第2讲 概 率1．(2022·广东)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为( )A.B.C.D．12．(2022·课标全国Ⅰ)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )A．0.648B．0.432C．0.36D．0.3123．(2022·湖北)在区间[0,1]上随机取两个数x，y，记p1为事件“x＋y≥”的概率，p2为事件“|x－y|≤”的概率，p3为事件“xy≤”的概率，则( )A．p1<p2<p3B．p2<p3<p1C．p3<p1<p2D．p3<p2<p14．(2022·浙江)已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个蓝球(m≥3，n≥3)，从乙盒中随机抽取i(i＝1,2)个球放入甲盒中．(1)放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi(i＝1,2)；(2)放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为pi(i＝1,2)．则( )A．p1>p2，E(ξ1)<E(ξ2)B．p1<p2，E(ξ1)>E(ξ2)C．p1>p2，E(ξ1)>E(ξ2)D．p1<p2，E(ξ1)<E(ξ2)1.以选择题、填空题的形式考查古典概型、几何概型及相互独立事件的概率；2.二项分布、正态分布的应用是考查的热点；3.以解答题形式考查离散型随机变量的分布列，属于中档题目.18\n热点一 古典概型和几何概型1．古典概型的概率P(A)＝＝.2．几何概型的概率P(A)＝.例1 (1)(2022·江苏)袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．(2)(2022·福建)如图，点A的坐标为(1,0)，点C的坐标为(2,4)，函数f(x)＝x2，若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________．思维升华 (1)解答有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，这常用到计数原理与排列、组合的相关知识．(2)在求基本事件的个数时，要准确理解基本事件的构成，这样才能保证所求事件所包含的基本事件个数的求法与基本事件总数的求法的一致性．(3)当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解．跟踪演练1 (1)(2022·广东)从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为________．(2)(2022·长沙联考)在区间[1,5]和[2,4]分别取一个数，记为a，b，则方程－＝1表示离心率大于的双曲线的概率为________．热点二 相互独立事件和独立重复试验1．条件概率在A发生的条件下B发生的概率：P(B|A)＝.2．相互独立事件同时发生的概率18\nP(AB)＝P(A)P(B)．3．独立重复试验、二项分布如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Cpkqn－k，其中0<p<1，p＋q＝1，k＝0,1,2，…，n，称X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B(n，p)，且E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．例2 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p.(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值；(2)求系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率． 思维升华 求相互独立事件和独立重复试验的概率的注意点：(1)求复杂事件的概率，要正确分析复杂事件的构成，分析复杂事件能转化为几个彼此互斥的事件的和事件还是能转化为几个相互独立事件同时发生的积事件，然后用概率公式求解．(2)注意辨别独立重复试验的基本特征：①在每次试验中，试验结果只有发生与不发生两种情况；②在每次试验中，事件发生的概率相同．18\n跟踪演练2 (1)从混有5张假钞的20张一百元钞票中任意抽取2张，将其中一张在验钞机上检验发现是假钞，则这两张都是假钞的概率为( )A.B.C.D.(2)箱中装有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个球．从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．现有4人参与摸奖(每人一次)，则恰好有3人获奖的概率是( )A.B.C.D.热点三 离散型随机变量的分布列1．设离散型随机变量X可能取的值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi的概率为P(X＝xi)＝pi，则称下表：Xx1x2x3…xi…xnPp1p2p3…pi…pn为离散型随机变量X的分布列．2．E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为X的均值或数学期望(简称期望)．D(X)＝(x1－E(X))2·p1＋(x2－E(X))2·p2＋…＋(xi－E(X))2·pi＋…＋(xn－E(X))2·pn叫做随机变量X的方差．例3 (2022·天津)为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；(2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望． 18\n 思维升华 解答离散型随机变量的分布列及相关问题的一般思路：(1)明确随机变量可能取哪些值．(2)结合事件特点选取恰当的计算方法，并计算这些可能取值的概率值．(3)根据分布列和期望、方差公式求解．跟踪演练3 (1)有三位同学过节日互赠礼物，每人准备一件礼物，先将礼物集中在一个袋子中，每人从中随机抽取一件礼物，设恰好抽到自己准备的礼物的人数为ξ，则ξ的数学期望E(ξ)＝________.(2)某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的，记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P(X＝0)＝，则随机变量X的数学期望E(X)＝________.1．某校在2022年的中学数学挑战赛中有1000人参加考试，数学考试成绩ξ～N(90，σ2)(σ>0，试卷满分150分)，统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的，则此次数学考试成绩不低于110分的考生人数约为( )A．200B．400C．600D．8002．位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是.质点P移动五次后位于点(2,3)的概率是________．3．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概18\n率为，且各局胜负相互独立，比赛停止时一共已打ξ局．(1)列出随机变量ξ的分布列；(2)求ξ的数学期望E(ξ)． 提醒：完成作业 专题七 第2讲二轮专题强化练专题七第2讲 概 率A组 专题通关1．在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1,2,3，…，18的18名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为( )A.B.C.D.18\n2．有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本，若将其随机地抽取并排摆放在书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是( )A.B.C.D.3．已知Ω＝{(x，y)|}，直线y＝mx＋2m和曲线y＝有两个不同的交点，它们围成的平面区域为M，向区域Ω上随机投一点A，点A落在区域M内的概率为P(M)，若P(M)∈[，1]，则实数m的取值范围为( )A．[，1]B．[0，]C．[，1]D．[0,1]4．已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率是( )A.B.C.D.5．(2022·山东)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为(附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝95.44%.)( )A．4.56%B．13.59%C．27.18%D．31.74%6．有一种游戏规则如下：口袋里有5个红球和5个黄球，一次摸出5个，若颜色相同则得100分；若4个球颜色相同，另一个不同，则得50分，其他情况不得分．小张摸一次得分的期望是________分．7．连续掷一枚均匀的正方体骰子(6个面分别标有1,2,3,4,5,6)，现定义数列an＝Sn是其前n项和，则S5＝3的概率是________．8．有甲、乙、丙三位同学，投篮命中的概率如下表：同学甲乙丙概率0.5aa现请三位同学各投篮一次，设ξ表示命中的次数，若E(ξ)＝，则a＝________.9．甲、乙两人在罚球线互不影响地投球，命中的概率分别为与，投中得1分，投不中得0分．甲、乙两人在罚球线各投球一次，求两人得分之和ξ的数学期望．18\n10．(2022·山东)若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”(如137,359,567等)．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分．(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”；(2)若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望E(X)．B组 能力提高11．某人射击一次击中的概率为，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为( )A.B.C.D.12．先后掷两次骰子(骰子的六个面上分别有1,2,3,4,5,6个点)，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x，y，设事件A为“x＋y为偶数”，事件B为“x，y中有偶数且x≠y”，则概率P(B|A)等于( )A.B.C.D.13．(2022·湖南)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；18\n(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望．18\n学生用书答案精析第2讲 概 率高考真题体验1．B [从袋中任取2个球共有C＝105种取法，其中恰好1个白球1个红球共有CC＝50种取法，所以所取的球恰好1个白球1个红球的概率为＝.]2．A [3次投篮投中2次的概率为P(k＝2)＝C×0.62×(1－0.6)，投中3次的概率为P(k＝3)＝0.63，所以通过测试的概率为P(k＝2)＋P(k＝3)＝C×0.62×(1－0.6)＋0.63＝0.648.故选A.]3．B [如图，满足条件的x，y构成的点(x，y)在正方形OBCA及其边界上．事件“x＋y≥”对应的图形为图①所示的阴影部分；事件“|x－y|≤”对应的图形为图②所示的阴影部分；事件“xy≤”对应的图形为图③所示的阴影部分．对三者的面积进行比较，可得p2<p3<p1.]4．A [随机变量ξ1，ξ2的分布列如下：ξ112Pξ2123P所以E(ξ1)＝＋＝，E(ξ2)＝＋＋＝，所以E(ξ1)<E(ξ2)．因为p1＝＋·＝，18\np2＝＋·＋·＝，p1－p2＝>0，所以p1>p2.]热点分类突破例1 (1) (2)解析 (1)这两只球颜色相同的概率为，故两只球颜色不同的概率为1－＝.(2)由题意知，阴影部分的面积S＝ʃ(4－x2)dx＝|＝，∴所求概率P＝＝＝.跟踪演练1 (1) (2)解析 (1)从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，基本事件总数共有C＝120(个)，记事件“七个数的中位数为6”为事件A，则事件A包含的基本事件的个数为CC＝20，故所求概率P(A)＝＝.(2)由题意，>，整理得>2，即b>2a，从区间[1,5]和[2,4]分别取一个数，记为a，b，则对应的点(a，b)在矩形ABCD内部(含边界)，作直线b＝2a，矩形ABCD内部满足b>2a的点在△ABM内部(不含线段AM)，则所求概率为P＝＝＝.例2 解 (1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C，那么1－P()＝1－·p＝，解得p＝.(2)设“系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数”为事件D.“系统A在3次相互独立的检测中发生k次故障”为事件Dk.则D＝D0＋D1，且D0、D1互斥．18\n依题意，得P(D0)＝C(1－)3，P(D1)＝C(1－)2，所以P(D)＝P(D0)＋P(D1)＝＋＝.所以系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率为.跟踪演练2 (1)A (2)B解析 (1)记“抽到的两张中至少一张是假钞”为事件A，记“抽到的2张都是假钞”为事件B，则P(A)＝，P(B)＝＝P(AB)，∴P(B|A)＝＝.(2)若摸出的两球中含有4，必获奖，有5种情形；若摸出的两球是2,6，也能获奖．故获奖的情形共6种，获奖的概率为＝.现有4人参与摸奖，恰有3人获奖的概率是C3·＝.例3 解 (1)由已知，有P(A)＝＝.所以，事件A发生的概率为.(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.P(X＝k)＝(k＝1,2,3,4)．所以随机变量X的分布列为X1234P随机变量X的数学期望E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝.跟踪演练3 (1)1 (2)解析 (1)ξ的可能取值为0,1,3，P(ξ＝0)＝＝；P(ξ＝1)＝＝；P(ξ＝3)＝＝；E(ξ)＝0×＋1×＋3×＝1.18\n(2)由题意知P(X＝0)＝(1－p)2＝，∴p＝.随机变量X的分布列为X0123PE(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.高考押题精练1．A [依题意得P(70≤ξ≤110)＝0.6，P(ξ≤110)＝0.3＋0.5＝0.8，P(ξ≥110)＝0.2，于是此次数学考试成绩不低于110分的考生约有0．2×1000＝200(人)．]2.解析 由于质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，移动五次后位于点(2,3)，所以质点P必须向右移动两次，向上移动三次，故其概率为C()3·()2＝C()5＝C()5＝.3．解 (1)依题意知，ξ的所有可能取值为2,4,6.设每2局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为()2＋()2＝.若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得1分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．则有P(ξ＝2)＝，P(ξ＝4)＝×＝，P(ξ＝6)＝()2＝，所以ξ的分布列为ξ246P(2)E(ξ)＝2×＋4×＋6×＝.18\n二轮专题强化练答案精析第2讲 概 率1．D [基本事件总数为C＝17×16×3，选出火炬手编号为an＝a1＋3(n－1)，当a1＝1时，由1,4,7,10,13,16可得4种选法；当a1＝2时，由2,5,8,11,14,17可得4种选法；当a1＝3时，由3,6,9,12,15,18可得4种选法．根据分类加法计数原理可得共有12种选法，所以，所求概率为P＝＝.]2．B [第一步先排语文书有A＝2(种)排法．第二步排物理书，分成两类：一类是物理书放在语文书之间，有1种排法，这时数学书可从4个空中选两个进行排列，有A＝12(种)排法；一类是物理书不放在语文书之间有2种排法，再选一本数学书放在语文书之间有2种排法，另一本有3种排法．因此同一科目的书都不相邻共有2×(12＋2×2×3)＝48(种)排法，而5本书全排列共有A＝120(种)，所以同一科目的书都不相邻的概率是＝.]3．D [如图，由题意得m≥0，根据几何概型的意义，知P(M)＝＝，又P(M)∈[，1]，所以S弓形∈[π－2,2π]．故0≤m≤1.]4．D [设事件A为“第1次抽到的是螺口灯泡”，事件B为“第2次抽到的是卡口灯泡”，则P(A)＝，P(AB)＝×＝.则所求概率为P(B|A)＝＝＝.]5．B [由正态分布的概率公式知P(－3<ξ<3)＝0.6826，P(－6<ξ<6)＝0.9544，故P(3<ξ<6)＝＝＝0.1359＝13.59%，故选B.]6.18\n解析 ∵小张得100分的概率为，得50分的概率为，∴小张得分的数学期望为E(X)＝＝(分)．7.解析 该试验可看作一个独立重复试验，结果为－1发生的概率为，结果为1发生的概率为，S5＝3即5次试验中－1发生一次，1发生四次，故其概率为C·()1()4＝.8.解析 ξ可取值0,1,2,3.P(ξ＝0)＝0.5×(1－a)×(1－a)＝0.5(1－a)2；P(ξ＝1)＝0.5×(1－a)×(1－a)＋2×0.5×a×(1－a)＝0.5(1－a2)；P(ξ＝2)＝0.5×a2＋2×0.5×a×(1－a)＝0.5a(2－a)；P(ξ＝3)＝0.5×a×a＝0.5a2.∴E(ξ)＝P(ξ＝0)×0＋P(ξ＝1)×1＋P(ξ＝2)×2＋P(ξ＝3)×3＝.即0.5(1－a2)＋a(2－a)＋1.5a2＝，解得a＝.9．解 依题意，记“甲投一次命中”为事件A，“乙投一次命中”为事件B，则A与B相互独立，且P(A)＝，P(B)＝，P()＝，P()＝.甲、乙两人得分之和ξ的可能取值为0,1,2，P(ξ＝0)＝P()＝P()P()＝×＝，P(ξ＝1)＝P(B＋A)＝P()P(B)＋P(A)P()＝×＋×＝，P(ξ＝2)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝.则ξ的分布列为ξ01218\nP甲、乙两人在罚球线各投球一次，两人得分之和ξ的数学期望为E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.10．解 (1)个位数是5的“三位递增数”有125,135,145,235,245,345；(2)由题意知，全部“三位递增数”的个数为C＝84，随机变量X的取值分别为0，－1,1，因此P(X＝0)＝＝，P(X＝－1)＝＝，P(X＝1)＝1－－＝，所以X的分布列为X0－11P则E(X)＝0×＋(－1)×＋1×＝.11．C [该人3次射击，恰有两次击中目标的概率是P1＝C·2·，三次全部击中目标的概率是P2＝C·3，所以此人至少有两次击中目标的概率是P＝P1＋P2＝C·2·＋C·3＝.]12．B [正面朝上的点数(x，y)的不同结果共有C·C＝36(种)．事件A：“x＋y为偶数”包含事件A1：“x，y都为偶数”与事件A2：“x，y都为奇数”两个互斥事件，其中P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，所以P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝＋＝.事件B为“x，y中有偶数且x≠y”，所以事件AB为“x，y都为偶数且x≠y”，所以P(AB)＝＝.18\n由条件概率的计算公式，得P(B|A)＝＝.]13．解 (1)记事件A1＝{从甲箱中摸出的1个球是红球}，A2＝{从乙箱中摸出的1个球是红球}，B1＝{顾客抽奖1次获一等奖}，B2＝{顾客抽奖1次获二等奖}，C＝{顾客抽奖1次能获奖}．由题意，A1与A2相互独立，A12与1A2互斥，B1与B2互斥，且B1＝A1A2，B2＝A12＋1A2，C＝B1＋B2.因为P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，所以P(B1)＝P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＝×＝，P(B2)＝P(A12＋1A2)＝P(A12)＋P(1A2)＝P(A1)P(2)＋P(1)P(A2)＝P(A1)(1－P(A2))＋(1－P(A1))P(A2)＝×＋×＝.故所求概率为P(C)＝P(B1＋B2)＝P(B1)＋P(B2)＝＋＝.(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验，由(1)知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为，所以X～B.于是P(X＝0)＝C03＝，P(X＝1)＝C12＝，P(X＝2)＝C21＝，P(X＝3)＝C30＝.故X的分布列为X012318\nPX的数学期望为E(X)＝3×＝.18
