高考中档大题规范练(二)概率与统计1．(2022·广东)某工厂36名工人的年龄数据如下表.工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄 1 40 10 36 19 27 28 34 2 44 11 31 20 43 29 39 3 40 12 38 21 41 30 43 4 41 13 39 22 37 31 38 5 33 14 43 23 34 32 42 6 40 15 45 24 42 33 53 7 45 16 39 25 37 34 37 8 42 17 38 26 44 35 49 9 43 18 36 27 42 36 39(1)用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；(2)计算(1)中样本的均值和方差s2；(3)36名工人中年龄在－s与＋s之间的有多少人？所占的百分比是多少(精确到0.01%)?7\n2．(2022·陕西)设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T，T只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：T(分钟)25303540频数(次)20304010(1)求T的分布列与数学期望E(T)；(2)刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．7\n3．(2022·韶关高三联考)某项竞赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段进行，每个阶段选手要回答一个问题．规定正确回答问题者进入下一阶段竞赛，否则即遭淘汰．已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别是，，，且各阶段通过与否相互独立．(1)求该选手在复赛阶段被淘汰的概率；(2)设该选手在竞赛中回答问题的个数为ξ，求ξ的分布列与均值．7\n4．袋中装有若干个质地均匀、大小一致的红球和白球，白球数量是红球数量的两倍．每次从袋中摸出一个球然后放回，若累计3次摸到红球则停止摸球，否则继续摸球直到第5次摸球后结束．(1)求摸球3次就停止的事件发生的概率；(2)记摸到红球的次数为ξ，求随机变量ξ的分布列及其均值．5．(2022·惠州调研)某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上40件产品称出它们的重量作为样本(单位：克)，重量的分组区间为(490,495]，(495,500]，…，(510,515]，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．(1)根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量；(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为重量超过505克的产品数量，求Y的分布列；(3)从该流水线上任取5件产品，求恰有2件产品的重量超过505克的概率．7\n答案精析高考中档大题规范练(二)概率与统计1．解 (1)44,40,36,43,36,37,44,43,37.(2)＝＝40.s2＝[(44－40)2＋(40－40)2＋(36－40)2＋(43－40)2＋(36－40)2＋(37－40)2＋(44－40)2＋(43－40)2＋(37－40)2]＝.(3)40－＝，40＋＝在的有23个，占63.89%.2．解 (1)由统计结果可得T的频率分布为T(分钟)25303540频率0.20.30.40.1以频率估计概率得T的分布列为T25303540P0.20.30.40.1从而E(T)＝25×0.2＋30×0.3＋35×0.4＋40×0.1＝32(分钟)．(2)设T1，T2分别表示往，返所需时间，T1，T2的取值相互独立，且与T的分布列相同，设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”．方法一 P(A)＝P(T1＋T2≤70)＝P(T1＝25，T2≤45)＋P(T1＝30，T2≤40)＋P(T1＝35，T2≤35)＋P(T1＝40，T2≤30)＝0.2×1＋0.3×1＋0.4×0.9＋0.1×0.5＝0.91.方法二 P()＝P(T1＋T2＞70)＝P(T1＝35，T2＝40)＋P(T1＝40，T2＝35)＋P(T1＝40，T2＝40)＝0.4×0.1＋0.1×0.4＋0.1×0.1＝0.09，故P(A)＝1－P()＝0.91.3．解 (1)记“该选手通过初赛”为事件A，“该选手通过复赛”为事件B，“该选手通过决赛”为事件C，则P(A)＝，P(B)＝，7\nP(C)＝.那么该选手在复赛阶段被淘汰的概率P＝P(A)＝P(A)P()＝×(1－)＝.(2)ξ可能取值为1,2,3.P(ξ＝1)＝1－＝，P(ξ＝2)＝×(1－)＝，P(ξ＝3)＝×＝.故ξ的分布列为ξ123Pξ的均值为E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝.4．解 (1)由题意，知从袋中任意摸出一个球，摸到红球的概率为，摸到白球的概率为.摸球3次就停止，说明前三次都摸到了红球，则摸球3次就停止的事件发生的概率为P＝()3＝.(2)依题意，随机变量ξ的所有可能取值为0,1,2,3，则P(ξ＝0)＝C·(1－)5＝，P(ξ＝1)＝C··(1－)4＝，P(ξ＝2)＝C·()2·(1－)3＝，P(ξ＝3)＝C·()3＋C·()2·(1－)·＋C·()2·(1－)2·＝.随机变量ξ的分布列为ξ0123P随机变量ξ的均值为E(ξ)＝×0＋×1＋×2＋×3＝.5．解 (1)根据频率分布直方图可知，重量超过505克的产品数量为[(0.01＋0.05)×5]×40＝12(件)．7\n(2)Y的可能取值为0,1,2.P(Y＝0)＝＝，P(Y＝1)＝＝，P(Y＝2)＝＝.Y的分布列为Y012P(3)利用样本估计总体，该流水线上产品重量超过505克的概率为0.3.令ξ为任取的5件产品中重量超过505克的产品数量，则ξ～B(5,0.3)，故所求概率为P(ξ＝2)＝C(0.3)2·(0.7)3＝0.3087.7
