第9讲 平面向量及其应用1.掌握平面向量的加减运算、平面向量的坐标表示、平面向量数量积等基本概念、运算及其简单应用．复习时应强化向量的数量积运算，向量的平行、垂直及求有关向量的夹角问题要引起足够重视．2.在复习中要注意数学思想方法的渗透，如数形结合思想、转化与化归思想等．会用向量解决某些简单的几何问题．1.在ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝________．(用a、b表示)答案：－a＋b解析：＝(a＋b)－＝－a＋b.2.设a、b是两个不共线向量，＝2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b，若A、B、D三点共线，则实数p＝________．答案：－1解析：∵＝＋＝2a－b，又A、B、D三点共线，∴存在实数λ，使＝λ.即∴p＝－1.3.已知e1、e2是夹角为的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2，若a·b＝0，则实数k＝________.答案：解析：∵a·b＝0，∴(e1－2e2)·(ke1＋e2)＝0，即k－＋k＝0，即k＝.4.设＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b，0)，a>0，b>0，O为坐标原点，若A、B、C三点共线，则＋的最小值是________．答案：8解析：据已知∥，∵＝(a－1，1)，＝(－b－1，2)，∴2(a－1)－(－b－1)＝0，∴2a＋b＝1，∴＋＝＋＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，即a＝，b＝时取等号，∴＋的最小值是8.题型一向量与三角函数的结合例1已知向量a＝，b＝(2，cos2x)．-8-\n(1)若x∈，试判断a与b能否平行？(2)若x∈，求函数f(x)＝a·b的最小值．解：(1)若a与b平行，则有·cos2x＝·2，因为x∈，sinx≠0，所以得cos2x＝－2，这与|cos2x|≤1相矛盾，故a与b不能平行．(2)f(x)＝a·b＝＋＝＝＝2sinx＋.因为x∈，所以sinx∈.于是2sinx＋≥2＝2，当2sinx＝，即sinx＝，x＝时取等号，故函数f(x)的最小值等于2.已知向量m＝(sinx，－1)，向量n＝，函数f(x)＝(m＋n)·m.(1)求f(x)的最小正周期T；(2)若不等式f(x)－t＝0在x∈上有解，求实数t的取值范围．解：(1)f(x)＝(m＋n)·m＝sin2x＋1＋sinxcosx＋＝＋1＋sin2x＋＝sin2x－cos2x＋2＝sin＋2.∵ω＝2，∴T＝＝π.(2)∵x∈，∴≤2x－≤，∴≤sin≤1.∴≤f(x)≤3，∵方程f(x)－t＝0在x∈上有解，∴≤t≤3，∴实数t的取值范围.题型二向量的平行与垂直例2已知向量a＝(sinx，cosx)，b＝(cosx，cosx)，且b≠0，定义函数f(x)＝2a·b－1.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)若a∥b，求tanx的值；(3)若a⊥b，求x的最小正值．解：(1)f(x)＝2a·b－1＝2(sinxcosx＋cos2x)－1＝sin2x＋cos2x＝2sin-8-\n.由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.∴f(x)的单调递增区间为，k∈Z.(2)由a∥b，得sinxcosx－cos2x＝0，∵b≠0，∴cosx≠0.∴tanx－＝0，∴tanx＝.(3)若a⊥b，则a·b＝0.∴sinxcosx＋cos2x＝0.∵b≠0，∴cosx≠0.∴tanx＋1＝0，即tanx＝－.∴x＝kπ＋，k∈Z.∴当k＝0时，x有最小正值.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a＝(－1，2)，又点A(8，0)，B(n，t)，C(ksinθ，t).(1)若⊥a，且||＝||，求向量；(2)若向量与向量a共线，当k>4，且tsinθ取最大值4时，求·.解：(1)由题设知＝(n－8，t)，∵⊥a，∴8－n＋2t＝0.∵||＝||，∴5×64＝(n－8)2＋t2＝5t2，得t＝±8.当t＝8时，n＝24；t＝－8时，n＝－8，∴＝(24，8)或＝(－8，－8)．(2)由题设知＝(ksinθ－8，t)，∵与a共线，∴t＝－2ksinθ＋16，tsinθ＝(－2ksinθ＋16)sinθ＝－2k＋.∵k>4，∴1>>0，∴当sinθ＝时，tsinθ取得最大值.由＝4，得k＝8，此时θ＝，＝(4，8)．∴·＝(8，0)·(4，8)＝32.题型三向量与三角形的结合例3在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且A、B、C成等差数列．(1)若·＝，b＝，求a＋c的值；(2)求2sinA－sinC的取值范围．-8-\n解：(1)∵A、B、C成等差数列，∴B＝.∵·＝，∴accosB＝，∴ac＝，即ac＝3.∵b＝，b2＝a2＋c2－2accosB，∴a2＋c2－ac＝3，即(a＋c)2－3ac＝3.∴(a＋c)2＝12，∴a＋c＝2.(2)2sinA－sinC＝2sin－sinC＝2－sinC＝cosC.∵0<C<，∴cosC∈.∴2sinA－sinC的取值范围是.已知△ABC的三个内角A、B、C对应的边长分别为a、b、c，向量m＝(sinB，1－cosB)与向量n＝(2，0)的夹角θ的余弦值为.(1)求角B的大小；(2)设△ABC外接圆半径为1，求a＋c的范围．解：(1)∵m＝2sin，n＝2(1，0)，∴m·n＝4sincos，|m|＝2sin，|n|＝2，∴cosθ＝＝cos.由cos＝，0<θ<π得＝，即B＝.(2)∵B＝，∴A＋C＝.∴sinA＋sinC＝sinA＋sin＝sinA＋sincosA－cossinA＝sinA＋cosA＝sin.又0<A<，∴<＋A<，∴<sin≤1.∴sinA＋sinC∈.又a＋c＝2RsinA＋2RsinC＝2(sinA＋sinC)，∴a＋c∈(，2]．题型四向量的综合应用例4已知m、x∈R，向量a＝(x，－m)，b＝((m＋1)x，x)．-8-\n(1)当m＞0时，若|a|＜|b|，求x的取值范围；(2)若a·b＞1－m对任意实数x恒成立，求m的取值范围．解：(1)|a|2＝x2＋m2，|b|2＝(m＋1)2x2＋x2，因为|a|＜|b|，所以|a|2＜|b|2，从而x2＋m2＜(m＋1)2x2＋x2.因为m＞0，所以＜x2，解得x＜－或x＞.(2)a·b＝(m＋1)x2－mx，由题意，得(m＋1)x2－mx＞1－m对任意的实数x恒成立，即(m＋1)x2－mx＋m－1＞0对任意的实数x恒成立．当m＋1＝0，即m＝－1时，显然不成立，从而解得所以m＞.在△ABC中，已知·＝9，sinB＝cosA·sinC，S△ABC＝6，P为线段AB上的点，且＝x·＋y·，则xy的最大值为________．答案：3解析：由·＝9得bc·cosA＝9；又sinB＝cosA·sinC得b＝c·cosA；又S△ABC＝6得bc·sinA＝6，由上述三式可解得b＝3，c＝5，cosA＝，sinA＝，由余弦定理得a2＝32＋52－2×3×5×＝16，a＝4，可见△ABC是直角三角形，以c为坐标原点，CA、CB分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则＝(3，0)，＝(0，4)，＝(1，0)，＝(0，1)，则＝x·＋y·＝x(1，0)＋y(0，1)＝(x，y)，故P(x，y)，而P在直线AB上，又lAB：＋＝1，所以＋＝1，(x>0，y>0)，根据基本不等式＋≥2，得xy≤3.1.(2022·山东卷)在平面直角坐标系xOy中，已知＝(－1，t)，＝(2，2)，若∠ABO＝90°，则实数t＝________．答案：5解析：＝－＝(3，2－t)，∠ABO＝90°，则·＝0，即6＋2(2－t)＝0，解得t＝5.2.(2022·江西卷)已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cosα＝，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cosβ＝________．-8-\n答案：解析：因为a2＝9＋4－2×3×2×＝9，b2＝9＋1－2×3×1×＝8，a·b＝9＋2－9×1×1×＝8，所以cosβ＝＝.3.(2022·江苏卷)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1、λ2为实数)，则λ1＋λ2＝__________．答案：解析：＝＋＝＋＝－＋，λ1＝－，λ2＝，λ1＋λ2＝.4.在△OAB中，＝(2cosα，2sinα)，＝(5cosβ，5sinβ)．若·＝－5，则S△OAB＝________．答案：解析：在△OAB中，OA＝2，OB＝5，cos〈·〉＝＝－，∴S△OAB＝×2×5×sin120°＝.5.(2022·陕西卷)已知向量a＝，b＝(sinx，cos2x)，x∈R，设函数f(x)＝a·b.(1)求f(x)的最小正周期．(2)求f(x)在上的最大值和最小值．解：(1)f(x)＝a·b＝cosx·sinx－cos2x＝sin2x－cos2x＝sin.最小正周期T＝＝π.所以f(x)＝sin最小正周期为π.(2)当x∈时，2x－∈，由标准函数y＝sinx在上的图象知，f(x)＝sin(2x－)∈＝.所以，f(x)在上的最大值和最小值分别为1，－.6.(2022·江苏卷)已知a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，0<β<α<π.(1)若|a－b|＝，求证：a⊥b；(2)设c＝(0，1)，若a＋b＝c，求α、β的值．(1)证明：∵|a－b|＝，∴|a－b|2＝2，即(a－b)2＝a2－2ab＋b2＝2.∵a2＝|a|2＝cos2α＋sin2α＝1，b2＝|b|2＝cos2β＋sin2β＝1，∴2－2ab＝2，∴ab＝0，∴a⊥b.(2)解：∵a＋b＝(cosα＋cosβ，sinα＋sinβ)＝(0，1)，-8-\n∴即两边分别平方再相加得：1＝2－2sinβ，∴sinβ＝，∴sinα＝.∵0<β<α<π，∴α＝π，β＝π.(本题模拟高考评分标准，满分14分)(2022·泰州一模)已知向量a＝(cosλθ，cos(10－λ)θ)，b＝(sin(10－λ)θ，sinλθ)，λ、θ∈R.(1)求|a|2＋|b|2的值；(2)若a⊥b，求θ；(3)若θ＝，求证：a∥b.(1)解：∵|a|＝，|b|＝，(2分)∴|a|2＋|b|2＝2.(4分)(2)解：∵a⊥b，∴cosλθ·sin(10－λ)θ＋cos(10－λ)θ·sinλθ＝0，∴sin[(10－λ)θ＋λθ]＝0，∴sin10θ＝0，(7分)∴10θ＝kπ，k∈Z，∴θ＝，k∈Z.(9分)(3)证明：∵θ＝，∴cosλθ·sinλθ－cos(10－λ)θ·sin[(10－λ)θ]＝cos·sin－cos·sin＝cos·sin－sin·cos＝0，∴a∥b.(14分)1.已知△ABC外接圆的圆心为O，BC>CA>AB，则·、·、·的大小关系为________．答案：·＞·＞·解析：∵0＜∠AOB＜∠AOC＜∠BOC＜π，y＝cosx在(0，π)上单调递减，∴cos∠AOB＞cos∠AOC＞cos∠BOC,∴·＞·＞·.2.在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对边分别为a、b、c，且1＋＝.(1)求∠A；(2)若m＝(0，－1)，n＝，试求|m＋n|的最小值．解：(1)1＋＝1＋＝，即＝，∴＝，∴cosA＝.-8-\n∵0＜A＜π，∴∠A＝.(2)∵m＋n＝(cosB，2cos2－1)＝(cosB，cosC)，∴|m＋n|2＝cos2B＋cos2C＝cos2B＋cos2＝1－sin.∵∠A＝，∴∠B＋∠C＝，∴B∈.从而－＜2B－＜，∴当sin＝1，即B＝时，|m＋n|2取得最小值，所以|m＋n|min＝.3.已知向量m＝(sinA，cosA)，n＝(1，－2)，且m·n＝0.(1)求tanA的值；(2)求函数f(x)＝cos2x＋tanAsinx(x∈R)的值域．解：(1)m·n＝sinA－2cosA＝0tanA＝2.(2)f(x)＝cos2x＋2sinx＝－2＋.∵x∈R,∴sinx∈[－1，1]，当sinx＝时，f(x)取最大值；当sinx＝－1时，f(x)取最小值－3，所以函数f(x)的值域为.点评：平面向量与三角函数结合是高考中的一个热点，本题主要考查平面向量数量积的坐标运算．4.已知向量a＝(sinθ，cosθ－2sinθ)，b＝(1，2)．(1)若a∥b，求tanθ的值；(2)若|a|＝|b|，0＜θ＜π，求θ的值．解：(1)因为a∥b，所以2sinθ＝cosθ－2sinθ，于是4sinθ＝cosθ，故tanθ＝.(2)由|a|＝|b|知sin2θ＋(cosθ－2sinθ)2＝5，所以1－2sin2θ＋4sin2θ＝5，从而－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4，即sin2θ＋cos2θ＝－1，于是sin＝－.又由0＜θ＜π知，＜2θ＋＜，所以2θ＋＝或2θ＋＝，因此θ＝或.-8-
