第24讲 高考题中的解答题解法1.已知集合A＝{x|x2－(3a＋3)x＋2(3a＋1)<0，x∈R}，集合B＝.(1)当4B时，求实数a的取值范围；(2)求使BA的实数a的取值范围．解：(1)若4∈B，则＜0a＜－或＜a＜4.所以当4B时，实数a的取值范围为[－，]∪[4，＋∞)．(2)A＝{x|(x－2)(x－3a－1)＜0}，B＝{x|a＜x＜a2＋1}．①当a＜时，A＝(3a＋1，2)．要使BA，必须此时－1≤a≤－；②当a＝时，A＝，使BA的a不存在；③当a＞时，A＝(2，3a＋1)．要使BA，必须此时2≤a≤3.综上，使BA的实数a的取值范围是[2，3]∪[－1，－]．2.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，PA＝AC＝a，PB＝PD＝a，点E、F分别在PD、BC上，且PE∶ED＝BF∶FC.(1)求证：PA⊥平面ABCD;(2)求证：EF∥平面PAB.证明：(1)∵底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴AB＝AD＝AC＝a.在△PAB中，∵PA2＋AB2＝2a2＝PB2，∴PA⊥AB，同理PA⊥AD.又AB∩AD＝A，∴PA⊥平面ABCD.(2)作EG∥PA交AD于G，连结GF，则＝＝，∴GF∥AB.又AB平面PAB，GF平面PAB，∴GF∥平面PAB.同理EG∥平面PAB.又GF∩EG＝G，∴平面EFG∥平面PAB.又EF平面EFG，-10-\n∴EF∥平面PAB.3.如图，现要在边长为100m的正方形ABCD内建一个交通“环岛”．以正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为xm(x不小于9)的扇形花坛，以正方形的中心为圆心建一个半径为x2m的圆形草地．为了保证道路畅通，岛口宽不小于60m，绕岛行驶的路宽均不小于10m.(1)求x的取值范围；(运算中取1.4)(2)若中间草地的造价为a元/m2，四个角花坛的造价为ax元/m2，其余区域的造价为元/m2，则当x取何值时，可使“环岛”的整体造价最低？解：(1)由题意得，解得即9≤x≤15.(2)记“环岛”的整体造价为y元，则由题意得y＝a×π×＋ax×πx2＋×[104－π×－πx2]＝，令f(x)＝－x4＋x3－12x2，则f′(x)＝－x3＋4x2－24x＝－4x，由f′(x)＝0，解得x＝10或x＝15，列表如下：x9(9，10)10(10，15)15f′(x)－0＋0f(x)极小值所以当x＝10，y取最小值．答：当x＝10m时，可使“环岛”的整体造价最低．4.在直角坐标系xOy中，动点P到定点F(1，0)的距离与到定直线m：x＝4的距离之比为，记动点P的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程；(2)记曲线E与y轴的正半轴交点为D，过点D作直线l与曲线E交于另一点M，与x轴交于点A(不同于原点O)，点M关于x轴的对称点为N，直线DN交x轴于点B.试探究OA·OB是否为定值？若是定值，请求出该定值，否则请说明理由．解：(1)设点P(x，y)，曲线E是椭圆，其方程为＋＝1.(2)设直线l方程为y＝kx＋.令y＝0，得A.-10-\n由方程组可得3x2＋4(kx＋)2＝12，即(3＋4k2)x2＋8kx＝0.所以M，N，所以kDN＝＝.直线DN的方程为y＝x＋.令y＝0，得B.所以OA·OB＝|－|·|－|＝4，故OA·OB为定值4.5.已知函数f(x)＝lnx－mx(m∈R)．(1)若曲线y＝f(x)过点P(1，－1)，求曲线y＝f(x)在点P处的切线方程；(2)求函数f(x)在区间[1，e]上的最大值；(3)若函数f(x)有两个不同的零点x1、x2，求证：x1x2＞e2.(1)解：因为点P(1，－1)在曲线y＝f(x)上，所以－m＝－1，解得m＝1.因为f′(x)＝－1，所以切线的斜率为0，所以切线方程为y＝－1.(2)解：因为f′(x)＝－m＝.①当m≤0时，x∈(1，e)，f′(x)＞0，所以函数f(x)在(1，e)上单调递增，则f(x)max＝f(e)＝1－me.②当≥e，即0＜m≤时，x∈(1，e)，f′(x)＞0，所以函数f(x)在(1，e)上单调递增，则f(x)max＝f(e)＝1－me.③当1＜＜e，即＜m＜1时，函数f(x)在上单调递增，在上单调递减，则f(x)max＝f＝－lnm－1.④当≤1，即m≥1时，x∈(1，e)，f′(x)＜0，函数f(x)在(1，e)上单调递减，则f(x)max＝f(1)＝－m.综上，当m≤时，f(x)max＝1－me；当＜m＜1时，f(x)max＝－lnm－1；当m≥1时，f(x)max＝－m.(3)证明：不妨设x1＞x2＞0.因为f(x1)＝f(x2)＝0，所以lnx1－mx1＝0，lnx2－mx2＝0，可得lnx1＋lnx2＝m(x1＋x2)，lnx1－lnx2＝m(x1－x2)．要证明x1x2＞e2，即证明lnx1＋lnx2＞2，也就是m(x1＋x2)＞2.因为m＝，所以即证明＞，-10-\n即ln＞.令＝t，则t＞1，于是lnt＞.令φ(t)＝lnt－(t＞1)，则φ′(t)＝－＝＞0.故函数φ(t)在(1，＋∞)上是增函数，所以φ(t)＞φ(1)＝0，即lnt＞成立．所以原不等式成立．6.已知数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)(n∈N*)在函数y＝x2的图象上，数列{bn}满足bn＝6bn－1＋2n＋1(n≥2，n∈N*)，且b1＝a1＋3.(1)求数列{an}的通项公式；(2)证明列数是等比数列，并求数列{bn}的通项公式；(3)设数列{cn}满足对任意的n∈N*，均有an＋1＝＋＋＋…＋成立，求c1＋c2＋c3＋…＋c2014的值．(1)解：∵点(n，Sn)在函数y＝x2的图象上，∴Sn＝n2(n∈N*)，当n＝1时，a1＝S1＝12＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，又a1＝1也适合，∴{an}的通项公式为an＝2n－1(n∈N*)．(2)证明：∵bn＝6bn－1＋2n＋1(n≥2)，∴＋1＝＋1＝3·＋3＝3(n≥2)．∵b1＝a1＋3＝4，∴＋1＝3，∴是首项为3，公比为3的等比数列．∴＋1＝3·3n－1＝3n，∴bn＝6n－2n(n∈N*)．(3)解：由(2)得bn＋2n＝6n，由题意得n∈N*均有an＋1＝＋＋＋…＋，∴an＝＋＋＋…＋(n≥2)，∴an＋1－an＝＝2(n≥2)，∴cn＝2·6n(n≥2)．又a2＝＝3，∴c1＝3(b1＋2)＝3×6＝18，∴cn＝∴c1＋c2＋c3＋…＋c2014＝18＋2(62＋63＋64＋…＋62014)＝6＋2(6＋62＋63＋…＋62014)＝(62015＋9)．滚动练习(八)1.已知集合P＝{x︱x2≤1，x∈R}，M＝{a}．若P∪M＝P，-10-\n则实数a的取值范围是________．答案：[－1，1]2.某市教师基本功大赛七位评委为某选手打出分数的茎叶图如图所示，去掉一个最高分和一个最低分后的5个数据的标准差为________．(茎表示十位数字，叶表示个位数字)7983456793答案：3.在等比数列{an}中，a1＝，a4＝－4，则|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝________．答案：2n－1－解析：数列{an}的公比为－2，数列{|an|}是首项为，公比为2的等比数列．4.计算：sin10°cos20°sin30°cos40°＝________．答案：解析：sin10°cos20°sin30°cos40°＝＝＝.5.已知D是△ABC边BC的中点，AB＝2，AC＝3，则·＝________．答案：解析：·＝(＋)·(－)＝(2－2)＝(32－22)＝.6.在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0，1)的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为________．答案：10解析：AC＝2，BD＝2，S四边形ABCD＝×2×2＝10.7.已知f(x)＝则不等式f(x2－x＋1)<12的解集是____________．答案：(－1，2)8.若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx为奇函数，其图象的一条切线方程为y＝3x－4，则b的值为________．答案：－3解析：因为f(x)是奇函数，所以a＝0，f(x)＝x3＋bx.设f(x)在点(x0，y0)处的切线为y＝3x－4，得解得b＝－3.9.在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－4x＝0.若直线y＝k(x＋1)上存在一点P，使过P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的取值范围是____________．答案：[－2，2]10.设函数y＝f(x)满足对任意的x∈R，f(x)≥0且f2(x＋1)＋f2(x)＝9.已知当x∈[0-10-\n，1)时，有f(x)＝2－|4x－2|，则f＝____________．答案：解析：f2(x＋1)＋f2(x)＝9，∴f2(x＋2)＋f2(x＋1)＝9，故f2(x＋2)＝f2(x)．又f(x)≥0，∴f(x＋2)＝f(x)．f＝f＝f.由f2(x＋1)＋f2(x)＝9，得f2＋f2＝9，f＝2，f2＝5，f＝.11.设数列{an}满足：a3＝8，(an＋1－an－2)(2an＋1－an)＝0(n∈N*)，则a1的值大于20的概率为__________．答案：解析：(an＋1－an－2)(2an＋1－an)＝0，得①an＋1－an－2＝0，又a3＝8，故an＝2n＋2；②2an＋1－an＝0，则an＋1＝an，若{an}为等比数列，则由a3＝8得an＝32；若{an}不为等比数列，则a1＝0；③a1＝－4.综上，a1∈{4，－4，0，32}，则a1的值大于20的概率为.12.设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数)的导函数为f′(x)．对任意x∈R，不等式f(x)≥f′(x)恒成立，则的最大值为__________．答案：2－2解析：∵f(x)＝ax2＋bx＋c，∴f′(x)＝2ax＋b.∵对任意x∈R，不等式f(x)≥f′(x)恒成立，∴ax2＋bx＋c≥2ax＋b恒成立，即ax2＋(b－2a)x＋(c－b)≥0恒成立，故Δ＝(b－2a)2－4a(c－b)＝b2＋4a2－4ac≤0，且a＞0，即b2≤4ac－4a2，故≤＝＝＝≤＝2－2.13.在△ABC中，内角∠A、∠B、∠C所对边长分别为a、b、c，·＝8，∠BAC＝θ，a＝4.(1)求bc的最大值及θ的取值范围；(2)求函数f(θ)＝2sin2＋2cos2θ－的最值．解：(1)bc·cosθ＝8，b2＋c2－2bccosθ＝42，即b2＋c2＝32.又b2＋c2≥2bc，所以bc≤16，即bc的最大值为16.-10-\n即≤16，所以cosθ≥.又0＜θ＜π，所以0＜θ≤.(2)f(θ)＝·＋1＋cos2θ－＝sin2θ＋cos2θ＋1＝2sin＋1.因为0＜θ≤，所以＜2θ＋≤，故≤sin≤1.当2θ＋＝，即θ＝时，f(θ)min＝2×＋1＝2；当2θ＋＝，即θ＝时，f(θ)max＝2×1＋1＝3.14.某生产旅游纪念品的工厂，拟在2022年度进行系列促销活动．经市场调查和测算，该纪念品的年销售量x万件与年促销费用t万元之间满足3－x与t＋1成反比例．若不搞促销活动，纪念品的年销售量只有1万件．已知工厂2022年生产纪念品的固定投资为3万元，每生产1万件纪念品另外需要投资32万元．当工厂把每件纪念品的售价定为“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占促销费一半”之和时，则当年的产量和销量相等．(利润＝收入－生产成本－促销费用)(1)求出x与t所满足的关系式；(2)请把该工厂2022年的年利润y万元表示成促销费用t万元的函数；(3)试问当2022年的促销费投入多少万元时，该工厂的年利润最大？解：(1)设比例系数为k(k≠0)，由题知3－x＝.又t＝0时，x＝1，所以3－1＝，所以k＝2.所以x与t的关系是x＝3－(t≥0)．(2)依据题意可知工厂生产x万件纪念品的生产成本为(3＋32x)万元，促销费用为t万元，则每件纪念品的定价为(·150%＋)元/件．于是，y＝x·－(3＋32x)－t，进一步化简，得y＝－－(t≥0)．因此，工厂2022年的年利润y＝－－(t≥0)．(3)由(2)知，y＝－－(t≥0)＝50－≤50－2＝42，当且仅当＝，即t＝7时，取等号．所以，当2022年的促销费用投入7万元时，工厂的年利润最大，最大利润为42万元．15.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A、B，离心率为，右准线为l：x＝4.M为椭圆上不同于A、B的一点，直线AM与直线l交于点P.-10-\n(1)求椭圆C的方程；(2)若＝，判断点B是否在以PM为直径的圆上，并说明理由；(3)连结PB并延长交椭圆C于点N.若直线MN垂直于x轴，求点M的坐标．解：(1)由解得所以b2＝3.所以椭圆方程为＋＝1.(2)因为＝，所以xM＝1，代入椭圆得yM＝，即M.所以直线AM的方程为y＝(x＋2)，解得P(4，3)．所以＝，＝(2，3)．因为·＝≠0，所以点B不在以PM为直径的圆上．(3)因为MN垂直于x轴，由椭圆对称性可设M(x1，y1)，N(x1，－y1)．直线AM的方程为y＝(x＋2)，所以yP＝，直线BN的方程为y＝(x－2)，所以yP＝，所以＝.因为y1≠0，所以＝－，解得x1＝1.所以点M的坐标为或.16.已知函数f(x)＝ex，a、b∈R，且a＞0.(1)若a＝2，b＝1，求函数f(x)的极值；(2)设g(x)＝a(x－1)ex－f(x)．①当a＝1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)≥1成立，求b的最大值；②设g′(x)为g(x)的导函数．若存在x＞1，使g(x)＋g′(x)＝0成立，求的取值范围．解：(1)当a＝2，b＝1时，f(x)＝ex，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．-10-\n所以f′(x)＝ex.令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝，列表如下：x(－∞，－1)－1(－1，0)(，＋∞)f′(x)＋0－－0＋f(x)极大值极小值由表知f(x)的极大值是f(－1)＝e－1，f(x)的极小值是f＝4.(2)①(解法1)因为g(x)＝(ax－a)ex－f(x)＝(ax－－2a)ex，当a＝1时，g(x)＝ex.因为g(x)≥1在x∈(0，＋∞)上恒成立，所以b≤x2－2x－在x∈(0，＋∞)上恒成立．记h(x)＝x2－2x－(x＞0)，则h′(x)＝.当0＜x＜1时，h′(x)＜0，h(x)在(0，1)上是减函数；当x＞1时，h′(x)＞0，h(x)在(1，＋∞)上是增函数．所以h(x)min＝h(1)＝－1－e－1.所以b的最大值为－1－e－1.(解法2)因为g(x)＝(ax－a)ex－f(x)＝(ax－－2a)ex，当a＝1时，g(x)＝ex.因为g(x)≥1在x∈(0，＋∞)上恒成立，所以g(2)＝－e2＞0，因此b＜0.g′(x)＝ex＋ex＝.因为b＜0，所以当0＜x＜1时，g′(x)＜0，g(x)在(0，1)上是减函数；当x＞1时，g′(x)＞0，g(x)在(1，＋∞)上是增函数．所以g(x)min＝g(1)＝(－1－b)e－1，因为g(x)≥1在x∈(0，＋∞)上恒成立，所以(－1－b)e－1≥1，解得b≤－1－e－1，因此b的最大值为－1－e－1.②(解法1)因为g(x)＝ex，所以g′(x)＝ex.由g(x)＋g′(x)＝0，得ex＋ex＝0，整理得2ax3－3ax2－2bx＋b＝0.存在x＞1，使g(x)＋g′(x)＝0成立，等价于存在x＞1，使2ax3－3ax2－2bx＋b＝0成立．-10-\n因为a＞0，所以＝.设u(x)＝(x＞1)，则u′(x)＝.因为x＞1，u′(x)＞0恒成立，所以u(x)在(1，＋∞)是增函数，所以u(x)＞u(1)＝－1，所以＞－1，即的取值范围为(－1，＋∞)．(解法2)因为g(x)＝ex，所以g′(x)＝ex.由g(x)＋g′(x)＝0，得ex＋ex＝0，整理得2ax3－3ax2－2bx＋b＝0.存在x＞1，使g(x)＋g′(x)＝0成立，等价于存在x＞1，使2ax3－3ax2－2bx＋b＝0成立．设u(x)＝2ax3－3ax2－2bx＋b(x≥1)，u′(x)＝6ax2－6ax－2b＝6ax(x－1)－2b≥－2b，当b≤0时，u′(x)≥0，此时u(x)在[1，＋∞)上单调递增，因此u(x)≥u(1)＝－a－b.因为存在x＞1，2ax3－3ax2－2bx＋b＝0成立，所以只要－a－b＜0即可，此时－1＜≤0，当b＞0时，令x0＝＞＝＞1，得u(x0)＝b＞0，又u(1)＝－a－b＜0，于是u(x)＝0在(1，x0)上必有零点，即存在x＞1，2ax3－3ax2－2bx＋b＝0成立，此时＞0，综上，的取值范围为(－1，＋∞)．-10-
