第2讲 椭圆、双曲线、抛物线1．(2022·福建)若双曲线E：－＝1的左，右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于( )A．11B．9C．5D．32．(2022·课标全国Ⅰ)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若＝4，则|QF|等于( )A.B.C．3D．23．(2022·江苏)在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点．若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为________．4．(2022·安徽)设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0<b<1)的左，右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为________．1.以选择题、填空题形式考查圆锥曲线的方程、几何性质(特别是离心率).2.以解答题形式考查直线与圆锥曲线的位置关系(弦长、中点等).热点一 圆锥曲线的定义与标准方程1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)；(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)；(3)抛物线：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M.2．求解圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”22\n所谓“定型”，就是曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值．例1 (1)若椭圆C：＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆C上，且|PF2|＝4，则∠F1PF2等于( )A．30°B．60°C．120°D．150°(2)(2022·丰台模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点坐标为(2,0)，则双曲线的方程为( )A.－＝1B.－＝1C．x2－＝1D.－y2＝1思维升华 (1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式．(2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定．跟踪演练1 (1)(2022·大纲全国)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点．若△AF1B的周长为4，则C的方程为( )A.＋＝1B.＋y2＝1C.＋＝1D.＋＝1(2)(2022·天津)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线过点(2，)，且双曲线的一个焦点在抛物线y2＝4x的准线上，则双曲线的方程为( )A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1热点二 圆锥曲线的几何性质1．椭圆、双曲线中，a，b，c之间的关系(1)在椭圆中：a2＝b2＋c2，离心率为e＝＝；(2)在双曲线中：c2＝a2＋b2，离心率为e＝＝.22\n2．双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x.注意离心率e与渐近线的斜率的关系．例2 (1)椭圆Γ：＋＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．(2)(2022·西北工业大学附中四模)已知双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1、F2，过F1作圆x2＋y2＝a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|＝|CF2|，则双曲线的渐近线方程为( )A．y＝±3xB．y＝±2xC．y＝±(＋1)xD．y＝±(－1)x思维升华 (1)明确圆锥曲线中a，b，c，e各量之间的关系是求解问题的关键．(2)在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c和a的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数c，a，b的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围．跟踪演练2 (1)设F1，F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左，右焦点，若在直线x＝上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆的离心率的取值范围是( )A.B.C.D.(2)(2022·重庆)设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线交于B，C两点，过B，C分别作AC，AB的垂线，两垂线交于点D，若D到直线BC的距离小于a＋，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是( )A．(－1,0)∪(0,1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－，0)∪(0，)D．(－∞，－)∪(，＋∞)热点三 直线与圆锥曲线判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题有两种常用方法22\n(1)代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x，y的方程组，消去y(或x)得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标；(2)几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数．例3 (2022·江苏改编)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且右焦点F到直线l：x＝－的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若|PC|＝2|AB|，求直线AB的方程． 22\n 思维升华 解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程，利用根与系数的关系，设而不求思想，弦长公式等简化计算；涉及中点弦问题时，也可用“点差法”求解．跟踪演练3 (1)(2022·四川)过双曲线x2－＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|等于( )A.B．2C．6D．4(2)(2022·南开中学月考)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为( )A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝11．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线上有两点A，B，若直线l的方程为x＋y－2＝0，且AB⊥l，则椭圆＋＝1的离心率为( )A.B.C.D.2．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且点(1，)在该椭圆上．(1)求椭圆C的方程；(2)过椭圆C的左焦点F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若△AOB的面积为，求圆心在原点O且与直线l相切的圆的方程． 22\n提醒：完成作业 专题六 第2讲22\n二轮专题强化练专题六第2讲 椭圆、双曲线、抛物线A组 专题通关1．已知椭圆＋＝1(0<m<9)的左，右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若|AF2|＋|BF2|的最大值为10，则m的值为( )A．3B．2C．1D.2．(2022·广东)已知双曲线C：－＝1的离心率e＝，且其右焦点为F2(5,0)，则双曲线C的方程为( )A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝13．(2022·课标全国Ⅱ)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为( )A.B．2C.D.4．已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为( )A．x2＝yB．x2＝yC．x2＝8yD．x2＝16y5．(2022·课标全国Ⅱ)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )A.B.C.D.6．已知P为椭圆＋＝1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y222\n＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为________．7．已知点P(0,2)，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，线段PF与抛物线C的交点为M，过M作抛物线准线的垂线，垂足为Q，若∠PQF＝90°，则p＝________.8．(2022·山东)平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线C2：x2＝2py(p＞0)交于点O，A，B.若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为________．9．(2022·威海模拟)已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l经过点M(0,1)，且与椭圆C交于A，B两点，若＝2，求直线l的方程．10．(2022·浙江)如图，已知抛物线C1：y＝x2，圆C2：x2＋(y－1)2＝1，过点P(t,0)(t＞0)作不过原点O的直线PA，PB分别与抛物线C1和圆C2相切，A，B为切点．(1)求点A，B的坐标；(2)求△PAB的面积．注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切，称该公共点为切点．22\nB组 能力提高11．(2022·辽宁)已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为( )A.B.C.D.12．已知圆x2＋y2＝上点E处的一条切线l过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F，且与双曲线的右支交于点P，若＝(＋)，则双曲线的离心率是________．13．已知抛物线y2＝4x的准线过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点且与双曲线交于A，B两点，O为坐标原点，且△AOB的面积为，则双曲线的离心率为________．14．已知椭圆C的长轴左、右顶点分别为A，B，离心率e＝，右焦点为F，且·＝－1.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若P是椭圆C上的一动点，点P关于坐标原点的对称点为Q，点P在x轴上的射影点为M，连接QM并延长交椭圆于点N，求证：∠QPN＝90°.22\n学生用书答案精析第2讲 椭圆、双曲线、抛物线高考真题体验1．B [由双曲线定义||PF2|－|PF1||＝2a，∵|PF1|＝3，∴P在左支上，∵a＝3，∴|PF2|－|PF1|＝6，∴|PF2|＝9，故选B.]2．C [∵＝4，∴||＝4||，∴＝.如图，过Q作QQ′⊥l，垂足为Q′，设l与x轴的交点为A，则|AF|＝4，∴＝＝，∴|QQ′|＝3，根据抛物线定义可知|QQ′|＝|QF|＝3，故选C.]3.解析 双曲线x2－y2＝1的渐近线为x±y＝0，直线x－y＋1＝0与渐近线x－y＝0平行，故两平行线的距离d＝＝.由点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，得c≤，故c的最大值为.4．x2＋y2＝1解析 设点B的坐标为(x0，y0)．∵x2＋＝1，∴F1(－，0)，F2(，0)．∵AF2⊥x轴，∴A(，b2)．∵|AF1|＝3|F1B|，∴＝3，∴(－2，－b2)＝3(x0＋，y0)．22\n∴x0＝－，y0＝－.∴点B的坐标为.将B代入x2＋＝1，得b2＝.∴椭圆E的方程为x2＋y2＝1.热点分类突破例1 (1)C (2)C解析 (1)由题意得a＝3，c＝，所以|PF1|＝2.在△F2PF1中，由余弦定理可得cos∠F2PF1＝＝－.又因为cos∠F2PF1∈(0°，180°)，所以∠F2PF1＝120°.(2)双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程是y＝±x，故可知＝，又∵焦点坐标为(2,0)，∴c＝＝2，解得a＝1，b＝.∴双曲线方程为x2－＝1.跟踪演练1 (1)A (2)D解析 (1)由e＝得＝.①又△AF1B的周长为4，由椭圆定义，得4a＝4，得a＝，代入①得c＝1，∴b2＝a2－c2＝2，故C的方程为＋＝1.(2)双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，又渐近线过点(2，)，所以＝，即2b＝a，①抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－，22\n由已知，得＝，即a2＋b2＝7，②联立①②解得a2＝4，b2＝3，所求双曲线的方程为－＝1，选D.例2 (1)－1 (2)C解析 (1)直线y＝(x＋c)过点F1(－c,0)，且倾斜角为60°，所以∠MF1F2＝60°，从而∠MF2F1＝30°，所以MF1⊥MF2.在Rt△MF1F2中，|MF1|＝c，|MF2|＝c，所以该椭圆的离心率e＝＝＝－1.(2)由题意作出示意图，易得直线BC的斜率为，cos∠CF1F2＝，又由双曲线的定义及|BC|＝|CF2|可得|CF1|－|CF2|＝|BF1|＝2a，|BF2|－|BF1|＝2a⇒|BF2|＝4a，故cos∠CF1F2＝＝⇒b2－2ab－2a2＝0⇒()2－2()－2＝0⇒＝1＋，故双曲线的渐近线方程为y＝±(＋1)x.跟踪演练2 (1)D (2)A解析 (1)设P，线段F1P的中点Q的坐标为，当存在时，则＝，k＝，由k·k＝－1，得y2＝，y2≥0，但注意到b2－2c2≠0，即2c2－b2>0，即3c2－a2>0，即e2>，故<e<1.当不存在时，b2－2c2＝0，y＝0，此时F2为中点，即－c＝2c，得e＝，综上，得≤e<1，即所求的椭圆离心率的取值范围是.22\n(2)由题作出图象如图所示．由－＝1可知A(a,0)，F(c,0)．易得B，C.∵kAB＝＝，∴kCD＝.∵kAC＝＝，∴kBD＝－.∴lBD：y－＝－(x－c)，即y＝－x＋＋，lCD：y＋＝(x－c)，即y＝x－－.∴xD＝c＋.∴点D到BC的距离为.∴<a＋＝a＋c，∴b4<a2(c2－a2)＝a2b2，∴a2>b2，∴0<<1.∴0<<1.例3 解 (1)由题意，得＝且c＋＝3，解得a＝，c＝1，则b＝1，所以椭圆的标准方程为＋y2＝1.(2)当AB⊥x轴时，|AB|＝，又|CP|＝3，不合题意．当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线AB的方程代入椭圆方程，22\n得(1＋2k2)x2－4k2x＋2(k2－1)＝0，则x1,2＝，C的坐标为，且|AB|＝＝＝.若k＝0，则线段AB的垂直平分线为y轴，与直线l平行，不合题意．从而k≠0，故直线PC的方程为y＋＝－，则P点的坐标为，从而|PC|＝.因为|PC|＝2|AB|，所以＝，解得k＝±1.此时直线AB的方程为y＝x－1或y＝－x＋1.跟踪演练3 (1)D (2)D解析 (1)由题意知，双曲线x2－＝1的渐近线方程为y＝±x，将x＝c＝2代入得y＝±2，即A，B两点的坐标分别为(2，2)，(2，－2)，所以|AB|＝4.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆的方程有，＋＝1，＋＝1，两式相减得，＋＝0.∵线段AB的中点坐标为(1，－1)，∴x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2代入上式得：＝.∵直线AB的斜率为＝，∴＝⇒a2＝2b2，∵右焦点为F(3,0)，22\n∴a2－b2＝c2＝9，解得a2＝18，b2＝9，又此时点(1，－1)在椭圆内，∴椭圆方程为＋＝1.高考押题精练1．C [由条件可知直线l的斜率为－，又AB⊥l，可知直线AB的斜率为，故＝，故＝2，由此可知a>b>0，则椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的焦距为2c，则＝2，解得椭圆的离心率为＝.]2．解 (1)由题意可得e＝＝，又a2＝b2＋c2，所以b2＝a2.因为椭圆C经过点(1，)，所以＋＝1，解得a＝2，所以b2＝3，故椭圆C的方程为＋＝1.(2)由(1)知F1(－1,0)，设直线l的方程为x＝ty－1，由消去x，得(4＋3t2)y2－6ty－9＝0，显然Δ>0恒成立，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝，y1y2＝－，所以|y1－y2|＝＝＝，22\n所以S△AOB＝·|F1O|·|y1－y2|＝＝，化简得18t4－t2－17＝0，即(18t2＋17)(t2－1)＝0，解得t＝1，t＝－(舍去)，又圆O的半径r＝＝，所以r＝，故圆O的方程为x2＋y2＝.22\n二轮专题强化练答案精析第2讲 椭圆、双曲线、抛物线1．A [已知椭圆＋＝1(0<m<9)中，a2＝9，b2＝m.|AF2|＋|BF2|＝4a－|AB|≤10，∴|AB|≥2，|AB|min＝＝＝2，解得m＝3.]2．C [因为所求双曲线的右焦点为F2(5,0)且离心率为e＝＝，所以c＝5，a＝4，b2＝c2－a2＝9，所以所求双曲线方程为－＝1，故选C.]3．D [如图，设双曲线E的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则|AB|＝2a，由双曲线的对称性，可设点M(x1，y1)在第一象限内，过M作MN⊥x轴于点N(x1,0)，∵△ABM为等腰三角形，且∠ABM＝120°，∴|BM|＝|AB|＝2a，∠MBN＝60°，∴y1＝|MN|＝|BM|sin∠MBN＝2asin60°＝a，x1＝|OB|＋|BN|＝a＋2acos60°＝2a.将点M(x1，y1)的坐标代入－＝1，可得a2＝b2，∴e＝＝＝，选D.]4．D [∵双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，∴＝＝2，∴b＝a，∴双曲线的渐近线方程为x±y＝0，∴抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线的渐近线的距离为＝2，∴p＝8.∴所求的抛物线方程为x2＝16y.]5．D [由已知得焦点坐标为F(，0)，因此直线AB的方程为y＝(x－)，即4x－4y－3＝0.方法一 联立抛物线方程化简得22\n4y2－12y－9＝0，故|yA－yB|＝＝6.因此S△OAB＝|OF||yA－yB|＝××6＝.方法二 联立方程得x2－x＋＝0，故xA＋xB＝.根据抛物线的定义有|AB|＝xA＋xB＋p＝＋＝12，同时原点到直线AB的距离为h＝＝，因此S△OAB＝|AB|·h＝.]6．7解析 由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且|PF1|＋|PF2|＝10，从而|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－1－2＝7.7.解析 由抛物线的定义可得|MQ|＝|MF|，F(，0)，又PQ⊥QF，故M为线段PF的中点，所以M(，1)，把M(，1)，代入抛物线y2＝2px(p>0)得，1＝2p×，解得p＝，故答案为.8.解析 由题意，不妨设直线OA的方程为y＝x，直线OB的方程为y＝－x.由得x2＝2p·x，∴x＝，y＝，∴A.设抛物线C2的焦点为F，则F，∴kAF＝.∵△OAB的垂心为F，∴AF⊥OB，∴kAF·kOB＝－1，22\n∴·＝－1，∴＝.设C1的离心率为e，则e2＝＝＝1＋＝.∴e＝.9．解 (1)设椭圆方程为＋＝1(a>0，b>0)，因为c＝1，＝，所以a＝2，b＝，所以椭圆方程为＋＝1.(2)由题意得直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋1，联立方程得(3＋4k2)x2＋8kx－8＝0，且Δ>0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由＝2，得x1＝－2x2，又所以消去x2得()2＝，解得k2＝，k＝±，所以直线l的方程为y＝±x＋1，即x－2y＋2＝0或x＋2y－2＝0.10．解 (1)由题意知直线PA的斜率存在，故可设直线PA的方程为y＝k(x－t)．由消去y，整理得：x2－4kx＋4kt＝0，由于直线PA与抛物线相切，得k＝t，因此，点A的坐标为(2t，t2)．设圆C2的圆心为D(0,1)，点B的坐标为(x0，y0)，由题意知：点B，O关于直线PD对称，且直线PD：y＝－x＋1，故解得22\n因此，点B的坐标为.(2)由(1)知，|AP|＝t·和直线PA的方程tx－y－t2＝0，点B到直线PA的距离是d＝，设△PAB的面积为S(t)，所以S(t)＝|AP|·d＝.11．D [抛物线y2＝2px的准线为直线x＝－，而点A(－2,3)在准线上，所以－＝－2，即p＝4，从而C：y2＝8x，焦点为F(2,0)．设切线方程为y－3＝k(x＋2)，代入y2＝8x得y2－y＋2k＋3＝0(k≠0)，①由于Δ＝1－4×(2k＋3)＝0，所以k＝－2或k＝.因为切点在第一象限，所以k＝.将k＝代入①中，得y＝8，再代入y2＝8x中得x＝8，所以点B的坐标为(8,8)，所以直线BF的斜率为.]12.解析 如图所示，设双曲线的右焦点为H，连接PH，由题意可知|OE|＝，由＝(＋)，可知E为FP的中点．由双曲线的性质，可知O为FH的中点，所以OE∥PH，且|OE|＝|PH|，故|PH|＝2|OE|＝.由双曲线的定义，可知|PF|－|PH|＝2a(P在双曲线的右支上)，所以|PF|＝2a＋|PH|＝.因为直线l与圆相切，所以PF⊥OE.又OE∥PH，所以PF⊥PH.在Rt△PFH中，|FH|2＝|PH|2＋|PF|2，22\n即(2c)2＝()2＋()2，整理得＝，即e＝.13．2解析 抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，由题意知，双曲线的左焦点坐标为(－1,0)，即c＝1，且A(－c，)，B(－c，－)，因为△AOB的面积为，所以×2××1＝，即＝，所以，＝，解得a＝，∴e＝＝＝2.14．(1)解 依题意，设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，则A(－a,0)，B(a,0)，F(c,0)，由e＝＝，得a＝c.①由·＝－1，得(c＋a,0)·(c－a,0)＝c2－a2＝－1.②联立①②，解得a＝，c＝1，所以b2＝1，故椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)证明 设P(x1，y1)，N(x2，y2)，由题意知xi≠0，yi≠0(i＝1,2)，且x1≠x2，又Q(－x1，－y1)，M(x1,0)．22\n由Q，M，N三点共线，知kQM＝kQN，所以＝.③又kPQkPN＋1＝·＋1.④把③代入④，得kPQkPN＋1＝·＋1＝.⑤因为点P，N在椭圆上，所以x＋2y＝2，x＋2y＝2，⑥把⑥代入⑤，得kPQkPN＋1＝＝0，即kPQkPN＝－1，所以∠QPN＝90°.22
