第27讲 坐标系与参数方程1.(1)在极坐标系中，已知圆C的圆心坐标C，半径R＝，求圆C的极坐标方程；(2)已知某曲线C的参数方程是(t为参数)，试将该曲线C的参数方程化为普通方程．解：(1)圆心C的直角坐标是(1，)，则圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－)2＝5，即x2＋y2－2x－2y＝1，则圆C的极坐标方程为ρ2－4ρcos＝1.(2)∵(t为参数)，∴y2＝t2＋－2，∴曲线C的普通方程为y2＝x.2.已知曲线C1的极坐标方程为ρcos＝－1，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2cos，判断两曲线的位置关系．解：将曲线C1，C2化为直角坐标方程得：C1：x＋y＋2＝0，C2：x2＋y2－2x－2y＝0，即C2：(x－1)2＋(y－1)2＝2，圆心到直线的距离d＝＝>，∴曲线C1与C2相离．3.已知曲线C的参数方程(θ为参数)，直线l的极坐标方程：ρsin＝1.直线l与曲线C交于M、N两点，求MN的长．解：曲线C的普通方程为＋＝1.直线l的直角坐标方程为y＝x＋.直线l的方程代入椭圆方程，并化简得3x2＋2x－2＝0.解得x1＝，x2＝.所以M(－，0)，N.所以MN＝＝.4.在平面直角坐标系xOy中，动圆x2＋y2－8xcosθ－6ysinθ＋7cos2θ＋8＝0(θ∈R)的圆心为P(x，y)，求3x－4y的取值范围．解：P(4cosθ，3sinθ)，则3x－4y＝12(cosθ－sinθ)＝12cos.-2-\n∵θ∈R，∴－1≤cos≤1，∴－12≤3x－4y≤12.5.已知极坐标方程为ρcosθ＋ρsinθ－1＝0的直线与x轴的交点为P，与椭圆(θ为参数)交于A、B两点，求PA·PB.解：直线过点P(1，0)，参数方程为(t为参数)，代入椭圆方程＋＝1，整理得t2－t－3＝0，则PA·PB＝|t1t2|＝.(本题解出交点坐标也可)6.在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，如图，曲线C与x轴交于O、B两点，P是曲线C在x轴上方图象上任意一点，连结OP并延长至M，使PM＝PB，当P变化时，求动点M轨迹的长度．解：设M(ρ，θ)，θ∈，则OP＝2cosθ，PB＝2sinθ.∴ρ＝OP＋PB＝2cosθ＋2sinθ，∴ρ2＝2ρsinθ＋2ρcosθ.转化为普通方程：x2＋y2＝2x＋2y，∴M的轨迹方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2(x>0，y>0)．∴点M的轨迹长度为π.-2-
