高考小题分项练(五)1．(2022·湖北)我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为( )A．134石B．169石C．338石D．1365石2．(2022·潍坊联考)某学校从高三甲、乙两个班中各选6名同学参加数学竞赛，他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的众数是85，乙班学生成绩的平均分为81，则x＋y的值为( )A．6B．7C．8D．93．从1,2,3,4这四个数字中依次取(不放回)两个数a，b，使a2≥4b的概率是( )A.B.C.D.4．在区间(0,1)上任取两个数，则两个数之和小于的概率是( )A.B.C.D.5．对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据(x，y)(i＝1,2，…，8)，其中线性回归方程是＝x＋，且x1＋x2＋x3＋…＋x8＝2(y1＋y2＋y3＋…＋y8)＝6，则实数的值是( )A.B.C.D.6．(2022·湖南)在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.9544.A．2386B．2718C．3413D．47727．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学从理工类专业的A班和文史类专业的B班各抽取20名同学参加环保知识测试．统计得到成绩与专业的列联表：优秀非优秀总计A班146206\nB班71320总计211940附：参考公式及数据①K2统计量：K2＝(其中n＝a＋b＋c＋d)；②独立性检验的临界值表：P(K2≥k0)0.0500.010k03.8416.635则下列说法正确的是( )A．有99%的把握认为环保知识测试成绩与专业有关B．有99%的把握认为环保知识测试成绩与专业无关C．有95%的把握认为环保知识测试成绩与专业有关D．有95%的把握认为环保知识测试成绩与专业无关8．将参加夏令营的500名学生编号为：001,002，…，500，采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003，这500名学生分住在三个营区，从001到200在第一营区，从201到355在第二营区，从356到500在第三营区，三个营区被抽中的人数为( )A．20,15,15B．20,16,14C．12,14,16D．21,15,149．从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X，已知E(X)＝3，则D(X)等于( )A.B.C.D.10．在区间[0,2]上任取两个实数a，b，则函数f(x)＝x3＋ax－b在区间[－1,1]上有且仅有一个零点的概率是( )A.B.C.D.6\n11．某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车，每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置)，其中大一的孪生姐妹乘坐同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自于同一年级的乘坐方式共有( )A．12种B．24种C．15种D．16种12．在线段[0,3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为( )A.B.C.D．113．(2022·湖北)某电子商务公司对10000名网络购物者2022年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示．(1)直方图中的a＝________；(2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为________．14．在样本的频率分布直方图中，一共有4个小长方形，这4个小长方形的面积由小到大构成等差数列{an}，且a2＝2a1，若样本容量为400，则小长方形中面积最大的一组的频数等于________．15．在一次电视节目的抢答中，题型为判断题，只有“对”和“错”两种结果，其中某选手判断正确的概率为p，判断错误的概率为q.若判断正确则加1分，判断错误则减1分．现记“该选手答完n题后总得分为Sn”．若p＝q＝时，记ξ＝|S3|，则ξ的数学期望是________．16．将一骰子抛掷两次，所得向上点数分别为m和n，则函数f(x)＝mx3－nx2＋x－2在R上为增函数的概率是________．6\n答案精析高考小题分项练(五)1．B [因为样品中米内夹谷的比为，所以这批米内夹谷为1534×≈169(石)．]2．D [由众数的定义知x＝5，由乙班的平均分为81得＝81，解得y＝4，故x＋y＝9.]3．C [从1,2,3,4这四个数字中依次取两个数a，b的基本事件有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，共12个，其中符合a2≥4b的事件有6个，故所求概率为P＝＝.]4．D [设这两个数是x，y，则试验所有的基本事件构成的区域是确定的平面区域，所求事件包含的基本事件是由确定的平面区域，如图阴影部分所示．阴影部分的面积是1－×2＝，所以两个数之和小于的概率是.]5．B [由题意知＝，＝，故样本点的中心为(，)，代入线性回归方程＝x＋，得＝.]6．C [由X～N(0,1)知，P(－1＜X≤1)＝0.6826，∴P(0≤X≤1)＝×0.6826＝0.3413，故S≈0.3413.∴落在阴影部分中点的个数x估计值为＝(古典概型)，∴x＝10000×0．3413＝3413，故选C.]7．C [K2＝≈4.912>3.841，所以有95%的把握认为环保知识测试成绩与专业有关．]8．B [根据系统抽样特点，被抽到号码l＝10k＋3，k∈N.第353号被抽到，因此第二营区应有16人，所以三个营区被抽中的人数为20,16,14.]6\n9．B [根据题目条件，每次摸到白球的概率是p＝，满足二项分布，则有E(X)＝np＝5×＝3，解得m＝2，那么D(X)＝np(1－p)＝5××(1－)＝.]10．D [因为f′(x)＝3x2＋a，由于a≥0，故f′(x)≥0恒成立，故函数f(x)在[－1,1]上单调递增，故函数f(x)在区间[－1,1]上有且只有一个零点的充要条件是即设点(a，b)，则基本事件所在的区域是画出平面区域，如图所示，根据几何概型的意义，所求的概率是以图中阴影部分的面积和以2为边长的正方形的面积的比值，这个比值是.故选D.]11．B [若大一的孪生姐妹乘坐甲车，则此时甲车中的另外2人分别来自不同年级，有CCC＝12(种)；若大一的孪生姐妹不乘坐甲车，则2名同学来自一个年级，另外2名分别来自两个年级，有CCC＝12(种)，共有24种．]12．B [坐标小于1的区间为[0,1]，长度为1，[0,3]区间长度为3，故所求概率为.]13．(1)3 (2)6000解析 由频率分布直方图及频率和等于1可得0.2×0.1＋0.8×0.1＋1.5×0.1＋2×0.1＋2.5×0.1＋a×0.1＝1，解得a＝3.于是消费金额在区间[0.5,0.9]内频率为0.2×0.1＋0.8×0.1＋2×0.1＋3×0.1＝0.6，所以消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为0.6×10000＝6000，故应填3,6000.14．160解析 设等差数列{an}的公差为d，依题意，有a1＋d＝2a1，得a1＝d，由于4个小长方形的面积由小到大构成等差数列，即各组的频率构成等差数列，所以4a1＋d＝1，即4a1＋6a1＝1，所以a1＝0.1，故面积最大的一组的频率等于a4＝0.1＋0.3＝0.4，所以小长方形中面积最大的一组的频数为0.4×400＝160.15.解析 因为ξ＝|S3|的取值为1,3，又p＝q＝，6\n故P(ξ＝1)＝2C××()2＝，P(ξ＝3)＝()3＋()3＝.所以ξ的分布列为ξ13P故E(ξ)＝1×＋3×＝.16.解析 记“函数f(x)＝mx3－nx2＋x－2在R上为增函数”为事件M.f′(x)＝3mx2－2nx＋1，由函数f(x)在R上为增函数可得Δ＝(－2n)2－4×3m×1＝4(n2－3m)≤0，解得m≥.所以当n＝1时，有m≥，故m可取1,2,3,4,5,6共6个数；当n＝2时，有m≥，故m可取2,3,4,5,6共5个数；当n＝3时，有m≥3，故m可取3,4,5,6共4个数；当n＝4时，有m≥，故m只能取6，共1个数；当n＝5时，有m≥，故m无值可取；当n＝6时，有m≥12，故m无值可取．综上，事件M所包含的基本事件有6＋5＋4＋1＝16(种)．又m，n∈{1,2,3,4,5,6}，所以(m，n)的取法总共有36种．故所求事件M的概率P(M)＝＝.6
