专题八 高考数学题型训练第22讲 高考题中的填空题解法江苏数学高考试题中填空题共14题，每小题5分，共计70分．填空题在整个试卷中占有相当大的比重，填空题的得分不仅对做整个试卷影响很大，而且对学生整个高考都起非常重要的作用．填空题是一种客观性试题，它只要求写出结果(简练、概括、准确)，不要求写出解答过程．高考数学填空题涉及考点少，目标比较集中，以基础题和中档题为主，只有一两道题综合性较强，难度较大；填空题主要还是考查数学的基础知识和基本方法．目前高考填空题，基本上都是计算型和概念判断型的试题，求解填空题的基本策略是在“准”、“巧”、“快”上下功夫，合情推理、优化思路、少算多思，充分利用各种数学思想方法是准确解答填空题的基本要求．解填空题的常用方法：(1)直接法：指直接从题目的条件或已知的公理、定理出发，通过严密推理或准确计算(注意运算技巧)而得出正确的结果．(2)特例法：题中的条件提供的信息暗示结论是一个定值或结论是唯一的，这样可以把题中变化的量(图形、式子、位置等)用特殊的图形或值代替，而得出正确的结果．(3)数形结合法：借助于图形进行直观的分析，辅之简单的计算而得出正确的结果．此外在解填空题的过程中，定义法、等价转化法、逆向思维法等也是我们必须掌握的解题方法．1.设复数z满足(3＋4i)z＋5＝0(i是虚数单位)，则复数z的模为________．答案：1解析：由(3＋4i)z＋5＝0，得(3＋4i)z＝－5，|3＋4i|·|z|＝5，5|z|＝5，|z|＝1.2.在等差数列{an}中，前n项和为Sn，若a7＝5，S7＝21，那么S10＝________．答案：403.已知正实数x、y满足xy＋2x＋y＝4，则x＋y的最小值为________.答案：2－34.设a、b为不重合的两条直线，α、β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若a∥α且b∥α，则a∥b；②若a⊥α且b⊥α，则a∥b；③若a∥α且α∥β，则a∥β；④若a⊥α且a⊥β，则α∥β.上面命题中，真命题是________．(填序号)答案：②④解析：取一个正方体，将其中的棱、面分别看成是直线a、b，平面α、β.题型一通过直接计算得到结果例1已知数列{an}的通项公式为an＝，若{an}前n项和为24,则n＝________．答案：624解析：an＝＝－，{an}前n项和为Sn＝－1，∴-6-\n－1＝24，n＝624.本题通过直接对通项变形、求和，从而求出结果．已知函数y＝sinωx(ω＞0)在区间上为增函数，且图象关于点(3π，0)对称，则ω的取值集合为________．答案：解析：由题意知， 即其中k∈Z，则k＝或k＝或k＝1.题型二利用图象分析得到结果例2已知不等式logax≥x2(a>0，a≠1)对x∈恒成立，则实数a的取值范围是________．答案：≤a＜1解析：在同一直角坐标系中作出函数y＝logax，y＝x2的图象，则loga≥，故≤a＜1.在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1、C2、C3依次为y＝2log2x、y＝log2x、y＝klog2x(k为常数，0＜k＜1)．曲线C1上的点A在第一象限，过A分别作x轴、y轴的平行线交曲线C2分别于点B、D，过点B作y轴的平行线交曲线C3于点C.若四边形ABCD为矩形，则k的值是________．答案：解析：设A(t，2log2t)(t＞1)，则B(t2，2log2t)，D(t，log2t)，C(t2，2klog2t)，则有log2t＝2klog2t，由于log2t＞0，故2k＝1，即k＝.题型三通过转化将问题解决例3已知n∈N*且n≥2，则3n＋4n与5n的大小关系是________．答案：3n＋4n≤5n解析：构造函数f(n)＝＝＋，f(n＋1)－f(n)＜0，故函数f(n)在n≥2时单调减，又f(2)＝1，所以3n＋4n≤5n(当且仅当n＝2时取等号)．数列{an}是等差数列，数列{bn}满足bn＝anan＋1an＋2(n∈N*)，设Sn为{bn}的前n项和．若a12＝a5＞0，则当Sn取得最大值时n的值是________．答案：16解析：设{an}的公差为d，由a12＝a5＞0，得a1＝－d，d＜0，所以an＝d，从而可知1≤n≤16时，an＞0,n≥17时，an＜0.从而b1＞b2＞…＞b14＞0＞b17＞b18＞…，b15＝a15a16a17＜0，b16＝a16a17a18＞0，-6-\n故S14＞S13＞…＞S1，S14＞S15，S15＜S16.因为a15＝－d＞0，a18＝d＜0，所以a15＋a18＝－d＋d＝d＜0，所以b15＋b16＝a16a17(a15＋a18)＞0，所以S16＞S14，故Sn中S16最大．题型四通过特殊化法将问题解决例4三棱锥的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别为、、，则此三棱锥的外接球的体积为________．答案：π解析：将此三棱锥看成是边长分别为1、、的长方体的部分，故其外接球的直径即为长方体的体对角线，则外接球的体积为π.过圆x2＋y2＝9内一点P(1，2)作两条相互垂直的弦AC、BD，当AC＝BD时，四边形ABCD的面积为________．答案：13解析：四边形ABCD的面积为S＝AC·BD＝2·，其中d1、d2分别为圆心到AC、BD的距离．又AC＝BD，所以d1＝d2.又d＋d＝OP2＝5，则S＝13.1.(2022·湖北卷)i为虚数单位，2＝________．答案：－1解析：因为2＝＝＝－1，2.(2022·辽宁卷)在△ABC中，内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且asinBcosC＋csinBcosA＝b，且a>b，则∠B＝________．答案：解析：由正弦定理得sinAsinBcosC＋sinCsinBcosA＝sinB，sinB>0，∴sinAcosC＋cosAsinC＝，sin(A＋C)＝，sinB＝.又a>b，∴B为锐角，B＝.3.(2022·江西卷)等比数列x，3x＋3，6x＋6，…的第四项为________．答案：－24解析：(3x＋3)2＝x(6x＋6)，x＝－3或x＝－1(舍)，故等比数列首项为－3，公比为2，第四项为－24.4.若函数f(x)＝x＋(x＞2)在x＝a处有最小值，则实数a＝________．答案：3解析：本题考查利用均值不等式求最值，考查学生转化与化归能力、运算求解能力．∵x＞2，∴f(x)＝x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝，即x＝3时取等号，∴a＝3，fmin(x)＝4.5.在平面直角坐标系xOy中，圆C：x2＋y2-6-\n＝4分别交x轴正半轴及y轴正半轴于M、N两点，点P为圆C上任意一点，则·的最大值为________．答案：4＋4解析：M(2，0)，N(0，2)，设P(x，y)，·2＝x2＋y2－2x－2y＝4－2(x＋y)，又≥，所以|x＋y|≤2，故最大值为4＋4.6.设函数g(x)＝x2－2(x∈R)，f(x)＝则f(x)的值域是____．答案：∪(2，＋∞)解析：由题意知f(x)＝＝＝所以当x∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)时，f(x)的值域为(2，＋∞)；当x∈[－1，2]时，f(x)的值域为.综上，f(x)的值域为∪(2，＋∞)．7.(2022·湖北卷)直线l1：y＝x＋a和l2：y＝x＋b将单位圆C：x2＋y2＝1分成长度相等的四段弧，则a2＋b2＝________．答案：2解析：由题意，得直线l1：y＝x＋a和l2：y＝x＋b平行，又要使直线l1：y＝x＋a和l2：y＝x＋b将单位圆C：x2＋y2＝1分成长度相等的四段弧，则由图形可知，直线l1与l2截圆C的劣弧所对的圆心角为90°，则圆心距为，则＝，＝，解得a＝±1，b＝±1，当a＝b时，l1与l2重合，因此a≠b，则a＝1，b＝－1，或a＝－1，b＝1，所以a2＋b2＝2.8.在矩形ABCD中，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足＝，则·的取值范围是________．答案：[1，4]解析：以向量AB所在直线为x轴，以向量AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，因为AB＝2，AD＝1，所以A(0，0)，B(2，0)，C(2，1)，D(0，1)．设M(2，b)，-6-\nN(x，1)(0≤x≤2)，根据题意，b＝，所以＝(x，1)，＝，则·＝2x＋＝x＋1.又0≤x≤2，∴·∈[1，4]．9.已知F是抛物线y2＝x的焦点，A、B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为________．答案：解析：本题考查抛物线定义的应用，考查学生的等价转换能力，利用转化思想得到|AM|＋|BN|＝|AF|＋|BF|是解题的关键．利用梯形的中位线的性质进行过渡求解中点C的横坐标．由抛物线的定义知|AM|＋|BN|＝|AF|＋|BF|＝3，则|CD|＝，所以中点C的横坐标为－＝.10.设m、n∈R，若直线l：mx＋ny－1＝0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且l与圆x2＋y2＝4相交所得弦的长为2，O为坐标原点，则△AOB面积的最小值为________．答案：3解析：直线与两坐标轴的交点坐标为B，A，直线与圆相交所得的弦长为2，圆心到直线的距离d满足d2＝r2－12＝4－1＝3，所以d＝，即圆心到直线的距离d＝＝，所以m2＋n2＝.△AOB的面积S＝·＝，又S＝≥＝3，当且仅当|m|＝|n|＝时取等号，所以S的最小值为3.(本题模拟高考评分标准，满分5分)如图：梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝6，AD＝DC＝2，若·＝－12，则·＝________．答案：0解析：以、为基底，则＝＋，＝－，则·＝2－·－2＝4－8cos∠BAD－12＝－12，所以cos∠BAD＝，则∠BAD＝60°，则·＝·(－)＝-6-\n·＝2－·＝4－4＝0.1.设{an}是等差数列，从{a1，a2，…，a20}中任取3个不同的数，使这3个数仍成等差数列，则这样不同的等差数列的个数最多有__________个．答案：180解析：本题要进行分类讨论．设原数列公差为d，则抽出的三个数公差为±d的有36个；公差为±2d的有32个；公差为±3d的有28个，…，公差为±9d的有4个，所以共计180个．2.如图放置的边长为1的正三角形PAB沿x轴滚动，设顶点A(x，y)的纵坐标与横坐标的函数关系式是y＝f(x)，则f(x)在区间[－2，1]上的解析式是____________．答案：y＝3.关于函数y＝f(x)，有下列命题：①若a∈[－2，2]，则函数f(x)＝的定义域为R；②若f(x)＝log(x2－3x＋2)，则f(x)的单调增区间为；③函数f(x)＝loga(a＞0且a≠1)的值域为R，则实数a的取值范围是0＜a≤4且a≠1；④定义在R上的函数f(x)，且对任意的x∈R都有f(－x)＝－f(x)，f(1＋x)＝f(1－x)，则4是y＝f(x)的一个周期．其中真命题是__________．(填序号)答案：①③④-6-
