第2讲 函数、图象及性质1.已知f(x)是定义在R上的函数，且f(x)＝f(x＋2)恒成立，当x∈[－1，1]时，f(x)＝x2，则当x∈[2，3]时，函数f(x)的解析式为____________．答案：f(x)＝(x－2)2解析：因为函数满足f(x)＝f(x＋2)，所以函数周期为2.又x∈[2，3]，x－2∈[0，1]，则f(x)＝f(x－2)＝(x－2)2.2.若函数h(x)＝2x－＋在(1，＋∞)上是增函数，则实数k的取值范围是________.答案：[－2，＋∞)解析：因为h′(x)＝2＋，所以h′(x)＝2＋＝≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k≥－2x2在(1，＋∞)上恒成立，所以k∈[－2，＋∞)．3.若函数f(x)＝(k为常数)在定义域上为奇函数，则k＝________．答案：±1解析：∵f(x)为定义域上的奇函数，∴f(x)＋f(－x)＝0.＋＝0.得(k2－1)(22x＋1)＝0.∵22x＋1≠0，∴k2－1＝0，解得k＝±1.4.定义在(－1，1)上的函数f(x)＝－5x＋sinx，如果f(1－a)＋f(1－a2)>0，则实数a的取值范围为________．答案：(1，)解析：函数为奇函数，在(－1，1)上单调递减，f(1－a)＋f(1－a2)＞0，得f(1－a)＞f(a2－1)．∴，1＜a＜.5.函数f(x)＝＋的定义域为________．答案：(－3，0]解析：－3<x≤0.6.函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x＋2)＝，若f(－1)＝，则f(2013)＝________．答案：2解析：函数满足f(x＋2)＝，故f(x＋4)＝＝f(x)，函数周期为4，f(2013)＝f(1)．又f(3)＝＝f(4－1)＝f(－1)，∴f(1)＝2.7.设函数f(x)＝|x＋1|＋|x－a|的图象关于直线x＝1对称，则实数a的值为________．答案：3解析：画图可知＝1，a＝3.[也可利用f(0)＝f(2)求得，但要检验]8.设f(x)是定义在实数集R上的函数，满足条件y＝f(x＋1)是偶函数，且当x≥1时，f(x)＝2－x－1，则f，f，f的大小关系是______________．(按从大到小的顺序排列)-4-\n答案：f＞f＞f解析：函数y＝f(x＋1)是偶函数，所以f(－x＋1)＝f(x＋1)，即函数关于x＝1对称．所以f＝f，f＝f，当x≥1时，f(x)＝－1单调递减，所以由＜＜，得f＞f＞f，即f＞f()＞f()．9.函数f(x)的定义域是R，其图象关于直线x＝1和点(2,0)都对称，且f＝2，则f＋f＝______．答案：0解析：函数图象关于直线x＝1对称，则f(x)＝f(2－x)，函数图象关于点(2,0)对称，则f(x)＝－f(4－x)，∴f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，∴f＝f＝f＝－f.又f＝－f＝－f，∴f＋f＝0.10.已知函数f(x)＝若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是____________．答案：[－2，0]解析：在直角坐标系中画出函数y＝|f(x)|的图象，y＝ax为过原点的一条直线，当a>0时，与y＝|f(x)|在y轴右侧总有交点，不合．当a＝0时，成立．当a<0时，找出与y＝|－x2＋2x|，x≤0相切的情况，y′＝2x－2，切线方程为y＝(2x0－2)(x－x0)＋x－2x0，由分析可知x0＝0，所以a＝－2.综上，a∈[－2，0]．11.已知f(x)＝3x，并且f(a＋2)＝18，g(x)＝3ax－4x的定义域为区间[－1，1](a∈R)．(1)求函数g(x)的解析式；(2)判断g(x)的单调性；(3)若方程g(x)＝m有解，求实数m的取值范围．解：(1)∵f(a＋2)＝18，f(x)＝3x，∴3a＋2＝183a＝2，∴g(x)＝(3a)x－4x＝2x－4x，x∈[－1，1]．(2)g(x)＝－(2x)2＋2x＝－＋，当x∈[－1，1]时，2x∈，令t＝2x，∴y＝－t2＋t＝－＋，由二次函数单调性知当t∈时y是减函数，又t＝2x在[－1，1]上是增函数，∴函数g(x)在[－1，1]上是减函数．(也可用导数的方法证明)(3)由(2)知t＝2x，2x∈，则方程g(x)＝m有解m＝2x－4x在[－1，1]内有解m＝t－t2＝－＋，t∈，∴m的取值范围是.12.已知f(x)＝x＋(x＞0)，当x∈[1，3]时，f(x)的值域为A，且A[n，m](n＜m)．(1)若a＝1，求m－n的最小值；(2)若m＝16，n＝8，求a的值；(3)若m－n≤1，且A＝[n，m]，求a的取值范围．-4-\n解：(1)∵a＝1，∴f(x)在区间[1，3]上单调递增，∴f(x)∈[f(1)，f(3)]，∴当x∈[1，3]时，m－n≥f(3)－f(1)＝即m－n的最小值是.(2)(解法1)∵当x>0时，f(x)＝x＋在(0，]上单调递减，在[，＋∞)上单调递增，∴a≤15.①当≤1，即0≤a≤1时，f(x)＝x＋在[1，3]上单调递增，∴f(1)≥n，a≥7(舍去)；②当1<<3，即1<a<9时，f(x)＝x＋的最小值是2，∴2≥n，a≥16(舍去)；③当≥3，即a≥9时，f(x)＝x＋在[1，3]上单调递减，∴f(3)≥n，a≥15.综上可得：a＝15.(解法2)当m＝16时，x＋≤16恒成立，即a≤16x－x2恒成立，∴a≤(－x2＋16x，x∈[1，3])min＝15；当n＝8时，x＋≥8恒成立，即a≥8x－x2恒成立，∴a≥(－x2＋8x，x∈[1，3])max＝15.综上可得：a＝15.(3)①若≤1，即0<a≤1时，f(x)＝x＋在[1，3]上单调递增，∴无解；②当1<<3即1<a<9时f(x)＝x＋在[1，]上递减，在[，3]上递增，∴或∴12－6≤a≤4.③当≥3，即a≥9时，函数f(x)在区间[1，3]上单调递减，∴无解．综上可得：12－6≤a≤4.13.设函数f(x)＝a为常数且a∈(0，1)．(1)当a＝时，求f；(2)若x0满足f(f(x0))＝x0，但f(x0)≠x0，则称x0为f(x)的二阶周期点，证明函数f(x)有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点x1、x2；-4-\n(3)对于(2)中x1、x2，设A(x1，f(f(x1)))，B(x2，f(f(x2)))，C(a2，0)，记△ABC的面积为S(a)，求S(a)在区间上的最大值和最小值．解：(1)当a＝时，f＝，f＝f＝2＝.(2)f(f(x))＝当0≤x≤a2时，由x＝x，解得x＝0，由于f(0)＝0，故x＝0不是f(x)的二阶周期点；当a2＜x≤a时，由(a－x)＝x，解得x＝∈(a2，a)．因为f＝·＝≠，故x＝是f(x)的二阶周期点；当a<x<a2－a＋1时，由(x－a)＝x，解得x＝∈(a，a2－a＋1)．因为f＝·＝，故x＝不是f(x)的二阶周期点；当a2－a＋1≤x≤1时，由(1－x)＝x，解得x＝∈(a2－a＋1，1)．因为f＝·＝≠，故x＝是f(x)的二阶周期点．因此，函数f(x)有且仅有两个二阶周期点，x1＝，x2＝.(3)由(2)得A(，)，B(，)，则S(a)＝·，S′(a)＝·.因为a在内，故S′(a)>0，则S(a)在区间[，]上单调递增，故S(a)在区间上最小值为S＝，最大值为S＝.-4-
