第3讲 基本初等函数1.函数f(x)＝ln(x2－x)的定义域为________．答案：(－∞，0)∪(1，＋∞)2.y＝loga(2－ax)(a>0，a≠1)在[0，1]上是关于x的减函数，则a的取值范围是________．答案：(1，2)解析：y＝loga(2－ax)是[0，1]上关于x的减函数，∴1＜a＜2.3.不等式－3x>2的解集为________．答案：(－∞，0)4.设函数f(x)＝则满足f(x)≤2的x的取值范围是____________．答案：[0，＋∞)解析：由题意，解得0≤x≤1或解得x＞1.综上x≥0.5.若函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)在[0，＋∞)上是增函数，则a＝________．答案：6.已知定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，且f(2)＝1，若f(x＋a)≤1对x∈[－1，1]恒成立，则实数a的取值范围是________.答案：[－1，1]解析：∵f(x)是R上的偶函数，且f(2)＝1，∴f(2)＝f(－2)＝1；∵f(x)在[0，＋∞)上是增函数，f(x＋a)≤1对x∈[－1，1]恒成立，∴－2≤x＋a≤2，即－2－x≤a≤2－x在x∈[－1，1]上恒成立，∴－1≤a≤1.7.若函数f(x)＝＋是偶函数，则实数a的值为________．答案：2解析：∵函数f(x)＝＋是偶函数，∴a－x≥0，x＋a2－2≥0，2－a2≤x≤a，此时要求2－a2≤a，首先定义域关于原点对称，∴2－a2＝－a，∴a＝2或－1.若a＝－1，2－a2＝1＞－1＝a，故a＝－1(舍去)，∴a＝2；当a＝2时，f(x)＝＋，f(－x)＝＋＝f(x)，f(x)是偶函数．8.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0，2]上是增函数，则f(－25)、f(11)、f(80)的大小关系是________．答案：f(－25)＜f(80)＜f(11)解析：∵f(x－4)＝－f(x)，∴f(x－4)＝f(x＋4)，∴函数周期T＝8.∵f(x)为奇函数，在区间[0，2]上是增函数，∴f(x)在[－2，2]上是增函数．则f(－25)＝f(－1)，f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)，f(80)＝f(0)．∵f(－1)＜f(0)＜f(1)，∴f(－25)＜f(80)＜f(11)．9.函数y＝ax－1＋1(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－1＝0(mn>0)上，则＋的最小值为________．答案：9解析：函数图象恒过定点(1，2)，从而m＋2n＝1，又mn＞0，∴＋＝＋＝5＋2≥9，当且仅当m＝n时取等号，∴＋的最小值为9.10.若不等式(m2－m)2x－＜1对一切x∈(－∞，1]恒成立，则实数m的取值范围是____________．答案：(2，3)-3-\n解析：(m2－m)2x－<1，x∈(－∞，－1]恒成立m2－m<，x∈(－∞，－1]恒成立．设＝t，t∈[2，＋∞)，f(t)＝t2＋t＝－≥6，故m2－m<6，－2<m<3.11.已知函数f(x)＝x2－x＋3在区间[－1，2]上的最大值为M，最小值为m，求当实数p为何值时，2M＋m＝3.解：f(x)＝x2－x＋3＝(x－p)2＋3－.①当p≤－1时，f(x)在[－1，2]上单调递减，M＝f(－1)＝＋4，m＝f(2)＝＋1，由2M＋m＝3，得p＝－(舍)；②当－1＜p＜0时，M＝f(p)＝3－，m＝f(2)＝＋1，由2M＋m＝3，得p＝2－，p＝2＋(舍)；③当0＜p＜时，M＝f(2)＝＋1，m＝f(p)＝3－，由2M＋m＝3，得p＝2±2(舍)；④当≤p≤2时，M＝f(－1)＝＋4，m＝f(p)＝3－，由2M＋m＝3，得p＝8±(舍)；⑤当p＞2时，M＝f(－1)＝＋4，m＝f(2)＝＋1，由2M＋m＝3，得p＝－(舍)．综上，当p＝2－时，2M＋m＝3成立．12.已函数f(x)＝－x.(1)求函数f(x)的值域；(2)若g(x)＝＋x，判断函数F(x)＝lg的奇偶性；(3)若函数y＝f(ax)在区间(－1，1)上存在零点，求实数a的范围．解：(1)令t＝，则x＝t2－1，∵x∈[－1，＋∞)，∴t∈[0，＋∞)，∴y＝t－(t2－1)＝－t2＋t＋1，∴y∈，即函数f(x)的值域为.(2)由题意，x∈[－1，1]，F(x)＝lg，F(－x)＝lg＝lg＝－lg＝－F(x)，∴函数F(x)＝lg为奇函数．(3)由题意，－ax＝0在区间(－1，1)上有解，即＝ax，①a＝0时不合题意；②a>0时，即＝ax在(0，1)上有解，∴a2x2－ax－1＝0，由图象，a2－a－1>0，解得a>；③a<0时，即＝ax在(－1，0)上有解，-3-\n∴a2x2－ax－1＝0，由图象，a2＋a－1>0，解得a<.综上，a∈∪.13.已知函数f(x)＝x2＋2ax＋1(a∈R)，f′(x)是f(x)的导函数．(1)若x∈[－2，－1]时，不等式f(x)≤f′(x)恒成立，求a的取值范围；(2)解关于x的方程f(x)＝|f′(x)|；(3)设函数g(x)＝求g(x)在x∈[2，4]时的最小值．解：(1)因为f(x)≤f′(x)，所以x2－2x＋1≤2a(1－x)．又－2≤x≤－1，所以a≥在x∈[－2，－1]时恒成立．因为＝≤，所以a≥.(2)因为f(x)＝|f′(x)|，所以x2＋2ax＋1＝2|x＋a|，所以(x＋a)2－2|x＋a|＋1－a2＝0，则|x＋a|＝1＋a或|x＋a|＝1－a.①当a＜－1时，|x＋a|＝1－a，所以x＝－1或x＝1－2a；②当－1≤a≤1时，|x＋a|＝1－a或|x＋a|＝1＋a，所以x＝±1或x＝1－2a或x＝－(1＋2a)；③当a＞1时，|x＋a|＝1＋a，所以x＝1或x＝－(1＋2a)．(3)因为f(x)－f′(x)＝(x－1)[x－(1－2a)]，g(x)＝①若a≥－，则x∈[2，4]时，f(x)≥f′(x)，所以g(x)＝f′(x)＝2x＋2a，从而g(x)的最小值为g(2)＝2a＋4；②若a＜－，则x∈[2，4]时，f(x)＜f′(x)，所以g(x)＝f(x)＝x2＋2ax＋1，当－2≤a＜－时，g(x)的最小值为g(2)＝4a＋5，当－4＜a＜－2时，g(x)的最小值为g(－a)＝1－a2，当a≤－4时，g(x)的最小值为g(4)＝8a＋17.③若－≤a＜－，则x∈[2，4]时，g(x)＝当x∈[2，1－2a)时，g(x)的最小值为g(2)＝4a＋5；当x∈[1－2a，4]时，g(x)的最小值为g(1－2a)＝2－2a.因为－≤a＜－，(4a＋5)－(2－2a)＝6a＋3＜0，所以g(x)的最小值为4a＋5.综上所述，[g(x)]min＝-3-
