专题四 平面解析几何第12讲 直线与圆的方程及应用解析几何是江苏高考必考题之一，它包含两个C级考点，直线的方程和圆的方程．正常情况下，考一小(填空)一大(解答)．小题常涉及直线方程及应用、圆锥曲线方程及其性质，有一定的计算量；大题往往考查圆锥曲线与圆或圆锥曲线与直线，涉及到方程、位置关系、定点、定值、定线等．圆与圆锥曲线的综合考查，对数学思想方法要求比较高，如能灵活使用待定系数法、定义法等求方程，能用配方法、换元法等，并结合图形将问题进行转化，通过函数、方程、不等式等思想来解决问题．1.理解直线的斜率和倾斜角的概念；掌握过两点的直线斜率的计算公式；了解直线的倾斜角的范围；理解直线的斜率和倾斜角之间的关系，二者能相互转化．2.掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式)的特点与适用范围；能根据问题的具体条件选择恰当的形式求直线的方程；了解直线方程的斜截式与一次函数的关系．3.能根据斜率判定两条直线平行或垂直．4.了解二元一次方程组的解与两直线的交点坐标之间的关系，体会数形结合思想；能用解方程组的方法求两直线的交点坐标．5.掌握两点间的距离公式和点到直线的距离公式及其简单应用；会求两条平行直线间的距离．6.掌握圆的标准方程与一般方程，能根据问题的条件选择恰当的形式求圆的方程；理解圆的标准方程与一般方程之间的关系，会进行互化．7.能根据直线与圆的方程判断其位置关系(相交、相切、相离)；能根据圆的方程判断圆与圆的位置关系(外离、外切、相交、内切、内含)；能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．1.直线y＝2x＋3被圆x2＋y2－6x－8y＝0所截得的弦长等于________．答案：4解析：圆方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25，圆心到直线的距离为d＝＝，弦长为2＝4.2.过点(2，1)且在两坐标轴截距相等的直线方程是________________．答案：x－2y＝0或x＋y－3＝03.圆x2＋y2＝1与直线kx＋y－k＝0(k∈R为常数)的位置关系是________．答案：相交4.已知直线y＝ax＋3与圆x2＋y2＋2x－8＝0相交于A、B两点，点P(x0，y0)在直线y＝2x上，且PA＝PB，则x0的取值范围为________．答案：(－1，0)∪(0，2)解析：圆x2＋y2＋2x－8＝0的圆心为(－1，0)，半径为3，由PA＝PB，知点P在AB的垂直平分线上，而AB的垂直平分线方程为y＝－(x＋1)，联立y＝2x，得x0＝－.因为直线y＝ax＋3与圆相交于两点，所以<3，解得a<－或a>0，从而x0的取值范围为(－1，0)∪(0，2)．题型一直线的方程例1已知圆C过点(1，0)，且圆心在x轴的正半轴上，-8-\n直线l：y＝x－1被圆C所截得的弦长为2，求过圆心且与直线l垂直的直线的方程．解：由题意可设所求的直线方程为x＋y＋m＝0，设圆心坐标为(a，0)，则由题意知＋2＝(a－1)2，解得a＝3或－1.又圆心在x轴的正半轴上，所以a＝3，故圆心坐标为(3，0)．因为圆心(3，0)在所求的直线上，所以有3＋0＋m＝0，即m＝－3，故所求的直线方程为x＋y－3＝0.题型二圆的方程例2已知m∈R，直线l：mx－(m2＋1)y＝4m和圆C：x2＋y2－8x＋4y＋16＝0.(1)求直线l斜率的取值范围；(2)直线l能否将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧？为什么？解：(1)直线l的方程可化为y＝x－，则直线l的斜率k＝，∵|m|≤(m2＋1)，∴|k|＝≤，当且仅当|m|＝1时等号成立，∴斜率k的取值范围是.(2)不能．由(1)知l的方程为y＝k(x－4)，其中|k|≤.圆C的圆心C(4，－2)，半径r＝2，圆心C到直线l的距离d＝.由|k|≤，得d≥＞1，即d＞，从而若l与圆C相交，则圆C截直线l所得的弦所对的圆心角小于，所以l不能将圆C分割成弧长的比值为的两段弧．题型三直线与圆的位置关系例3如图，在平面直角坐标系xOy中，△AOB和△COD为两等腰直角三角形，A(－2，0)、C(a，0)(a>0)．△AOB和△COD的外接圆圆心分别为M、N.(1)若圆M与直线CD相切，求直线CD的方程；(2)若直线AB截圆N所得弦长为4，求圆N的标准方程；(3)是否存在这样的圆N，使得圆N上有且只有三个点到直线AB的距离为，若存在，求此时圆N的标准方程；若不存在，说明理由．解：(1)∵圆心M(－1，1)，∴圆M的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2.又直线CD方程为x＋y－a＝0，且圆M与直线CD相切，∴圆心M到直线CD的距离d＝＝，化简得a＝±2(舍去负值)，∴直线CD的方程为x＋y－2＝0.(2)∵直线AB方程为：x－y＋2＝0，圆心N，-8-\n∴圆心N到直线AB距离为＝.∵直线AB截圆N所得弦长为4，∴22＋()2＝，∴a＝±2(舍去负值)，∴圆N的标准方程为(x－)2＋(y－)2＝6.(3)存在．由(2)知圆心N到直线AB距离为(定值)，且AB⊥CD始终成立，∴当且仅当圆N的半径＝2，即a＝4时，圆N上有且只有三个点到直线AB的距离为，此时，圆N的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝8.题型四与圆有关的综合问题例4在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2＋y2＝64，圆O1与圆O相交，圆心为O1(9，0)，且圆O1上的点与圆O上的点之间的最大距离为21.(1)求圆O1的标准方程；(2)过定点P(a，b)作动直线l与圆O、圆O1都相交，且直线l被圆O、圆O1截得的弦长分别为d、d1.若d与d1的比值总等于同一个常数λ，求点P的坐标及λ的值．解：(1)由题设得圆O1的半径为4，所以圆O1的标准方程为(x－9)2＋y2＝16.(2)当直线l的斜率存在时，设直线l为y－b＝k(x－a)，即y－kx＋ka－b＝0.则O、O1到直线l的距离分别为h＝，h1＝，从而d＝2，d1＝2，由＝λ，得64－＝λ2[16－]，整理得[64－a2－16λ2＋λ2(a－9)2]k2＋2b[a－λ2(a－9)]k＋64－b2－λ2(16－b2)＝0.由题意，上式对于任意实数k恒成立，所以64－a2－16λ2＋λ2(a－9)2＝0，2b[a－λ2(a－9)]＝0，64－b2－λ2(16－b2)＝0，由2b[a－λ2(a－9)]＝0，得b＝0或a－λ2(a－9)＝0.①如果b＝0，则64－16λ2＝0，解得λ＝2(舍去负值)．从而a＝6或18.所以λ＝2，点P(6，0)或P(18，0)．②如果a－λ2(a－9)＝0，显然a＝9不满足，从而λ2＝，所以3a2－43a＋192＝0.但Δ＝432－4×3×192＝－455<0，因此该方程无实数根，舍去．当点P的坐标为(6，0)时，若直线l的斜率不存在，此时d＝4，d1＝2，所以＝2，也满足．综上所述，满足题意的λ＝2，点P有2个，坐标分别为(6，0)和(18，0)．在平面直角坐标系xOy中，已知定点A(－4，0)、B(4，0)，动点P与A、B两点连线的斜率之积为－.(1)求点P的轨迹方程；(2)设点P的轨迹与y轴负半轴交于点C，半径为r的圆M的圆心M在线段AC的垂直平分线上，且在y轴右侧，圆M被y轴截得的弦长为r.①求圆M的方程；-8-\n②当r变化时，是否存在定直线l与动圆M均相切？如果存在，求出定直线l的方程；如果不存在，说明理由．解：(1)设P(x，y)，则直线PA、PB的斜率分别为k1＝，k2＝.由题意知·＝－，即＋＝1(x≠±4)，所以动点P的轨迹方程是＋＝1(x≠±4)．(2)①由题意知C(0，－2)，A(－4，0)，所以线段AC的垂直平分线方程为y＝2x＋3.设M(a，2a＋3)(a＞0)，则圆M的方程为(x－a)2＋(y－2a－3)2＝r2.圆心M到y轴的距离d＝a，由r2＝d2＋，得a＝，所以圆M的方程为＋(y－r－3)2＝r2.②假设存在定直线l与动圆M均相切．当定直线的斜率不存在时，不合题意．当斜率存在时，设直线l：y＝kx＋b，则＝r对任意r＞0恒成立．由＝r，得r2＋(k－2)(b－3)r＋(b－3)2＝(1＋k2)r2，所以解得或所以存在两条直线y＝3和4x＋3y－9＝0与动圆M均相切．1.(2022·陕西卷)若圆C的半径为1，其圆心与点(1，0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为________．答案：x2＋(y－1)2＝1解析：∵点(1，0)关于y＝x的对称点是(0，1)，∴圆心为(0，1)，半径为1的标准方程为x2＋(y－1)2＝1.2.(2022·全国卷)直线l1和l2是圆x2＋y2＝2的两条切线．若l1与l2的交点为P(1，3)，则l1与l2的夹角的正切值是________．答案：解析：设l1与l2的夹角为2θ，由于l1与l2的交点P(1，3)在圆的外部，且点P与圆心O之间的距离为OP＝＝，圆的半径为r＝，∴sinθ＝＝，∴cosθ＝，-8-\ntanθ＝＝，∴tan2θ＝＝＝.3.(2022·福建卷)直线l：y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A、B两点，则“k＝1”是“△OAB的面积为”的__________(填“充分不必要”“必要不充分”“既不充分也不必要”或“充要”)条件．答案：充分不必要解析：若直线l：y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A、B两点，则圆心到直线距离d＝，|AB|＝2＝2＝2.若k＝1，则|AB|＝2＝，d＝＝，则△OAB的面积为××＝成立，即充分性成立．若△OAB的面积为，则S＝××2＝×2＝，解得k＝±1，则k＝1不成立，即必要性不成立．故“k＝1”是“△OAB的面积为”的充分不必要条件．4.(2022·重庆卷)已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A、B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝________．答案：4±解析：易知该等边三角形的边长为2，圆心到直线的距离为等边三角形的高h＝，即＝a＝4±.5.(2022·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，直线l：y＝2x－4，设圆C的半径为1，圆心在l上．(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2)若圆C上存在点M，使MA＝2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．解：(1)由得圆心C为(3，2)，∵圆C的半径为1，∴圆C的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝1.显然切线的斜率一定存在，设所求圆C的切线方程为y＝kx＋3，即kx－y＋3＝0，∴＝1，∴|3k＋1|＝，∴2k(4k＋3)＝0，∴k＝0或k＝－，∴所求圆C的切线方程为y＝3或y＝－x＋3，即y＝3或3x＋4y－12＝0.(2)∵圆C的圆心在直线l：y＝2x－4上，∴设圆心C为(a，2a－4)，则圆C的方程为(x－a)2＋[y－(2a－4)]2＝1.∵MA＝2MO，∴设M为(x，y)，则＝2，整理得x2＋(y＋1)2-8-\n＝4，设为圆D，∴点M应该既在圆C上又在圆D上，即圆C和圆D有公共点，∴|2－1|≤≤|2＋1|.由5a2－12a＋8≥0得a∈R，由5a2－12a≤0得0≤a≤.综上所述，a的取值范围为.6.(2022·全国卷)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝|PQ|.(1)求C的方程；(2)过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．解：(1)设Q(x0，4)，代入y2＝2px，得x0＝，所以|PQ|＝，|QF|＝＋x0＝＋.由题设得＋＝×，解得p＝－2(舍去)或p＝2，所以C的方程为y2＝4x.(2)依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为x＝my＋1(m≠0)．代入y2＝4x，得y2－4my－4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.故线段的AB的中点为D(2m2＋1，2m)，|AB|＝|y1－y2|＝4(m2＋1)．又直线l′的斜率为－m，所以l′的方程为x＝－y＋2m2＋3.将上式代入y2＝4x，并整理得y2＋y－4(2m2＋3)＝0.设M(x3，y3)，N(x4，y4)，则y3＋y4＝－，y3y4＝－4(2m2＋3)．故线段MN的中点为E，|MN|＝|y3－y4|＝.由于线段MN垂直平分线段AB，故A、M、B、N四点在同一圆上等价于|AE|＝|BE|＝|MN|，从而|AB|2＋|DE|2＝|MN|2，即4(m2＋1)2＋＋＝，化简得m2－1＝0，解得m＝1或m＝－1，-8-\n故所求直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.(本题模拟高考评分标准，满分16分)(2022·苏北期末)已知△ABC的三个顶点A(－1，0)、B(1，0)、C(3，2)，其外接圆为圆H.(1)若直线l过点C，且被圆H截得的弦长为2，求直线l的方程；(2)对于线段BH上的任意一点P，若在以C为圆心的圆上都存在不同的两点M、N，使得点M是线段PN的中点，求圆C的半径r的取值范围．解：(1)线段AB的垂直平分线方程为x＝0，线段BC的垂直平分线方程为x＋y－3＝0，所以外接圆圆心H(0，3)，半径＝，圆H的方程为x2＋(y－3)2＝10.(4分)设圆心H到直线l的距离为d，因为直线l被圆H截得的弦长为2，所以d＝＝3.当直线l垂直于x轴时，显然符合题意，即x＝3为所求；(6分)当直线l不垂直于x轴时，设直线方程为y－2＝k(x－3)，则＝3，解得k＝.综上，直线l的方程为x＝3或4x－3y－6＝0.(8分)(2)直线BH的方程为3x＋y－3＝0，设P(m，n)(0≤m≤1)，N(x，y)，因为点M是线段PN的中点，所以M.又M、N都在半径为r的圆C上，所以即(10分)因为该关于x、y的方程组有解，即以(3，2)为圆心、r为半径的圆与以(6－m，4－n)为圆心、2r为半径的圆有公共点，所以(2r－r)2≤(3－6＋m)2＋(2－4＋n)2≤(r＋2r)2.(12分)又3m＋n－3＝0，所以r2≤10m2－12m＋10≤9r2对m∈[0，1]成立．而f(m)＝10m2－12m＋10在[0，1]上的值域为，故r2≤且10≤9r2.(15分)又线段BH与圆C无公共点，所以(m－3)2＋(3－3m－2)2>r2对m∈[0，1]成立，即r2<.故圆C的半径r的取值范围为.(16分)1.已知实数x、y满足2x＋y＋5＝0，那么的最小值为________．答案：2.直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－2＝0相切，则实数m＝________．答案：或－33.若直线y＝x＋b与曲线y＝3－有公共点，则b的取值范围是________．答案：[1－2，3]解析：本题考查数形结合思想.曲线方程可化简为(x－2)2＋(y－3)2＝4(1≤y≤3)，即表示圆心为(2，3)半径为2的半圆，依据数形结合，当直线y＝x＋b与此半圆相切时须满足圆心(2，3)到直线y＝x＋b距离等于2，解得b＝1＋2或1－2.因为是下半圆故可得b≠1＋2，当直线过(0，3)时，解得b＝3，故1－2≤b≤3.4.已知圆M：x2＋(y－2)2＝1，Q是x轴上的动点，QA、QB分别切圆M于A、B两点．(1)如果|AB|＝，求直线MQ的方程；(2)求动弦|AB|的最小值．-8-\n解：(1)设Q(q，0)，因为M(0，2)，所以|MQ|＝＝，而|MA|＝r＝1，从而在Rt△AMQ中，|AQ|＝＝＝.又由题意和对称性可得，Rt△AMQ斜边MQ边上的高为h＝|AB|＝.由等面积法得·＝，解得q＝±，所以Q(±，0)，将M、Q的坐标代入直线的两点式方程整理得到直线MQ的方程为2x＋y－2＝0或2x－y＋2＝0.(2)由(1)知，利用等面积法得|AB|·＝|AB|＝＝，从而当q＝0时，动弦|AB|取到最小值.5.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C由圆弧C1和圆弧C2相接而成，两相接点M、N均在直线x＝5上．圆弧C1的圆心是坐标原点O，半径为13；圆弧C2过点A(29，0)．(1)求圆弧C2的方程；(2)曲线C上是否存在点P，满足PA＝PO？若存在，指出有几个这样的点；若不存在，请说明理由；(3)已知直线l：x－my－14＝0与曲线C交于E、F两点，当EF＝33时，求坐标原点O到直线l的距离．解：(1)圆弧C1所在圆的方程为x2＋y2＝169，令x＝5，解得M(5，12)，N(5，－12)．则线段AM中垂线的方程为y－6＝2(x－17)，令y＝0，得圆弧C2所在圆的圆心为O2(14，0)．又圆弧C2所在圆的半径为r2＝29－14＝15，所以圆弧C2的方程为(x－14)2＋y2＝225(x≥5)．(2)假设存在这样的点P(x，y)，则由PA＝PO，得x2＋y2＋2x－29＝0.由解得x＝－70(舍)，由解得x＝0(舍)，综上知，这样的点P不存在．(3)因为EF＞2r2，EF＞2r1，所以E、F两点分别在两个圆弧上．设点O到直线l的距离为d，因为直线l恒过圆弧C2所在圆的圆心(14，0)，所以EF＝15＋＋，即＋＝18，解得d2＝，所以点O到直线l的距离为.-8-
