第24讲 高考题中的解答题解法江苏高考数学试卷由填空题和解答题两部分构成，其中填空题14小题，每小题5分，总分70分，文科考生只要做解答题中的15～20共计6题，总分90分，试卷总分160分．解答题就是给出一定的题设条件(即已知)，然后提出一定的要求(即结论)．它要求考生能根据题设，运用已知的一切条件(含公理、定理、性质、定义、公式等)，通过推理和计算最终达到要求的目标．在卷面上要求考生必须要将整个过程有条理、合乎逻辑、完整地陈述出来(包含添加的辅助线、引用的结论等)．试卷中前160分的6道解答题可分为中低档题(前3题)，中高档题(后3题)，其中三角、向量与解三角形，立体几何，解析几何可归结为前一类，应用题，数列题，函数、方程及不等式类题可归结为后一类问题，当然这也不是绝对的，应用题和解析几何题也是可以对调位置的，这要看整个试卷的知识点分布，纵观最近几年的江苏高考题，我们感觉到8个“C”级考点一定会在试卷中有所体现．试卷采用设点把关，注重层次性，即使是最后两题即所谓压轴题也不是高不可攀；试卷注重对基础知识的考查，既全面又突出重点；试卷注重对数学思想方法的考查，对学生的数学的学习能力、综合应用能力都有充分的要求．在解答题的应试过程中，考生要根据自己的实际情况，选择适合自己的应试策略．1.已知O为坐标原点，＝(2sin2x，1)，＝(1，－2sinxcosx＋1)，f(x)＝·＋m.(1)求y＝f(x)的单调递增区间；(2)若f(x)的定义域为，值域为[2，5]，求实数m的值．解：(1)f(x)＝2sin2x－2sinxcosx＋1＋m＝1－cos2x－sin2x＋1＋m＝－2sin＋2＋m.由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，得y＝f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．(2)当≤x≤π时，≤2x＋≤，∴－1≤sin≤，∴1＋m≤f(x)≤4＋m，∴解得m＝1.2.在四棱锥PABCD中，AB∥DC，AB⊥平面PAD,PD＝AD，AB＝2DC，E是PB的中点．求证：(1)CE∥平面PAD；(2)平面PBC⊥平面PAB.证明：(1)(证法1)取PA的中点F，连结EF、DF.-14-\n因为E是PB的中点，所以EF∥AB，且EF＝AB.因为AB∥CD，AB＝2DC，所以EF∥CD，EF＝CD，于是四边形DCEF是平行四边形，从而CE∥DF.而CE平面PAD，DF平面PAD，故CE∥平面PAD.(证法2)取AB的中点M，连结EM、CM.因为E是PB的中点，所以EM∥PA.因为AB∥CD，AB＝2DC，所以CM∥AD.因为EM平面PAD，PA平面PAD，所以EM∥平面PAD.同理，CM∥平面PAD.因为EM∩CM＝M，EM、CM平面CEM，所以平面CEM∥平面PAD.而CE平面PAD，故CE∥平面PAD.(2)(接(1)中证法1)因为PD＝AD，且F是PA的中点，所以DF⊥PA.因为AB⊥平面PAD，DF平面PAD，所以DF⊥AB.因为CE∥DF，所以CE⊥PA，CE⊥AB.因为PA、AB平面PAB，PA∩AB＝A，所以CE⊥平面PAB.因为CE平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAB.3.二次函数f(x)＝ax2＋bx(a、b∈R)满足条件：①f(0)＝f(1)；②f(x)的最小值为－.(1)求函数f(x)的解析式；(2)设数列{an}的前n项积为Tn,且Tn＝，求数列{an}的通项公式.解：(1)由题知解得故f(x)＝x2－x.(2)Tn＝a1a2…an＝，Tn－1＝a1a2…an－1＝(n≥2)，∴an＝＝(n≥2)．又a1＝T1＝1满足上式，所以an＝(n∈N*)．4.如图，在半径为、圆心角为60°的扇形的弧上任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在OA上，点N、M在OB上，设矩形PNMQ的面积为y.(1)按下列要求写出函数的关系式：-14-\n①设PN＝x，将y表示成x的函数关系式；②设∠POB＝θ，将y表示成θ的函数关系式；(2)请你选用(1)中的一个函数关系式，求出y的最大值．解：(1)①∵ON＝，OM＝x，∴MN＝－x，∴y＝x，x∈.②∵PN＝sinθ，ON＝cosθ，OM＝×sinθ＝sinθ，∴MN＝ON－OM＝cosθ－sinθ，∴y＝sinθ(cosθ－sinθ)＝3sinθcosθ－sin2θ，θ∈.(2)选择y＝3sinθcosθ－sin2θ＝sin－.∵θ∈，∴2θ＋∈，∴2θ＋＝即θ＝时，ymax＝.题型一三角与向量综合题型解法例1已知向量m＝(sinx，－1)，n＝，函数f(x)＝m2＋m·n－2.(1)求f(x)的最大值，并求取得最大值时x的集合；(2)已知a、b、c分别为△ABC内角A、B、C的对边，且a、b、c成等比数列，且f(B)＝1，求＋的值．解：(1)f(x)＝(m＋n)·m－2＝sin2x＋sinxcosx＋－2＝＋sin2x－＝sin2x－cos2x＝sin.故f(x)max＝1，此时2x－＝2kπ＋，k∈Z，得x＝kπ＋，k∈Z，∴f(x)取最大值时x的取值集合为{x|x＝kπ＋，k∈Z}．(2)f(B)＝sin＝1，∵0＜B＜，∴－＜2B－＜，-14-\n∴2B－＝，B＝.由b2＝ac及正弦定理得sin2B＝sinAsinC，于是＋＝＋＝＝＝＝.在△ABC中，已知·＝9，·＝－16.求：(1)AB的值；(2)的值．解：(1)(解法1)因为·＝9，·＝－16，所以·－·＝9＋16＝25，即(＋)＝25，亦即2＝25，故AB＝5.(解法2)设A、B、C的对边依次为a、b、c，则由条件得bccosA＝9，accosB＝16.两式相加得c(bcosA＋acosB)＝9＋16＝25，即c2＝25，故AB＝c＝5.(解法3)设A、B、C的对边依次为a、b、c，则由条件得bccosA＝9，accosB＝16.由余弦定理得(b2＋c2－a2)＝9，(c2＋a2－b2)＝16，两式相加得c2＝25，故AB＝c＝5.(2)＝由正弦定理得＝＝＝＝.在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且满足cosA＝，·＝2.(1)求△ABC的面积；(2)若b＋c＝5，求a的值．解：(1)因为cosA＝，0＜A＜π，所以sinA＝.又·＝bccosA＝2，所以bc＝6，所以S△ABC＝bcsinA＝×6×＝2.(2)因为b＋c＝5，bc＝6，所以或由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝9，所以a＝3.题型二解析几何题型解法例2如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点F是椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点，A、B、C分别为椭圆E的右、下、上顶点，满足·＝5，椭圆的离心率为.(1)求椭圆E的方程；(2)若P为线段FC(包括端点)上任意一点，当·取得最小值时，求点P的坐标；-14-\n(3)设点M为线段BC(包括端点)上的一个动点，射线MF交椭圆于点N，若＝λ，求实数λ的取值范围．解：(1)设F(－c，0)，∵A(a，0)，B(0，－b)，C(0，b)，∴＝(c，b)，＝(a，b)．∵·＝5，∴ac＋b2＝5.①∵＝，② a2＝b2＋c2，③由①②③，得a＝2，c＝1，b＝.∴椭圆E的方程为＋＝1.(2)线段FC的方程为y＝x＋(－1≤x≤0)，设P(x，y)，则·＝x(x－2)＋y(y＋)＝x(x－2)＋3(x＋1)(x＋2)＝4＋.当·取得最小值时，x＝－，则点P的坐标为.(3)设M(0，m)，由＝λ，得N(－1－λ，－λm)．代入椭圆E的方程，得3(－1－λ)2＋4(－λm)2－12＝0.即4(λm)2＝12－3(1＋λ)2.∵m∈[－，]，∴0≤4(λm)2≤12λ2.则0≤12－3(1＋λ)2≤12λ2.解得≤λ≤1，即实数λ的取值范围为.已知椭圆＋＝1经过点P，离心率是，动点M(2，t)(t>0)．(1)求椭圆的标准方程；(2)求以OM为直径且被直线3x－4y－5＝0截得的弦长为2的圆的方程；(3)设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，证明线段ON长是定值，并求出定值．解：(1)＋y2＝1.(2)(x－1)2＋(y－2)2＝5.(3)(解法1)设N(x0，y0)，点N在以OM为直径的圆上，所以x0(x0－2)＋y0(y0－t)＝0，即x＋y＝2x0＋ty0.又N在过F垂直于OM的直线上，所以y0＝－(x0－1)，即2x0＋ty0＝2，所以ON＝.(解法2)用平面几何知识：ON2＝OK·OM，其中K为FN与OM的交点．计算K.证得ON2＝2.-14-\n题型三数列题型解法例3已知各项均为正数的等比数列{an}的公比为q，且0<q<.(1)在数列{an}中是否存在三项，使其成等差数列？说明理由；(2)若a1＝1，且对任意正整数k，ak－(ak＋1＋ak＋2)仍是该数列中的某一项．①求公比q；②若bn＝－logan＋1(＋1)，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，Tn＝S1＋S2＋…＋Sn，试用S2014表示T2014.解：(1)由条件知an＝a1qn－1，0<q<，a1>0，所以数列{an}是递减数列，若有ak、am、an(k<m<n)成等差数列，则中项不可能是ak(最大)，也不可能是an(最小)．若2am＝ak＋an2qm－k＝1＋qn－k，(*)由2qm－k≤2q<1，1＋qn－k>1，知(*)式不成立，故ak、am、an不可能成等差数列．(2)①(解法1)ak－ak＋1－ak＋2＝a1qk－1(1－q－q2)＝a1qk－1，由－＋∈知ak－ak＋1－ak＋2<ak<ak－1<…，且ak－ak＋1－ak＋2>ak＋2>ak＋3>…，所以ak－ak＋1－ak＋2＝ak＋1，即q2＋2q－1＝0，所以q＝－1.(解法2)设ak－ak＋1－ak＋2＝am，则1－q－q2＝qm－k，由1－q－q2∈知m－k＝1，即m＝k＋1，以下同解法1.②bn＝.(解法1)Sn＝1＋＋＋…＋，Tn＝1＋＋＋…＋(1＋＋＋…＋)＝n＋＋＋…＋＝n－＝nSn－[＋＋＋…＋]＝nSn－＝nSn－＝nSn－n＋Sn＝(n＋1)Sn－n，所以T2014＝2015S2014－2014.(解法2)Sn＋1＝1＋＋＋…＋＋＝Sn＋，所以(n＋1)Sn＋1－(n＋1)Sn＝1，所以(n＋1)Sn＋1－nSn＝Sn＋1.2S2－S1＝S1＋1，3S3－2S2＝S2＋1，… …(n＋1)Sn＋1－nSn＝Sn＋1，累加得(n＋1)Sn＋1－S1＝Tn＋n，所以Tn＝(n＋1)Sn＋1－1－n＝(n＋1)(Sn＋bn＋1)－1－n＝(n＋1)－1－n＝(n＋1)Sn－n，所以T2014＝2015S2014－2014.-14-\n已知数列{an}的前n项和为Sn，常数λ>0，且λa1an＝S1＋Sn对一切正整数n都成立．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设a1>0，λ＝100，当n为何值时，数列的前n项和最大．解：(1)取n＝1，得λa＝2S1＝2a1，a1(λa1－2)＝0.若a1＝0，则S1＝0，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝0，所以an＝0.若a1≠0，则a1＝，当n≥2时，2an＝＋Sn，2an－1＝＋Sn－1，上述两个式子相减得an＝2an－1，所以数列{an}是等比数列．综上，若a1＝0，则an＝0；若a1≠0，则an＝.(2)当a1>0，且λ＝100时，令bn＝lg，所以bn＝2－nlg2，所以{bn}是单调递减的等差数列(公差为－lg2)，则b1>b2>b3>…>b6＝lg＝lg>lg1＝0.当n≥7时，bn≤b7＝lg＝lg<lg1＝0.故当n为6时，数列的前6项的和最大．题型四函数题型解法例4函数f(x)＝lnx－(x>0，a∈R)．(1)试求f(x)的单调区间；(2)当a>0时，求证：函数f(x)的存在唯一零点的充要条件是a＝1；(3)求证：不等式－<对于x∈(1，2)恒成立．(1)解：f′(x)＝－＝(x＞0)．当a≤0时，f′(x)＞0，f(x)在(0，＋∞)上单调增；当a＞0时，x∈(0，a)，f′(x)＜0，f(x)在(0，a)上单调减，x∈(a，＋∞)，f′(x)＞0，f(x)在(a，＋∞)上单调增．综上，当a≤0时f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；当a＞0时，f(x)的单调递增区间为(a，＋∞)，单调递减区间为(0，a)．(2)证明：充分性：a＝1时，由(1)知f(x)在x＝1处有极小值也是最小值，即fmin(x)＝f(1)＝0.而f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，故f(x)在(0，＋∞)上有唯一的一个零点x＝1.必要性：f(x)＝0在(0，＋∞)上有唯一解，且a>0，由(1)知在x＝a处有极小值也是最小值f(a)，f(a)＝0，即lna－a＋1＝0.令g(a)＝lna－a＋1，g′(a)＝－1＝.当0＜a＜1时，g′(a)＞0，g(a)在(0，1)上单调递增；当a>1时，g′(a)＜0，g(a)在(1，＋∞)上单调递减．故gmax(a)＝g(1)＝0，g(a)＝0只有唯一解a＝1.则f(x)＝0在(0，＋∞)上有唯一解时必有a＝1.综上，在a>0时，f(x)＝0在(0，＋∞)上有唯一解的充要条件是a＝1.(3)证明：∵1<x<2，∴－＜(x＋1)lnx－2(x－1)＞0.令F(x)＝(x＋1)lnx－2(x－1)，-14-\n∴F′(x)＝lnx＋－2＝lnx＋－1.由(1)知当a＝1时，fmin(x)＝f(1)＝0，∴f(x)≥f(1)＝0，∴lnx＋－1≥0.∴F′(x)≥0，∴F(x)在(1，2)上单调递增，∴F(x)＞F(1)＝0，∴(x＋1)lnx－2(x－1)＞0，∴－＜(1＜x＜2)．已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝x2－bx(b为常数)．(1)函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线与函数g(x)的图象相切，求实数b的值；(2)设h(x)＝f(x)＋g(x)，若函数h(x)在定义域上存在单调减区间，求实数b的取值范围；(3)若b＞1，对于区间[1，2]内的任意两个不相等的实数x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|＞|g(x1)－g(x2)|成立，求b的取值范围．解：(1)因为f(x)＝lnx，所以f′(x)＝，因此f′(1)＝1，所以函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y＝x－1，由得x2－2(b＋1)x＋2＝0.由Δ＝4(b＋1)2－8＝0，得b＝－1±.(2)因为h(x)＝f(x)＋g(x)＝lnx＋x2－bx(x＞0)，所以h′(x)＝＋x－b＝.由题意知h′(x)＜0在(0，＋∞)上有解，因为x＞0，设u(x)＝x2－bx＋1，因为u(0)＝1＞0，则只要解得b＞2，所以b的取值范围是(2，＋∞)．(3)不妨设x1＞x2，因为函数f(x)＝lnx在区间[1，2]上是增函数，所以f(x1)＞f(x2)，函数g(x)图象的对称轴为x＝b，且b＞1.(ⅰ)当b≥2时，函数g(x)在区间[1，2]上是减函数，所以g(x1)＜g(x2)，所以|f(x1)－f(x2)|＞|g(x1)－g(x2)|等价于f(x1)－f(x2)＞g(x2)－g(x1)，即f(x1)＋g(x1)＞f(x2)＋g(x2)，等价于h(x)＝f(x)＋g(x)＝lnx＋x2－bx在区间[1，2]上是增函数，等价于h′(x)＝＋x－b≥0在区间[1，2]上恒成立，等价于b≤x＋在区间[1，2]上恒成立，所以b≤2.又b≥2，所以b＝2；(ⅱ)当1＜b＜2时，函数g(x)在区间[1，b]上是减函数，在[b，2]上为增函数．①当1≤x2＜x1≤b时，|f(x1)－f(x2)|＞|g(x1)－g(x2)|等价于f(x1)＋g(x1)＞f(x2)＋g(x2)，等价于h(x)＝f(x)＋g(x)＝lnx＋x2－bx在区间[1，b]上是增函数，-14-\n等价于h′(x)＝＋x－b≥0在区间[1，b]上恒成立，等价于b≤x＋在区间[1，b]上恒成立，所以b≤2.又1＜b＜2，所以1＜b＜2；②当b≤x2＜x1≤2时，|f(x1)－f(x2)|＞|g(x1)－g(x2)|等价于f(x1)－g(x1)＞f(x2)－g(x2)，等价于H(x)＝f(x)－g(x)＝lnx－x2＋bx在区间[b，2]上是增函数，等价于H′(x)＝－x＋b≥0在区间[b，2]上恒成立，等价于b≥x－在区间[b，2]上恒成立，所以b≥.故≤b＜2；③当1≤x2＜b＜x1≤2时，由g(x)图象的对称性可知，只要|f(x1)－f(x2)|＞|g(x1)－g(x2)|对于①②同时成立，那么对于③，则存在t1∈[1，b]，使|f(x1)－f(x2)|＞|f(t1)－f(x2)|＞|g(t1)－g(x2)|＝|g(x1)－g(x2)|恒成立；或存在t2∈[b，2]，使|f(x1)－f(x2)|＞|f(x1)－f(t2)|＞|g(x1)－g(t2)|＝|g(x1)－g(x2)|恒成立．因此，≤b＜2.综上，b的取值范围是≤b≤2.1.(2022·上海卷)已知α∈，sinα＝，求：(1)sin的值；(2)cos的值．解：(1)因为α∈，sinα＝，所以cosα＝－＝－.故sin＝sincosα＋cossinα＝×＋×＝－.(2)由(1)知sin2α＝2sinαcosα＝2××＝－，cos2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝，所以cos＝coscos2α＋sinsin2α＝×＋×＝－2.(2022·江苏卷)如图，在三棱锥PABC中，D、E、F分别为棱PC、AC、AB的中点．已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.求证：(1)直线PA∥平面DEF；(2)平面BDE⊥平面ABC.-14-\n证明：(1)因为D、E分别为棱PC、AC的中点，所以DE∥PA.因为PA平面DEF，DE平面DEF，所以直线PA∥平面DEF.(2)因为D、E、F分别为棱PC、AC、AB的中点，PA＝6，BC＝8，所以DE∥PA，DE＝PA＝3，EF＝BC＝4.因为DF＝5，故DF2＝DE2＋EF2，所以∠DEF＝90°，即DE⊥EF.又PA⊥AC，DE∥PA，所以DE⊥AC.因为AC∩EF＝E，AC平面ABC，EF平面ABC，所以DE⊥平面ABC.又DE平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABC.3.请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A、B、C、D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝xcm.(1)某广告商要求包装盒侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？(2)某广告商要求包装盒容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．解：设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)，由已知得a＝x，h＝＝(30－x)，0＜x＜30.(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1800，所以当x＝15时，S取得最大值．(2)V＝a2h＝2(－x3＋30x2)，V′＝6x(20－x)．由V′＝0得x＝0(舍)或x＝20.当x∈(0，20)时，V′＞0；当x∈(20，30)时，V′＜0.所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值．此时＝，即包装装盒的高与底面边长的比值为.4.(2022·重庆卷)设f(x)＝a(x－5)2＋6lnx，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0，6)．(1)确定a的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值．解：(1)因为f(x)＝a(x－5)2＋6lnx，故f′(x)＝2a(x－5)＋.令x＝1，得f(1)＝16a，f′(1)＝6－8a，所以曲线y＝f(x)在点(1，f-14-\n(1))处的切线方程为y－16a＝(6－8a)(x－1)，由点(0，6)在切线上可得6－16a＝8a－6，故a＝.(2)由(1)知，f(x)＝(x－5)2＋6lnx(x>0)，f′(x)＝x－5＋＝.令f′(x)＝0，解得x1＝2，x2＝3.当0<x<2或x>3时，f′(x)>0，故f(x)在(0，2)，(3，＋∞)上为增函数；当2<x<3时，f′(x)<0，故f(x)在(2，3)上为减函数．由此可知f(x)在x＝2处取得极大值f(2)＝＋6ln2，在x＝3处取得最小值f(3)＝2＋6ln3.(本题模拟高考评分标准，满分16分)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，焦距为2，一条准线方程为x＝2.P为椭圆C上一点，直线PF1交椭圆C于另一点Q.(1)求椭圆C的方程；(2)若点P的坐标为(0，b)，求过P、Q、F2三点的圆的方程；(3)若＝λ，且λ∈，求·的最大值．(1)解：由题意得解得c＝1，a2＝2，所以b2＝a2－c2＝1.所以椭圆C的方程为＋y2＝1.(2分)(2)因为P(0，1)，F1(－1，0)，所以PF1的方程为x－y＋1＝0.由解得或所以点Q的坐标为.(4分)(解法1)因为kPF1·kPF2＝－1，所以△PQF2为直角三角形．(6分)因为QF2的中点为，QF2＝，所以圆的方程为＋＝.(8分)(解法2)设过P、Q、F2三点的圆为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则解得-14-\n所以圆的方程为x2＋y2＋x＋y－＝0.(8分)(3)(解法1)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则＝(x1＋1，y1)，＝(－1－x2，－y2)．因为＝λ，所以即所以解得x2＝.(12分)所以·＝x1x2＋y1y2＝x2(－1－λ－λx2)－λy＝－x－(1＋λ)x2－λ＝－－(1＋λ)·－λ＝－.(14分)因为λ∈，所以λ＋≥2＝2，当且仅当λ＝，即λ＝1时，取等号．所以·≤，即·最大值为.(16分)(解法2)当PQ斜率不存在时，在＋y2＝1中，令x＝－1得y＝±.所以·＝－1×(－1)＋×＝，此时λ＝1∈.(10分)当PQ斜率存在时，设为k，则PQ的方程是y＝k(x＋1)，由得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0，韦达定理x1＋x2＝，x1x2＝.(12分)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋k2(x1＋1)(x2＋1)＝(k2＋1)x1x2＋k2(x1＋x2)＋k2＝(k2＋1)·＋k2·＋k2＝(14分)＝－<.·的最大值为，此时λ＝1∈.(16分)1.在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c.(1)若sin＝2cosA，求∠A的值；-14-\n(2)若cosA＝，b＝3c，求sinC的值．解：(1)由题意知sinAcos＋cosAsin＝2cosA，从而sinA＝cosA，且cosA≠0，所以tanA＝.因为0＜A＜π，所以∠A＝.(2)由cosA＝，b＝3c，及a2＝b2＋c2－2bccosA，得b2＝a2＋c2，所以△ABC是直角三角形，且B＝，所以sinC＝cosA＝.点评：本题主要考查三角函数的基本关系式、两角和的正弦公式、解三角形，考查运算求解能力，是C级要求，但属容易题．解题说理要准确、完整，过程要合理、严谨．2.如图所示的是自动通风设施．该设施的下部ABCD是等腰梯形，其中AB＝1m，高0.5m，CD＝2am.上部CmD是个半圆，固定点E为CD的中点．△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗(阴影部分均不通风)，MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和CD平行的伸缩横杆．(1)设MN与AB之间的距离为xm，试将三角通风窗EMN的通风面积S(m2)表示成关于x的函数S＝f(x)；(2)当MN与AB之间的距离为多少时，三角通风窗EMN的通风面积最大？求出这个最大面积．解：(1)①0≤x＜时，由平面几何知识，得＝.∴MN＝2(2a－1)x＋1，则S＝f(x)＝－(2a－1)x2＋(a－1)x＋；②＜x＜a＋时，则S＝f(x)＝·2·＝·.综上，S＝f(x)＝(2)①0≤x＜时，S＝f(x)＝－(2a－1)x2＋(a－1)x＋.∵a＞，∴－＝＜0，∴＜.(i)＜a≤1，当x＝0时，f(x)max＝f(0)＝.(ii)a＞1，当x＝时，-14-\nf(x)max＝f＝.②＜x＜a＋时，S＝f(x)＝·＝≤＝a2，等号成立＝a2－x＝(a＋1)∈，∴当x＝(a＋1)时，f(x)max＝.(i)＜a≤1时，∵－＝，∴＜a≤时，当x＝0，f(x)max＝f(0)＝；＜a≤1时，当x＝(a＋1)，f(x)max＝.(ii)a＞1时，a2－＝a2＞0，当x＝(a＋1)时，f(x)max＝.综上，＜a≤时，当x＝0时，f(x)max＝f(0)＝，即MN与AB之间的距离为0时，三角通风窗EMN的通风面积最大，最大面积为m2.a＞时，当x＝(a＋1)m时，f(x)max＝，即MN与AB之间的距离为(a＋1)m时，三角通风窗EMN的通风面积最大，最大面积为a2m2.-14-
