第1讲 直线与圆1．(2022·安徽)直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是( )A．－2或12B．2或－12C．－2或－12D．2或122．(2022·湖南)若直线3x－4y＋5＝0与圆x2＋y2＝r2(r>0)相交于A，B两点，且∠AOB＝120°(O为坐标原点)，则r＝________.3．(2022·重庆)已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝________.4．(2022·课标全国Ⅱ)设点M(x0,1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是________．考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题.直线与圆的位置关系(特别是弦长问题)，此类问题难度属于中低档，一般以选择题、填空题的形式出现.热点一 直线的方程及应用1．两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．18\n2．求直线方程要注意几种直线方程的局限性．点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直．而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线．3．两个距离公式(1)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝.(2)点(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离公式d＝.例1 (1)已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的值是( )A．1或3B．1或5C．3或5D．1或2(2)已知两点A(3,2)和B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则m的值为( )A．0或－B.或－6C．－或D．0或思维升华 (1)求解两条直线的平行或垂直问题时要考虑斜率不存在的情况；(2)对解题中可能出现的特殊情况，可用数形结合的方法分析研究．跟踪演练1 已知A(3,1)，B(－1,2)两点，若∠ACB的平分线方程为y＝x＋1，则AC所在的直线方程为( )A．y＝2x＋4B．y＝x－3C．x－2y－1＝0D．3x＋y＋1＝0热点二 圆的方程及应用1．圆的标准方程当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，特别地，当圆心在原点时，方程为x2＋y2＝r2.2．圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0，表示以(－，－)为圆心，为半径的圆．例2 (1)若圆C经过(1,0)，(3,0)两点，且与y轴相切，则圆C的方程为( )A．(x－2)2＋(y±2)2＝318\nB．(x－2)2＋(y±)2＝3C．(x－2)2＋(y±2)2＝4D．(x－2)2＋(y±)2＝4(2)已知圆M的圆心在x轴上，且圆心在直线l1：x＝－2的右侧，若圆M截直线l1所得的弦长为2，且与直线l2：2x－y－4＝0相切，则圆M的方程为( )A．(x－1)2＋y2＝4B．(x＋1)2＋y2＝4C．x2＋(y－1)2＝4D．x2＋(y＋1)2＝4思维升华 解决与圆有关的问题一般有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程；(2)代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．跟踪演练2 (1)(2022·赣州九校联考)经过点A(5,2)，B(3，－2)，且圆心在直线2x－y－3＝0上的圆的方程为________________．(2)已知直线l的方程是x＋y－6＝0，A，B是直线l上的两点，且△OAB是正三角形(O为坐标原点)，则△OAB外接圆的方程是____________________．热点三 直线与圆、圆与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系：相交、相切和相离，判断的方法主要有点线距离法和判别式法．(1)点线距离法：设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，则d<r⇔直线与圆相交，d＝r⇔直线与圆相切，d>r⇔直线与圆相离．(2)判别式法：设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，方程组消去y，得关于x的一元二次方程根的判别式Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ>0.2．圆与圆的位置关系有五种，即内含、内切、相交、外切、外离．设圆C1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r，圆C2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r，两圆心之间的距离为d，则圆与圆的五种位置关系的判断方法如下：(1)d>r1＋r2⇔两圆外离；(2)d＝r1＋r2⇔两圆外切；(3)|r1－r2|<d<r1＋r2⇔两圆相交；(4)d＝|r1－r2|(r1≠r2)⇔两圆内切；(5)0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)⇔两圆内含．例3 (1)已知直线2x＋(y－3)m－4＝0(m∈R)恒过定点P，若点P平分圆x2＋y2－2x－4y18\n－4＝0的弦MN，则弦MN所在直线的方程是( )A．x＋y－5＝0B．x＋y－3＝0C．x－y－1＝0D．x－y＋1＝0(2)已知P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k>0)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为( )A．3B.C．2D．2思维升华 (1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．(2)圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题．跟踪演练3 (1)已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2＝－2y＋3，直线l过点(1,0)且与直线x－y＋1＝0垂直．若直线l与圆C交于A、B两点，则△OAB的面积为( )A．1B.C．2D．2(2)两个圆C1：x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0(a∈R)与C2：x2＋y2－2by－1＋b2＝0(b∈R)恰有三条公切线，则a＋b的最小值为( )A．－6B．－3C．－3D．31．已知圆C关于y轴对称，经过点(1,0)且被x轴分成两段弧长比为1∶2，则圆C的方程为( )A．(x±)2＋y2＝B．(x±)2＋y2＝C．x2＋(y±)2＝D．x2＋(y±)2＝2．已知点A(－2,0)，B(0,2)，若点C是圆x2－2ax＋y2＋a2－1＝0上的动点，△ABC面积的最小值为3－，则a的值为( )18\nA．1B．－5C．1或－5D．53．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋ax＋2ay－9＝0(a>0)相交，公共弦的长为2，则a＝________.提醒：完成作业 专题六 第1讲18\n二轮专题强化练专题六第1讲 直线与圆A组 专题通关1．直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y－1＝0垂直，则l的方程是( )A．3x＋2y－1＝0B．3x＋2y＋7＝0C．2x－3y＋5＝0D．2x－3y＋8＝02．若直线y＝kx＋2k与圆x2＋y2＋mx＋4＝0至少有一个交点，则m的取值范围是( )A．[0，＋∞)B．[4，＋∞)C．(4，＋∞)D．[2,4]3．过P(2,0)的直线l被圆(x－2)2＋(y－3)2＝9截得的线段长为2时，直线l的斜率为( )A．±B．±C．±1D．±4．若圆O：x2＋y2＝4与圆C：x2＋y2＋4x－4y＋4＝0关于直线l对称，则直线l的方程是( )A．x＋y＝0B．x－y＝0C．x－y＋2＝0D．x＋y＋2＝05．已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )A．5－4B.－1C．6－2D.6．已知圆O：x2＋y2＝5，直线l：xcosθ＋ysinθ＝1(0<θ<)．设圆O上到直线l的距离等于1的点的个数为k，则k＝________.7．(2022·湖北)直线l1：y＝x＋a和l2：y＝x＋b将单位圆C：x2＋y218\n＝1分成长度相等的四段弧，则a2＋b2＝____.8．(2022·湖北)如图，已知圆C与x轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)，且|AB|＝2.(1)圆C的标准方程为_____________________________．(2)圆C在点B处的切线在x轴上的截距为________．9．已知点A(3,3)，B(5,2)到直线l的距离相等，且直线l经过两直线l1：3x－y－1＝0和l2：x＋y－3＝0的交点，求直线l的方程．10．(2022·课标全国Ⅰ)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．(1)求k的取值范围；(2)若·＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.B组 能力提高11．圆心在曲线y＝(x>0)上，与直线2x＋y＋1＝0相切，则面积最小的圆的方程为( )A．(x－2)2＋(y－1)2＝25B．(x－2)2＋(y－1)2＝518\nC．(x－1)2＋(y－2)2＝25D．(x－1)2＋(y－2)2＝512．已知圆面C：(x－a)2＋y2≤a2－1的面积为S，平面区域D：2x＋y≤4与圆面C的公共区域的面积大于S，则实数a的取值范围是( )A．(－∞，2)B．(－∞，0)∪(0，＋∞)C．(－1,1)D．(－∞，－1)∪(1,2)13．(2022·辽宁师范大学附中期中)若圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上恰有三个不同的点到直线l：y＝kx的距离为2，则k＝________.14．已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2a＋1)x＋(a＋1)y－7a－4＝0，其中a∈R.(1)求证：不论实数a取何值，直线l和圆C恒有两个交点；(2)求直线l被圆C截得的线段最短时，直线l的方程和最短的弦长；(3)求过点M(6，－4)且与圆C相切的直线方程．18\n学生用书答案精析专题六 解析几何第1讲 直线与圆高考真题体验1．D [∵圆方程可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，∴该圆是以(1,1)为圆心，以1为半径的圆，∵直线3x＋4y＝b与该圆相切，∴＝1，解得b＝2或b＝12，故选D.]2．2解析 如图，过O点作OD⊥AB于D点，在Rt△DOB中，∠DOB＝60°，∴∠DBO＝30°，又|OD|＝＝1，∴r＝2|OD|＝2.3．4±解析 圆心C(1，a)到直线ax＋y－2＝0的距离为.因为△ABC为等边三角形，所以|AB|＝|BC|＝2，所以()2＋12＝22，解得a＝4±.4．[－1,1]解析 如图，过点M作⊙O的切线，切点为N，连接ON.M点的纵坐标为1，MN与⊙O相切于点N.设∠OMN＝θ，则θ≥45°，即sinθ≥，即≥.而ON＝1，∴OM≤.∵M(x0,1)，∴≤，∴x≤1，∴－1≤x0≤1，∴x0的取值范围为[－1,1]．18\n热点分类突破例1 (1)C (2)B解析 (1)当k＝4时，直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率存在，则两直线不平行；当k≠4时，两直线平行的一个必要条件是＝k－3，解得k＝3或k＝5.但必须满足≠(截距不相等)才是充要条件，经检验知满足这个条件．(2)依题意，得＝.所以|3m＋5|＝|m－7|.所以(3m＋5)2＝(m－7)2，所以8m2＋44m－24＝0.所以2m2＋11m－6＝0.所以m＝或m＝－6.跟踪演练1 C [由题意可知，直线AC和直线BC关于直线y＝x＋1对称．设点B(－1,2)关于直线y＝x＋1的对称点为B′(x0，y0)，则有⇒即B′(1,0)．因为B′(1,0)在直线AC上，所以直线AC的斜率为k＝＝，所以直线AC的方程为y－1＝(x－3)，即x－2y－1＝0.故C正确．]例2 (1)D (2)B解析 (1)因为圆C经过(1,0)，(3,0)两点，所以圆心在直线x＝2上，又圆与y轴相切，所以半径r＝2，设圆心坐标为(2，b)，则(2－1)2＋b2＝4，b2＝3，b＝±，所以选D.(2)由已知，可设圆M的圆心坐标为(a,0)，a>－2，半径为r，得解得满足条件的一组解为所以圆M的方程为(x＋1)2＋y2＝4.故选B.跟踪演练2 (1)(x－2)2＋(y－1)2＝10 (2)(x－2)2＋(y－2)2＝8解析 (1)由题意知KAB＝2，AB的中点为(4,0)，设圆心为C(a，b)，18\n∵圆过A(5,2)，B(3，－2)两点，∴圆心一定在线段AB的垂直平分线上．则解得∴C(2,1)，∴r＝|CA|＝＝.∴所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.(2)设△OAB的外心为C，连接OC，则易知OC⊥AB，延长OC交AB于点D，则|OD|＝3，且△AOB外接圆的半径R＝|OC|＝|OD|＝2.又直线OC的方程是y＝x，容易求得圆心C的坐标为(2,2)，故所求圆的方程是(x－2)2＋(y－2)2＝8.例3 (1)A (2)D解析 (1)对于直线方程2x＋(y－3)m－4＝0(m∈R)，取y＝3，则必有x＝2，所以该直线恒过定点P(2,3)．设圆心是C，则易知C(1,2)，所以kCP＝＝1，由垂径定理知CP⊥MN，所以kMN＝－1.又弦MN过点P(2,3)，故弦MN所在直线的方程为y－3＝－(x－2)，即x＋y－5＝0.(2)如图，把圆的方程化成标准形式得x2＋(y－1)2＝1，所以圆心为(0,1)，半径为r＝1，四边形PACB的面积S＝2S△PBC，所以若四边形PACB的最小面积是2，则S△PBC的最小值为1.而S△PBC＝r·|PB|，即|PB|的最小值为2，此时|PC|最小，|PC|为圆心到直线kx＋y＋4＝0的距离d，此时d＝＝＝，即k2＝4，因为k>0，所以k＝2.跟踪演练3 (1)A (2)C解析 (1)因为圆C的标准方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆心为C(0，－1)，半径r＝2，直线l的斜率为－1，其方程为x＋y－1＝0.圆心C到直线l的距离d＝＝，弦长|AB|＝2＝2＝2，18\n又坐标原点O到线段AB的距离为，所以S△OAB＝×2×＝1，故选A.(2)两个圆恰有三条公切线，则两圆外切，两圆的标准方程分别为圆C1：(x＋a)2＋y2＝4，圆C2：x2＋(y－b)2＝1，所以|C1C2|＝＝2＋1＝3，即a2＋b2＝9.由()2≤，得(a＋b)2≤18，所以－3≤a＋b≤3，当且仅当“a＝b”时取“＝”．所以选C.高考押题精练1．C [由已知得圆心在y轴上，且被x轴所分劣弧所对圆心角为π.设圆心坐标为(0，a)，半径为r，则rsin＝1，rcos＝|a|，解得r＝，即r2＝，|a|＝，即a＝±，故圆C的方程为x2＋(y±)2＝.故应选C.]2．C [圆的标准方程为(x－a)2＋y2＝1，圆心M(a,0)到直线AB：x－y＋2＝0的距离为d＝，圆上的点到直线AB的最短距离为d－1＝－1，(S△ABC)min＝×2×＝3－，解得a＝1或－5.]3.解析 联立两圆方程可得公共弦所在直线方程为ax＋2ay－5＝0，18\n故圆心(0,0)到直线ax＋2ay－5＝0的距离为＝(a>0)．故2＝2，解得a2＝，因为a>0，所以a＝.18\n二轮专题强化练答案精析专题六 解析几何第1讲 直线与圆1．A [方法一 由题意可得l的斜率为－，所以直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即3x＋2y－1＝0.方法二 设直线l的方程为3x＋2y＋C＝0，将点(－1,2)代入，得C＝－1，所以l的方程是3x＋2y－1＝0.]2．C [由y＝k(x＋2)得直线恒过定点(－2,0)，因此可得点(－2,0)必在圆内或圆上，故有(－2)2＋02－2m＋4≤0⇒m≥4.又由方程表示圆的条件，故有m2－4×4>0⇒m<－4或m>4.综上可知m>4.故选C.]3．A [由题意得直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为y＝k(x－2)，即kx－y－2k＝0.由点到直线的距离公式得，圆心到直线l的距离d＝＝，由圆的性质可得d2＋12＝r2，即()2＋12＝9，解得k2＝，即k＝±.]4．C [圆x2＋y2＋4x－4y＋4＝0，即(x＋2)2＋(y－2)2＝4，圆心C的坐标为(－2,2)．直线l过OC的中点(－1,1)，且垂直于直线OC，易知kOC＝－1，故直线l的斜率为1，直线l的方程为y－1＝x＋1，即x－y＋2＝0.故选C.]5．A [两圆的圆心均在第一象限，先求|PC1|＋|PC2|的最小值，作点C1关于x轴的对称点C1′(2，－3)，则(|PC1|＋|PC2|)min＝|C1′C2|＝5，所以(|PM|＋|PN|)min＝5－(1＋3)＝5－4.]6．4解析 圆心O到直线l的距离d＝＝1，而圆O半径为，18\n所以圆O上到l的距离等于1的点有4个．7．2解析 依题意，不妨设直线y＝x＋a与单位圆相交于A，B两点，则∠AOB＝90°.如图，此时a＝1，b＝－1，满足题意，所以a2＋b2＝2.8．(1)(x－1)2＋(y－)2＝2 (2)－－1解析 (1)由题意，设圆心C(1，r)(r为圆C的半径)，则r2＝2＋12＝2，解得r＝.所以圆C的方程为(x－1)2＋(y－)2＝2.(2)方法一 令x＝0，得y＝±1，所以点B(0，＋1)．又点C(1，)，所以直线BC的斜率为kBC＝－1，所以过点B的切线方程为y－(＋1)＝x－0，即y＝x＋(＋1)．令y＝0，得切线在x轴上的截距为－－1.方法二 令x＝0，得y＝±1，所以点B(0，＋1)．又点C(1，)，设过点B的切线方程为y－(＋1)＝kx，即kx－y＋(＋1)＝0.由题意，得圆心C(1，)到直线kx－y＋(＋1)＝0的距离d＝＝r＝，解得k＝1.故切线方程为x－y＋(＋1)＝0.令y＝0，得切线在x轴上的截距为－－1.9．解 解方程组得交点P(1,2)．①若点A，B在直线l的同侧，则l∥AB.而kAB＝＝－，由点斜式得直线l的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋2y－5＝0.②若点A，B分别在直线l的异侧，则直线l经过线段AB的中点(4，)，由两点式得直线l的方程为＝，18\n即x－6y＋11＝0.综上所述，直线l的方程为x＋2y－5＝0或x－6y＋11＝0.10．解 (1)由题设，可知直线l的方程为y＝kx＋1，因为l与C交于两点，所以<1.解得<k<.所以k的取值范围为.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)．将y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，整理得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0.所以x1＋x2＝，x1x2＝.·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝＋8.由题设可得＋8＝12，解得k＝1，所以l的方程为y＝x＋1.故圆心C在l上，所以|MN|＝2.11．D [设圆心坐标为C(a，)(a>0)，则半径r＝≥＝，当且仅当2a＝，即a＝1时取等号．所以当a＝1时圆的半径最小，此时r＝，C(1,2)，所以面积最小的圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5，故选D.]12．D [依题意并结合图形分析可知(图略)，圆面C：(x－a)2＋y2≤a2－1的圆心(a,0)应在不等式2x＋y≤4表示的平面区域内，且(a,0)不在直线2x＋y＝4上，即有由此解得a<－1或1<a<2.因此，实数a的取值范围是(－∞，－1)∪(1,2)．]18\n13．2±解析 x2＋y2－4x－4y－10＝0，即(x－2)2＋(y－2)2＝18，其圆心为C(2,2)，半径为r＝3.圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上恰有三个不同的点到直线l：y＝kx的距离为2，应满足图中A，B，D到直线l：y＝kx的距离为2，所以，C(2,2)到直线l：y＝kx的距离为3－＝2，整理得k2－4k＋1＝0，解得k＝2±.14．(1)证明 方法一 在直线l的方程中，分别取a＝0，a＝－1，得x＋y－4＝0，－x＋3＝0，联立方程得直线l恒过定点N(3,1)．因圆心C的坐标为(1,2)，圆C的半径为r＝5，|CN|＝＝<5，故点N在圆C内，所以，不论实数a取何值，直线l和圆C恒有两个交点．方法二 直线l的方程可以化为(2x＋y－7)a＋x＋y－4＝0，由a的任意性得解得所以直线l恒过定点N(3,1)．下面的解答过程与方法一相同．(2)解 当l⊥CN时，直线l被圆C截得的线段最短．因为kCN＝＝－，所以－＝2，解得a＝－，这时，直线l的方程为2x－y－5＝0.又|CN|＝，r＝5，所以半弦长为＝2，18\n最短的弦长为4.(3)解 因为(6－1)2＋(－4－2)2>25，所以M(6，－4)在圆外，过点M(6，－4)且与圆C相切的直线有两条．当斜率不存在时，所求的切线为x＝6；当斜率存在时，设所求的切线方程为y＋4＝k(x－6)，即kx－y－6k－4＝0，由＝5，得k＝－，这时，所求的切线方程为11x＋60y＋174＝0.综上，所求的直线方程为x＝6或11x＋60y＋174＝0.18
