第23讲 高考题中的应用题解法江苏近几年高考数学试卷加大了对应用题的考查力度，新高考(08年开始)以来，每年除了在小题(填空)考查外，都还有一道大题，其中2022年、2022年、2022年、2022年都是放在试卷的第17题，2022年放在试卷的第18题，2022年放在试卷的第19题，考查的知识点都是B级考点的综合应用，试题的难度属于中档题．所谓数学应用题就是利用数学知识解决一些非数学领域中的问题．由于数学的高度抽象性，这就决定了数学应用的广泛性，而应用题的非数学背景的多样性，也就导致了解应用题往往是要在陌生的背景中去理解、分析所给出的有关问题，舍去与数学无关的非本质因素，通过抽象转化为相应的数学问题．江苏高考数学试题中，对数学应用于解决实际问题的考查已经趋于成熟，它主要考查函数、方程、三角、解三角形、导数、数列、基本不等式等基础知识，考查数学建模能力、抽象概括能力、空间想象能力、数学阅读能力和解决实际问题的能力．解数学应用题的一般思路实际上就是(1)读：理解文字(图形)表达的意图，分清条件和结论；(2)建：进行语言转化(文字语言及图形语言转化为数学语言)，利用数学知识建立相应的数学模型；(3)解：求解数学模型，得到数学结论；(4)答：把用数学方法所得到的结论还原为实际问题，要符合实际意义．高考数学应用题常见模型：(1)函数应用模型：涉及最值问题；(2)三角应用模型：涉及测量问题；(3)不等式(组)应用模型：涉及优化问题；(4)方程(组)及坐标系应用模型：涉及等量问题；(5)数列应用模型：涉及年代及预测问题；(6)立体几何模型：涉及空间图形问题；(7)概率、统计模型：涉及数据计算、预估等问题．1.在长为12cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC、CB的长，则该矩形面积大于20cm2的概率为________.答案：2.已知某生产厂家的年利润y(万元)与年产量x(万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为________万件．答案：93.如图，一块曲线部分是抛物线形的钢板，其底边长为2，高为1，将此钢板切割成等腰梯形的形状，记CD＝2x，梯形面积为S，则S的最大值是________．答案：解析：建立坐标系，B点坐标为(1，－1)，求出抛物线方程为x2＝－y，得D点坐标(x，-10-\n－x2)，等腰梯形的高为1－x2，S＝(1－x2)，0＜x＜1，求导可以得到x＝时S取最大值.4.某人于2022年7月1日去银行存款a元，存的是一年定期储蓄，2022年7月1日他将到期存款的本息一起取出，再加a元后，还存一年的定期储蓄，此后每年7月1日他都按照同样的方法，在银行取款和存款．设银行一年定期储蓄利率r不变，则到2022年7月1日，他将所有的存款和利息全部取出时，取出的钱数共有________元．答案：题型一通过建立坐标系，得到函数模型来解应用题例1如图所示的镀锌铁皮材料ABCD，上沿DC为圆弧，其圆心为A，圆半径为2m，AD⊥AB，BC⊥AB，且BC长1m．现要用这块材料裁一个矩形PEAF(其中P在圆弧DC上，E在线段AB上，F在线段AD上)作圆柱的侧面，若以PE为母线，问如何裁剪可使圆柱的体积最大？其最大值是多少？解：分别以AB、AD所在直线为x轴、y轴建立直角坐标系xOy，则圆弧DC的方程为x2＋y2＝4(0≤x≤，y＞0)，设P(x，y)(0＜x≤)，圆柱半径为r，体积为V，则PE＝，2πr＝AE＝x，则r＝，∴V＝πr2l＝π·＝x2，即V2＝x4(4－x2)．设t＝x2∈(0，3]，则u＝t2(4－t)，u′＝－3t2＋8t＝－3t，令u′＝0，得t＝.当＜t≤3时，u′＜0，u是减函数；当0＜t＜时，u′＞0，u是增函数，∴当t＝时，u有极大值，也是最大值，∴当x＝m时，V有最大值m3，此时y＝＝m.故裁一个矩形，两边长分别为m和m，能使圆柱的体积最大，其最大值为m3.某汽车厂有一条价值为a万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提高该生产线的生产能力，提高产品的增加值．经过市场调查，-10-\n产品的增加值y万元与技术改造投入的x万元之间满足：①y与(a－x)和x2的乘积成正比；②x∈，其中m是常数．若x＝时，y＝a3.(1)求产品增加值y关于x的表达式；(2)求产品增加值y的最大值及相应的x的值．解：(1)设y＝f(x)＝k(a－x)x2，因为当x＝时，y＝a3，所以k＝8，所以f(x)＝8(a－x)x2，x∈.(2)因为f′(x)＝－24x2＋16ax，令f′(x)＝0，则x＝0(舍)，x＝.①当≥，即m≥1时，当x∈时，f′(x)＞0，所以f(x)在上是增函数，当x∈时，f′(x)＜0，所以f(x)在上是减函数，所以ymax＝f＝a3；②当＜，即0＜m＜1时，当x∈时，f′(x)＞0，所以f(x)在上是增函数，所以ymax＝f＝a3.综上，当m≥1时，投入万元，最大增加值a3；当0＜m＜1时，投入万元，最大增加值a3.题型二通过建立不等式模型来解应用题例2某环线地铁按内、外环线同时运行，内、外环线的长均为30km(忽略内、外环线长度差异)．(1)当9列列车同时在内环线上运行时，要使内环线乘客最长候车时间为10min，求内环线列车的最小平均速度；(2)新调整的方案要求内环线列车平均速度为25km/h，外环线列车平均速度为30km/h.现内、外环线共有18列列车全部投入运行，要使内、外环线乘客的最长候车时间之差不超过1min，问：内、外环线应各投入几列列车运行？解：(1)设内环线列车运行的平均速度为vkm/h，由题意可知×60≤10v≥20.所以，要使内环线乘客最长候车时间为10min，列车的最小平均速度是20km/h.(2)设内环线投入x列列车运行，则外环线投入(18－x)列列车运行，内、外环线乘客最长候车时间分别为t1、t2min，则t1＝×60＝，t2＝×60＝.于是有|t1－t2|＝≤1≤x≤.又x∈N*，所以x＝10，所以当内环线投入10列，外环线投入8列列车运行时，-10-\n内、外环线乘客最长候车时间之差不超过1min.如图，摄影爱好者S在某公园A处，发现正前方B处有一立柱，测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为.设S的眼睛距地面的距离为m.(1)求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度；(2)立柱的顶端有一长2m的彩杆MN绕其中点O在S与立柱所在的平面内旋转．摄影者有一视角范围为的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由．解：(1)作SC垂直OB于C，则∠CSB＝30°，∠ASB＝60°.又SA＝，故在Rt△SAB中，可求得BA＝3，即摄影者到立柱的水平距离为3m.由SC＝3，∠CSO＝30°，在Rt△SCO中，可求得OC＝.因为BC＝SA＝，故OB＝2，即立柱高为2m.(2)连结SM、SN，设SN＝a，SM＝b.在△SON和△SOM中，＝－，得a2＋b2＝26.cos∠MSN＝＝≥＝＞.又∠MSN∈(0，π),则∠MSN＜.故摄影者可以将彩杆全部摄入画面．题型三通过建立三角模型来解应用题例3在路边安装路灯，灯柱AB与地面垂直，灯杆BC和灯柱AB所在平面与道路垂直，且∠ABC＝120°，路灯C采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知∠ACD＝60°，路宽AD＝24m．设灯柱高AB＝h(m)，∠ACB＝θ(30°≤θ≤45°)．(1)求灯柱的高h(用θ表示)；(2)若灯杆BC与灯柱AB所用材料相同，记此用料长度和为S，求S关于θ的函数表达式，并求出S的最小值．解：(1)∵∠ABC＝120°，∠ACB＝θ，∴∠BAC＝60°－θ.∵∠BAD＝90°，∴∠CAD＝30°＋θ.∵∠ACD＝60°，∴∠ADC＝90°－θ.在△ACD中，∵＝，∴AC＝＝16cosθ.-10-\n在△ABC中，∵＝，∴AB＝＝16sin2θ，即h＝16sin2θ.(2)在△ABC中，∵＝，∴BC＝＝32cosθsin(60°－θ)＝8＋8cos2θ－8sin2θ.则S＝AB＋BC＝8＋8cos2θ＋8sin2θ＝8＋16sin(2θ＋60°)．∵30°≤θ≤45°，∴120°≤2θ＋60°≤150°.∴当θ＝45°时，S取得最小值为(8＋8)m.如图所示，一吊灯的下圆环直径为4m，圆心为O，通过细绳悬挂在天花板上，圆环呈水平状态，并且与天花板的距离(即OB)为2m，在圆环上设置三个等分点A1、A2、A3.点C为OB上一点(不包含端点O、B)，同时点C与点A1、A2、A3、B均用细绳相连接，且细绳CA1、CA2、CA3的长度相等．设细绳的总长为y.(1)设∠CA1O＝θ(rad)，将y表示成θ的函数关系式；(2)请你设计θ，当角θ正弦值的大小是多少时，细绳总长y最小，并指明此时BC应为多长．解：(1)在Rt△COA1中，CA1＝，CO＝2tanθ，则y＝3CA1＋CB＝3·＋(2－2tanθ)＝＋2.(2)y′＝2＝2.令y′＝0，则sinθ＝.当sinθ>时，y′>0；当sinθ<时，y′<0.∵y＝sinθ在上是增函数，∴当角θ满足sinθ＝时，y最小，最小值为4＋2，此时BC＝m.题型四通过建立方程来解决应用问题例4将52名志愿者分成A、B两组参加义务植树活动，A组种植150捆白杨树苗，B组种植200捆沙棘树苗．假定A、B两组同时开始种植．(1)根据历年统计，每名志愿者种植一捆白杨树苗用h，种植一捆沙棘树苗用h．应如何分配A、B两组的人数，使植树活动持续时间最短；(2)在按(1)分配的人数种植1h后发现，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时仍为h，而每名志愿者种植一捆沙棘树苗实际用时h，于是从A组抽调6名志愿者加入B组继续种植，-10-\n求植树活动所持续的时间.解：(1)设A组人数为x，且0<x<52，x∈N*，则A组活动所需时间f(x)＝＝；B组活动所需时间g(x)＝＝.令f(x)＝g(x)，即＝，解得x＝.所以两组同时开始的植树活动所需时间F(x)＝而F(19)＝，F(20)＝，故F(19)>F(20)．所以当A、B两组人数分别为20、32时，植树活动持续时间最短．(2)A组所需时间为1＋＝3(h)，B组所需时间为1＋＝3(h),所以植树活动所持续的时间为3h.为了迎接青奥会，南京在主干道统一安装某种新型节能路灯，该路灯由灯柱和支架组成．在如图所示的直角坐标系中，支架ACB是抛物线y2＝2x的一部分，灯柱CD经过该抛物线的焦点F且与路面垂直，其中C在抛物线上，B为抛物线的顶点，DH表示道路路面，BF∥DH，A为锥形灯罩的顶，灯罩轴线与抛物线在A处的切线垂直．安装时要求锥形灯罩的顶到灯柱的距离是1.5m，灯罩的轴线正好通过道路路面的中线．(1)求灯罩轴线所在的直线方程；(2)若路宽为10m，求灯柱的高．解：(1)由题意知，BF＝，则xA＝1.5＋＝2，代入y2＝2x得yA＝2，故A(2，2)．设点A处的切线方程为y－2＝k(x－2)，代入抛物线方程y2＝2x消去x，得ky2－2y＋4－4k＝0.则Δ＝4－4k(4－4k)＝0，解得k＝.故灯罩轴线的斜率为－2，其方程为y－2＝－2(x－2)，即y＝－2x＋6.(2)由于路宽为10，则当x＝时，y＝－5，从而FD＝5.-10-\n又CF＝1，则CD＝6.答：灯柱的高为6m.1.(2022·四川卷)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝λ，则λ＝________．答案：2解析：＋＝＝2，λ＝2.2.(2022·湖南卷)某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件、80件、60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n＝________．答案：13解析：n＝3×＝13.3.设圆锥曲线r的两个焦点分别为F1、F2，若曲线r上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线r的离心率等于________．答案：或解析：∵|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，设|PF1|＝4k，|F1F2|＝3k，|PF2|＝2k，k>0，若圆锥曲线为椭圆，则2a＝|PF1|＋|PF2|＝6k，2c＝|F1F2|＝3k，则离心率e＝＝＝；当圆锥曲线为双曲线时，则2a＝|PF1|－|PF2|＝2k，2c＝|F1F2|＝3k，离心率e＝＝＝.4.(2022·江苏卷)设抽测的树木的底部周长均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有________株树木的底部周长小于100cm.答案：24解析：由题意，在抽测的60株树木中，底面周长小于100cm的株数为(0.015＋0.025)×10×60＝24.5.(2022·江苏卷)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min.在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA＝，cosC＝.(1)求索道AB的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3min，乙步行的速度应控制在什么范围内？-10-\n解：(1)∵cosA＝，cosC＝.∴A、C∈，∴sinA＝，sinC＝.∴sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝.根据＝，得AB＝sinC＝1040m，所以索道AB的长为1040m.(2)设乙出发tmin后，甲、乙距离为d，则d2＝(130t)2＋(100＋50t)2－2×130t×(100＋50t)×＝200(37t2－70t＋50)．∵0≤t≤，即0≤t≤8，∴当t＝时，即乙出发min后，乙在缆车上与甲的距离最短．(3)由正弦定理＝，得BC＝sinA＝×＝500(m)，乙从B出发时，甲已经走了50(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710m才能到达C.设乙的步行速度为vm/min，则≤3.∴－3≤－≤3，∴≤v≤.∴为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3min，乙步行的速度应控制在(m/min)范围内．6.(2022·上海卷)如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35m，CB长80m，设A、B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为α和β.(1)设计中CD是铅垂方向，若要求α≥2β，问CD的长至多为多少(结果精确到0.01m)?(2)施工完成后，CD与铅垂方向有偏差，现在实测得α＝38.12°，β＝18.45°，求CD的长(结果精确到0.01m)．解：(1)由题得，∵α≥2β，且0<2β≤α<，∴tanα≥tan2β，即≥，解得|CD|≤20，∴|CD|≈28.28m.(2)由题得，∠ADB＝180°－38.12°－18.45°＝123.43°，-10-\n∵＝，∴|AD|≈43.61m.∵|CD|2＝352＋|AD|2－2×35×|AD|×cos38.12°，∴|CD|≈26.93m.(本题模拟高考评分标准，满分14分)第十八届省运会于2022年9月在徐州市举办．为营造优美的环境，举办方决定在某“葫芦”形花坛中建喷泉．如图，该花坛的边界是两个半径为10m的圆弧围成，两圆心O1、O2之间的距离为10m.(1)如图甲，在花坛中建矩形喷泉，四个顶点A、B、C、D均在圆弧上，O1O2⊥AB于点M.设∠AO2M＝θ，求矩形的宽AB为多少时，可使喷泉ABCD的面积最大；(2)如图乙，在花坛中间铺设一条宽为2m的观赏长廊以作休闲之用，则矩形喷泉变为两个全等的等腰三角形，其中NA＝NB，NO2＝4m．若∠AO2M＝θ∈，求喷泉面积的取值范围．解：(1)在直角△AO2M中，AM＝10sinθ，O2M＝10cosθ，则AD＝20cosθ＋10，所以矩形ABCD的面积S＝20sinθ(20cosθ＋10)＝200(2sinθcosθ＋sinθ)，(4分)令f(θ)＝2sinθcosθ＋sinθ，0<θ≤，则f′(θ)＝2cos2θ＋cosθ＝4cos2θ＋cosθ－2，令f′(θ)＝0，得cosθ＝.设cosθ0＝，且0<θ0≤，列表如下：θ(0，θ0)θ0f′(θ)＋0－f(θ)极大值所以当θ＝θ0，即AB＝时，矩形ABCD的面积最大．(10分)(2)由(1)易得，喷泉的面积S＝20sinθ(10cosθ＋4)＝100sin2θ＋80sinθ，由θ∈知，2θ∈，所以函数g(θ)＝100sin2θ＋80sinθ是单调增函数，所以S∈[50＋40，100＋40]．(13分)答：(1)矩形的宽AB＝m时，可使喷泉ABCD的面积最大；(2)喷泉的面积的取值范围是[50＋40，100＋40](m2)．(14分)1.某公司为了加大产品的宣传力度，准备立一块广告牌，在其背面制作一个形如△ABC的支架，要求∠ACB＝60°，BC的长度大于1m，且AC比AB长0.5m．为节省材料，要求AC的长度越短越好．(1)设BC＝xm，AC＝ym，将y写成关于x的函数，并写出定义域；-10-\n(2)当BC的长度为多少时，AC最短，求出最短长度．解：(1)由题设知BC＝xm(x>1)，AC＝ym，则AB＝y－.在△ABC中，由余弦定理，得＝y2＋x2－2xycos60°.所以y＝，定义域为{x|x>1}．(2)(解法1)y＝＝(x－1)＋＋2≥2＋，当且仅当x－1＝，即x＝1＋时，y有最小值2＋.(解法2)y′＝＝.由y′＝0，得x＝1＋.因为当1<x<1＋时，y′<0；当x>1＋时，y′>0，所以当x＝1＋时，y有最小值2＋.故AC的最短长度为(2＋)m，此时BC的长度为m.2.某商店经销一种纪念品，每件产品的成本为30元，并且每卖出一件产品需向税务部门上交a元(a为常数，2≤a≤5)的税收．设每件产品的售价为x元(35≤x≤41)，根据市场调查，日销售量与ex(e为自然对数的底数)成反比例．已知当每件产品的售价为40元时，日销售量为10件．(1)求该商店的日利润L(x)元与每件产品的售价x的函数关系式；(2)当每件产品的日售价为多少元时，该商店的日利润L(x)最大，并求出L(x)的最大值．解：(1)设日销售量为，则＝10，∴k＝10e40，则日销售量为件，售价为x元时，每件利润为(x－30－a)元，则日利润L(x)＝(x－30－a)＝10e40·(35≤x≤41)．(2)L′(x)＝10e40·.①当2≤a≤4时，33≤31＋a≤35，而35≤x≤41，∴L′(x)≤0，L(x)在[35，41]上是单调递减函数，则当x＝35时，L(x)取得最大值为10(5－a)e5.②当4<a≤5时，35<31＋a≤36，令L′(x)＝0，得x＝a＋31.当x∈[35，a＋31)时，L′(x)>0，L(x)在[35，a＋31)上是单调递增函数；当x∈(a＋31，41]时，L′(x)<0，L(x)在(a＋31，41]上是单调递减函数．∴当x＝a＋31时，L(x)取得最大值为10e9－a.综上，当2≤a≤4时，L(x)max＝10(5－a)e5；当4<a≤5时，L(x)max＝10e9－a.-10-
