时|PF1|＋|PF2|＝2，故|PF1|＋|PF2|的取值范围是[2，2)．9．－ 解析：由余弦定理得，cos∠F1PF2＝＝＝－1＝－1，结合二次函数的最值得，当PF1＝PF2＝3时，cos∠F1PF2取得最小值－.10．解析：方法1：(1)因为点P在椭圆C上，所以2a＝|PF1|＋|PF2|＝6，a＝3.在Rt△PF1F2中，|F1F2|＝＝2，故椭圆的半焦距c＝，从而b2＝a2－c2＝4，所以椭圆C的方程为＋＝1.(2)设A，B坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，已知圆的方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝5，所以圆心M的坐标为(－2，1)，从而可设直线l的方程为y＝k(x＋2)＋1，代入椭圆C的方程得(4＋9k2)x2＋(36k2＋18k)x＋36k2＋36k－27＝0.因为A，B关于点M对称，所以＝－＝－2，解得k＝，5\n所以直线l的方程为y＝(x＋2)＋1，即8x－9y＋25＝0.(经检验，符合题意)．方法2：(1)同方法1.(2)已知圆的方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝5.所以圆心M的坐标为(－2，1)设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由题意，x1≠x2，且＋＝1，①＋＝1，②由①②得＋＝0.③因为A、B关于点M对称，所以x1＋x2＝－4，y1＋y2＝2，代入③得＝，即直线l的斜率为，所以直线l的方程为y－1＝(x＋2)，即8x－9y＋25＝0.(经检验，所求直线方程符合题意)5
